pdf.php@id=6180

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

С.В. Бочкарев, К.П. Трушников, К.А. Лейзгольд

ДИАГНОСТИКА И НАДЕЖНОСТЬ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ

ИЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2023

1

УДК 621.311.019.3-044.3 (075.8) ББК 31.27-02 Я73

Б86

Рецензенты д-р техн. наук А.В. Трусов

(ФГБУ «РЭА» Минэнерго России Пермский филиал); д-р техн. наук, профессор А.Ф. Сальников (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Бочкарев, С.В.

Б86 Диагностика и надежность автоматизированных и энергетических систем в примерах и задачах : учеб. пособие / С.В. Бочкарев, К.П. Трушников, К.А. Лейзгольд. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2022. – 274 с.

ISBN

Приведен теоретический и практический материал для изучения диагностики и надежности сложных объектов, включающий основные сведения из теории вероятностей и математической статистики, методы оценки надежности и диагностирования, методы оценки рисков. Приведены примеры решения задач для технологических объектов нефтедобычи и электроэнергетики, контрольные задания для самостоятельного изучения.

Предназначено для бакалавров и магистров направлений подготовки 15.03.04, 15.04.04 «Автоматизация технологических процессов и производств», 13.03.02, 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника», аспирантов и преподавателей.

УДК 621.311.019.3-044.3 (075.8) ББК 31.27-02 Я73

2

3

4

5

ВВЕДЕНИЕ

Появление сложных в техническом и эксплуатационном отношении объектов энергомашиностроения и других отраслей делают весьма важной оценку технического состояния объекта, его надежности. Важно не только определение и прогнозирование технического состояния объектов, но поиск мест и причин отказов, т.е. решение тех вопросов, которыми занимается техническая диагностика. Можно сказать, что основная цель технической диагностики состоит в поддержании установленного уровня надежности объектов и обеспечении требований безопасности и эффективности использования объекта. Учитывая сложность объектов, интуитивные методы и ручные способы определения их состояния оказываются малоэффективными или даже непригодными.

Проблемы надежности промышленных объектов связаны с проблемами риска аварий и техногенных катастроф. В пособии приведены такие методы анализа риска, как детерминированные; вероятностно-статистические; в условиях неопределенности нестатистической природы (нечеткие и нейросетевые); комбинированные, включающие различные комбинации перечисленных выше методов. На примере дожимной насосной станции (ДНС) рассмотрено применение методов «дерева отказов» и «галстука-бабочки» для выявления проблемных мест при работе оборудования ДНС, связанных с неконтролируемым выходом оборудования из строя, ведущим к перерывам в работе ДНС.

Рассмотрено применение статистических методов, дающих возможность прогнозировать и определять количественные оценки вероятности отказа и других показателей надежности с установленным уровнем доверия; приведены объективные критерии приемки или отбраковки образцов при проведении контрольных испытаний; показана возможность составлять оптимальные схемы диагностики оборудования и совершенствования проекта для достижения целей в области надежности. Рассмотрены основные положения и методы прикладной теории надежности, отражающие наиболее широкое их применение в практической деятельности.

6

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1. Построение функции распределения и плотности распределения случайной величины

1.1. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Рассмотрим описание распределения случайных величин. Распределение случайной величины – функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Если X – случайная величина, а x – некоторое ее значение, то вероятность Р того, что случайная величина X не превысит

значения x, т. е. попадет в интервал (−, x),

где F(x) – интегральная функция распределения (рис. 1.1), определяющая для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, не больше, чем х.

Ее задание и определяет закон распределения случайной величины Х. В общем случае функция распределения F(x) может быть как разрывной, так и непрерывной. Конкретные виды функции распределения для некоторых важных распределений будут рассмотрены ниже.

Рис. 1.1. Интегральная функция распределения

7

Распределение многомерной случайной величины – функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина (Х1, Х2, …, Хn) принимает значение (х1, х2, …, хn) или вероятность того, что каждая из случайных величин находится в определенном интервале:

P(X1 = x1,… Xn = xn). P(a1 < Х1 < b1,… , an < Xn < bn). (1.2)

В большинстве практически важных случаев распределение недискретных случайных величин может быть задано в другой форме с помощью введения функции плотности вероятностей f (x) [JCGM 100:2008 3.3, ISO 3534-1:2006 2.26] – производная функции распределения.

Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее неизвестно, какое из значений она примет. Возможность принятия случайной величиной Х значения из элементарного интервала (х1, х2) количественно оценивается вероятностью

f (х) − плотность распределения случайной величины; x2 = x1 + dх. Плотность f(х) – первая производная (если она существует)

функции распределения. Плотность является важнейшей характеристикой, задающей распределение случайной величины. Плотность удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах изменения аргумента х равен единице:

−

Как видно из формулы (1.1), функция распределения F(х) выражается через плотность f(х):

С другой стороны, если плотность f(х) непрерывна в точке х, то ее значение в этой точке равно производной от функции F(х):

f (x) = F (x).

8

При этом предположении функция распределения F(x) будет являться первообразной для плотности f(x).

Вероятность нахождения значения случайной величины Х в интервале (х1, х2) определится следующим образом:

f(x) называют также дифференциальной функцией распределения. Из свойств плотности f (x) и определения функции F (x)

следует, что последняя – неотрицательна, не убывает и равна 0 и 1 при значении аргумента – и :

F(х) 0; F(х1 ) F(х2) при x1 > х2; F(– ) = 0; F( ) = 1. (1.7)

График плотности распределения f (x) называется кривой распределения случайной величины. Исходя из геометрической интерпретации интеграла как площади, соответствующей криволинейной трапеции, заключаем, что для произвольного – < х0 < число F(x0) равно площади под кривой распределения, лежащей левее пря-

мой х = х0. Аналогично интерпретируется вероятность P(x1< x x2) (рис. 1.2).

Случайная величина X, для которой существует плотность распределения f(x), называется непрерывной.

Рис. 1.2. Плотность распределения случайной величины

9

1.2. Квантили распределения

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х). Значение случайной величины, для которой функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения, меньшего, чем р, до значения, большего, чем р, называется квантилью, порядка р или Р-квантилью распределения F(x). Может случиться, что вышеуказанное условие выполняется всеми значениями х, принадлежащими к некоторому интервалу. Тогда каждое такое значение называется квантилью порядка р.

Р-квантиль распределения F(x) – xP является решением урав-

нения

Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (1.8) – единственное (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К определению квантиля

Квантиль порядка Р = 0,5 называется медианой распределе-

ния (рис. 1.4).

Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид

10