из электронной библиотеки / 188478767639026.pdf

Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) - m(A B).

Если В А (см. рис. 1в), то A B = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B)

Решение задач с использованием кругов Эйлера-Венна

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

Этот метод даѐт ещѐ более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.

Ну а как же круги Эйлера помогают при решении задач? Для ответа возьмем несколько задач:

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

1. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только побашкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, порусски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение. Составим схему –

21

Вкруге под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р»

-по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение. Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими

изащитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1

инападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2 вратаря.

4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение. 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

22

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

5. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Н= 6

А+ Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 – х – 3 = 40

–2х = 40 – 34 + 3 – 25

–2х = –10

х= 5

Ф+ Н = 5 человек. А + Н = 8 человек.

А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек.

Н = 6 человек.

23

Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек.

Всего 40 человек.

4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и

телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4. Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0. Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6. Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58. 65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

Числовые множества и числовые промежутки –

Занятие 3. Решение уравнений и неравенств

Цель занятия: Освоить методы тождественного преобразования алгебраических выражений, методы решения уравнений и неравенств, метод интервалов, решение иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств, систем алгебраических уравнений и неравенств.

Задачи:

1.Изучить методы тождественного преобразования алгебраических выражений, изучить методы решения уравнений и неравенств, метод интервалов, решение иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств, систем алгебраических уравнений и неравенств

2.Решить ряд задач и примеров с целью освоения методов тождественного преобразования алгебраических выражений, методов решения уравнений и неравенств, метода интервалов, иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств, систем алгебраических уравнений и неравенств

Трудоемкость занятия – 6 часов.

Литература

1.Алгебра и начала анализа:учеб. Для 10-11 кл общеобразоват.учреждений. / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова.–М.:Просвещение,2003. – 384 с.

2.Грес, П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос,

2004. – 160 с.

3.Жолков, С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. – М.:

Гардарики, 2002. – 531 с.: ил.

4.Карелина И.Г. математика.-Воронеж:ВГУ, 2002.– 24 a.

24

5.Угринович, Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учеб. Для 1011 кл. / Н.Д. Угринович. – М.:Бином.Лаборатория знаний, 2003.–512 с.

Занятие 4. Функции, их свойства и графики

Цель:

формирование умений обобщать, сравнивать, строить графики, исследовать функции. Задачи:

1.Изучить понятие отображения, понятие функции.

2.Описать основные свойства функций.

3.Изучить графики элементарных функций.

4.проанализировать методы преобразования графиков.

5.Решить ряд задач и примеров на исследование функции и построение ее графика, свойства и графики основных тригонометрических функций

Трудоемкость занятий 10 часов

Литература

1.Алгебра и начала анализа:учеб. Для 10-11 кл общеобразоват.учреждений. / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова.–М.:Просвещение,2003. – 384 с.

2.Грес, П.В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос,

2004. – 160 с.

3.Жолков, С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. – М.:

Гардарики, 2002. – 531 с.: ил.

4.Карелина И.Г. математика.-Воронеж:ВГУ, 2002.– 24 a.

5.Угринович, Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учеб. Для 1011 кл. / Н.Д. Угринович. – М.:Бином.Лаборатория знаний, 2003.–512 с.

Занятие 5. Производная и ее применение Цель: научится вычислять и применять производную к исследованию функции Задачи:

1.Изучить понятие приращения функции, предела функции, понятие о производной, задачи, приводящие к производной.

2.Решать задачи на правила дифференцирования.

3.Описать схему исследования функции, решать задачи на применение производной к исследованию функции 4. Изучить интегрирование как операцию, обратную дифференцированию. Решат задачи на вычисление интеграла

Трудоемкость занятий 6ч.

Литература

Алгебра и начала анализа:учеб. Для 10-11 кл общеобразоват.учреждений. / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова.–М.:Просвещение,2003. – 384 с.

Занятие 6. Геометрия Цель: освоение базовых знаний геометрии на примере стереометрии.

Задачи: Решение задач на вычисление площадей и объемов тел.

Трудоемкость занятия 4ч

Материалы к занятию 6

25

Многогранники

Обозначения: V — объем;

Sполн — площадь полной поверхности;

Sбок — площадь боковой поверхности; Sо — площадь основания;

Pо — периметр основания;

Pо — периметр перпендикулярного сечения; l — длина ребра;

h — высота.

Формула Эйлера

N − L + F = 2

N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника. Призма — многранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.

Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.

Пирамида — многранник, у которого одна грань n-угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.

где k — апофема

26

Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.

где S1 и S2 — площади оснований

где α — двугранный угол при ребре нижнего основания.

Тема №16 Тела вращения: цилиндр, конус, шар. Объемы тел вращения.

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на данном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Площадь поверхности S и объѐм V шара радиуса r определяются формулами: S = 4πr2

S = πd2

Цилиндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причѐм если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности тел вращения вычисляется по их развѐртке. Развѐртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной 2πR, следовательно площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развѐртки и вычисляется по формуле:

27

Sb = 2πRh

Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований:

Sp = 2πR(h + R)

Объѐм прямого кругового цилиндра

Возьмѐм плоскую фигуру, образованную следующими прямыми: y = R,x = 0,x = h,y = 0 и будем вращать еѐ вокруг оси Ox. Таким образом мы получаем тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, то есть цилиндр. Объѐм может быть найден согласно формуле:

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Если площадь основания конечна, то объѐм конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объѐм, поскольку их высоты равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объѐмом лежит на четверти высоты от основания.

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где — угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

где — радиус основания, — длина образующей.

Объем кругового конуса равен

Раздел II.Информатика

Занятие 7. Информация и информационные процессы

Цель:

-Освоение техники безопасности работы за компьютером

-Получить представление о роли информатики в современном обществе

Задачи:

1. Изучить вводные понятия информатики, технику безопасности и гигиенические требования при использовании ИКТ технологии.

2. Исследовать понятие информации, информационных процессов,

28

3.проанализировать способы представления информации, формулы подсчета количества информации

4.дать представление о системах счисления, методах и способах представления чисел в позиционных системах счисления, перевода из одной системы счисления в другую, арифметических действий над числами.

Трудоемкость занятия 6 ч.

Литература

1.Семакин И.Г. Хеннер Е.К. Информатика и ИКТ. Базовый уровень : учебник для 10–11 классов. – М.: БИНОМ, 2007. -246стр.

2.Угринович, Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учеб. Для 1011 кл. / Н.Д. Угринович. – М.:Бином.Лаборатория знаний, 2003.–512 с.

3.Бешенков С., Ракитина Е. Информатика. Систематический курс. – Учебник для 10 класса. – М.:Лаборатория базовых знаний, 2001. – 423с.: ил.

4.Информатика в понятиях и терминах: Кн. Для уч. стар. классов сред. шк./ Под ред. В.А. Извозчикова.- М.: Просвещение, 2001.-208 с.: ил.

Занятие 8. Информационное моделирование Цель: Ознакомиться с понятием моделирования как упрощенного представления об объектах, процессах, явлениях.

Задачи:

1.Изучить понятие моделирования как метод познания, виды информационных моделей..

2.Описать этапы моделирования на компьютере.

3. Решать задачи на построение графов, таблиц.

Трудоемкость занятия 2ч. Материал для занятия 8

Объектом информационного моделирования может быть всѐ что угодно: отдельные предметы (дерево, стол); физические , химические , биологические процессы, метеорологические явления (гроза, смерч); экономические и социальные процессы. Объект – некоторая часть окружающего нас мира, которая может быть рассмотрена как единое целое.

Свойства объекта – совокупность признаков объекта, по которым его можно отличить от других объектов Модель – это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Моделирование – построение моделей для изучения объектов, процессов, явлений. Материальные модели иначе можно назвать предметными или физическими. Они воспроизводят геометрические свойства оригинала и имеют реальное воплощение.

Примеры материальных моделей:

Детские игрушки (куклы – модель ребенка, машинки – модели реальных автомобилей и т.д.).

Глобус – модель планеты Земля.

Школьные пособия (скелет человека – модель реального скелета, модель атома кислорода и т.д.)

Физические и химические опыты.

Информационная модель – совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Примеры моделей:

Чертеж кухонной мебели – модель мебели для кухни. Схема Московского метрополитена – модель метро. График изменения курса евро – модель роста курса евро.

29

По способу реализации информационные модели делятся на компьютерные и некомпьютерные

Этапы моделирования 1.Постановка задачи

2.Разработка модели

3.Компьютерный эксперимент

4.Анализ результатов моделирования

Данные, используемые в любой информационной модели, всегда структурированы, упорядочены.

Виды описания структур данных:

1.Графы. Составные части графа : вершины , рѐбра

2.Деревья

3. Таблицы Пример 1 район состоит из пяти посѐлков: Д,Б,Р,К, М. Автомобильные дороги

проложены между: Д и Б, Д и К, Б и К, Б и М, Р и К. Решение – неориентированный граф

Пример 2 переливание крови от одного человека другому зависит от группы крови. Решение – ориентированный граф Задачи

1.Изобразите в виде графа систему, состоящую из четырех одноклассников, между которыми существуют следующие связи (взаимоотношения): дружат: Саша и Маша, Саша и Даша, Маша и Гриша, Гриша и Саша. Глядя на полученный граф, ответьте на вопрос: с кем Саша может поделиться секретом, не рискуя, что он станет известен кому-то другому?

2.Нарисовать ориентированный граф (блок-схему) проверки учителем тетрадей. В систему команд входят команды : проверить работу; взять тетрадь из пачки; выставить оценку; выяснить, остались ли ещѐ не проверенные тетради.

3.Нарисуйте два варианта графа системы «Компьютер», содержащего следующие вершины: процессор, оперативная память, внешняя память, клавиатура, монитор, принтер; а) линия связи обозначает отношение «передает информацию»; б) линия связи обозначает отношение «управляет».

4.Нарисуйте блок-схему поиска фальшивой монеты среди 10 монет. Имеем

чашечные весы и известно, что фальшивая монета всего одна , и она легче настоящих.

Двоичные матрицы удобно использовать для решения некоторых логических задач — головоломок. Попробуйте таким путем решить следующие задачи.

30