pdf.php@id=6170

АКАДЕМИЯ НАУК КАЗАХСКОЙ ССР

ИНСТИТУТ СЕЙСМОЛОГИИ

Ж. С. ЕРЖАНОВ, Б. В. ГРИМАЛЬСКИИ

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЖЕННОСТИ УПРУГИХ ЦЕЛИКОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Издательство «НАУКА» Казахской ССР

АЛМА-АТА* 1986

ВВЕДЕНИЕ

Для подземной разработки обширных рудных месторож­ дений, горизонтально и полого залегающих в устойчивых горных породах, широко применяют камерно-столбовые систе­ мы, отличающиеся высокими технико-экономическими до­ стоинствами. Последние определяются возможностью беспе­ ребойной работы комплексов самоходных машин - буровых кареток, погрузочных машин, вагонов и автомашин, кареток для осмотра и оборки кровли, а также ее крепления анке­ рами. Выемка руд при таких системах производится каме­ рами, отделенными друг от друга, расположенными в опре­ деленном порядке, изолированными и сплошными рудными целиками. Во время отработки блока руд эти целики поддер­ живают породы кровли, а очистное пространство между ними остается открытым. В реальных горнотехнических условиях наличия геологических нарушений, неравномерного распреде­ ления полезного компонента в блоке сети подготовитель­ ных и нарезных выработок для передвижения самоходных машин и другие контуры целиков в плане и их расположение нередко имеют сложный вид. Эго затрудняет расчетное опре­ деление нагруженносги целиков как грузонесуших деформи­ руемых конструктивных элементов в целях выбора оптималь­ ных параметров разработки руд, включая выемку самих це­ ликов. Предлагаемая работа посвящена методу определения нагруженносги упругих целиков, имеющих произвольные фор­ му и расположение.

Переходя к обзору литературы об определении нагружен­ носги деформируемых целиков и выборе их оптимальных па-

3

раметров, ошегам, что здесь используются аналитические й аналоговые методы исследований. Аналитическое решение вопроса о нагруженноеги целиков ленточной формы, мате­ риал которых идентичен материалу вмещающих пород, сво­ дится к определению напряженного состояния упругой изот­ ропной плоскости с ограниченным числом либо бесконечным рядом одинаковых отверстий, ими тирующих камеры. Прибли­ женное решение задачи о нагруженноети ленточных целиков, материал которых отличается от материала вмещающих по­ род, получено в работе /3 9 /. Авторами рассматривался шносвязный щелевой вырез с приложенными в местах кон­ такта целиков равномерно распределенными усилиями; полу­ ченное решение положено в основу расчета нагруженное ти бесконечной периодической последовательности ленточных целиков / 3 8 / и конечного числа столбчатых: целиков, под­ крепляющих прямоугольную в плане выработку /2 5 /. Пере­ мещения границы полуплоскости найдены посредством раз­ ложения функции напряжений в гипербол о-тригонометриче­ ский ряд и из решения задачи Буссинеска о действии рав­ номерно распределенной нагрузки и сосредоточенных сил. Расчетная схема / 3 9 / положена в основу более поздних работ, посвященных определению нагрузок на упругие лен­ точные с учетом статистической природы расчетных величин /3, 3 1 / и столбчатые прямоугольного сечения целики /3 4 /. Последняя работа посвящена решению задач об упругом равновесии полупространства, и весомого слоя нагруженных

двоякопериодической последовательностью нормальных усилий к границам. Решение задачи об определении нагрузок на целики здесь обобщено для случай вязкоупругого поведения вышележащего массива.

Полное решение задачи о нагруженносги конечного числа целиков, когда их материал отличается от материала вмещающих пород, приведено в монографии /1 6 / . В работе использовано линейное сопряжение граничных условий, когда до заданному на границе области скачку находится функция напряжений Колосова-Мусхелишвили. Таким путем авто­ рами решены задачи об определении нагрузок, воспринимае­ мых конечным числом ленточных и столбчатых целиков, а

4

также комплексами широких опорных и сравнительно узких междукамерных целиков. Установлена интенсивность нагру­ жения этих несущих элементов в зависимости от их распо­ ложения,'относительных размеров и степени линейно-упругой податливости. В работе /1 6 / впервые теоретически показан эффект разгрузки междукамерных целиков на опорные целики и породный массив, окружающий выработанное пространство. Как следует из изложенного, нагруженноеть упругих

целиков определяется из решения задачи теории упругости для полупространства, на части границы которого заданы распределенные силы. Применение указанных аналитических методов решения задачи ограничено решением для области нагружения лишь круглой или прямоугольной формы в плане. Возникает необходимость решения задачи для упругого по­ лупространства при произвольной конфигурации области нагружения.

Обратимся теперь к аналоговым методам исследования задачи.

По характеру аналогии такие методы подразделяются на физические и математические. К первым относятся ме­ тоды, в которых природа исследуемых явлений совпадает с природой оригинала —моделируемых явлений. Например, таков метод фогоупругости /4 9 /. В математической ана­ логии существует сходство математического описания ори­ гинала и его модели; метод обладает универсальностью и получил широкое распространение. Это ^главным образом, относится к элекгроаналогням,- основанным на теории по­ тенциала, нашедшим широкое применение для решения задач теории упругости /2 4 /. Распространение электроаналогий

обусловлено наличием высокоточных измерительных приборов, простотой конструкции и регистрации параметров электри­ ческих моделей.

В зависимости от типа используемой электропроводной среды различают два вида электрических моделей / 6 /: модели с распределенными параметрами или на сплошных средах, в которых в качестве рабочей среды применяют электролит, электропроводную бумагу, металлическую фольгу или иную сплошную электропроводную среду: к ним относятся

5

также сравнительная простота конструкции и технического обслуживания.

Круг задач, решаемых с помощью АВМ, необычайно широк} он включает решение уравнений Лапласа, Пуассона, Фурье, бигармонического уравнения,. систем обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и др. /1 , 27. 29, 30, 45, 48, 56, 6 2, 6 3 /.

Элекгроаналоговые методы находят применение в теории упругости. Так, идея моделирования бигармонического уравнения с помощью двухслойных R -сеток получила свое развитие в работах /1 3 , 20, 21, 4 1 /, Метод моделиро­ вания,положенный в основу известного электроинтегратора ЭГДА, применен при решении осесимметричной /1 2 / и плоской /5 8 / задач с заменой дискретной (сеточной) модели сплошной электропроводной. В работах /2, 5 3 / для опре­ деления суммы нормальных напряжений предлагается ис­ пользовать метод ЭГДА, а их разность находить поляриза­ ционно-оптическим способом. Другой путь решения плоской задачи теории упругости указан в работах / 2 2 , 6 1 /.

Электроаналоговый метод моделирования некоторых трехмерных контактных задач теории упругости применен для определения смещений и реактивного давления под штам­ пом с плоским основанием сложной формы, вдавливаемым в упругое полупространство /4, 32, 47, 54, 6 0 /. Показана аналогия функции распределения электрических зарядов про­ водника, имеющего форму эллипсоидов, и контактного дав­ ления включения такой же формы, вмонтированного в упру­

гое полупространство /1 4 /. Аналогия, использована для опре­ деления реактивного давления под неплоским штампом. По­ лезно применение электрического моделирования при кон-

делирования бигармонического уравнения на электрических сетках сопротивлений.

Решение неоднородного бигармонического уравнения /5 1 /

7

представленного в конечно-разностной форме

где ft - шаг сетки, может быть получено в результате ре­ шения системы уравнений Пуассона

- 2 , % + ^ ^ = h2 f " ,

(0.3)

-hFo + iLFt - h2Po . T*i

Последняя реализуется на двухсеточной модели, потен­ циалы узлов которой удовлетворяют аналогичным уравнениям

собой сетку, в узлы которой вводятся токи, моделирующие известные значения нормальной производной. Решение сни­ мается в виде значения функции 4V и ее производных.

Для определения функции 4^ собирается двухсеточная модель, описываемая системой уравнений

8

ются граничные условия в виде потенциалов контурных уз­ лов. Методом проб подбираются значения потенциалов в граничных узлах другой сетки, моделирующей вспомогатель­

Не умаляя достоинства сеточных методов, связанных с их универсальностью, отметим присущий им общий недоста­ ток - ограниченное число узлов 'оегок. Именно из-за этого сеточные методы не получили распространения при модели­ ровании областей достаточно сложной формы.

Решение бигармонического уравнения на моделях из сплошных сред разбивается на две задачи - нахождение суммы главных нормальных напряжений / 2 2 / и определение напряженного состояния при заданной на контуре сумме нормальных напряжений /6 1 /. В первой авторы, рассматри­ вая пограничный поток жидкости при малом числе Рейнольдса и применяя уравнение Навье-Сгокса, приходят к зависи­ мости

9

Функция потока.на границе пограничного слоя и потен­ циального течения жидкости является гармонической и поэтому, используя метод комплексных переменных, полу­ чили выражение суммы нормальных напряжений на произ­ вольном контуре

е

( 0. 1 1 )

где \ 4 о - скорость невоэмушеиного потока; б ,» г сумма нормальных напряжений невозмущенной части поля упругой пластинки.

Знание суммы нормальных напряжений на контуре поз­ воляет приступить к решению второй задачи. Пользуясь из­ вестным представлением

1 0