1 семестр / Мои шпоры

Формула Лейбница

Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай n- кратного дифференцирования. Пусть f(z) и g(z) - n раз дифференцируемые функции,

тогда

Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши) и их геометрический смысл

Теорема Ролля: Пусть функция y f x непрерывна на отрезке a;b ,

дифференцируема хотя бы на отрезке a;b и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. f a f b , тогда существует хотя бы одна точка c a;b , т.ч.

f c 0 .

Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции y f x на отрезке a;b совпадают, т.е. M m и функция y f x постоянна тогда

c a;b производная f c 0 . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале a;b наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать M и m на концах отрезка, т.к. f a f b и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала a;b есть точка экстремума c , f c 0 Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции y f x существует точка c; f c , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.

Теорема Лагранжа: Пусть функция y f x непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема хотя бы на отрезке a;b , тогда существует точка c a;b , т.ч.

f c f b f a . b a

Доказательство. Пусть x - конечное число. Доопределим функции x и x ,

предполагая, что x 0 x0 0 . Тогда эти функции непрерывны в точке x0 .

Рассмотрим интервал x 0 ; x , где x x 0 . Тогда x и x непрерывны на отрезке x 0 ; x и дифференцируемы на интервале x 0 ; x . Тогда по теореме Коши

Пусть функция y f x дифференцируема на интервале a;b при всех x a;b

тогда: если f x 0 , то функция возрастает на a;b , а если f x 0 , то функция убывает на этом интервале.

Если существует окрестность точки x0 , такая что для всех точек x x0 ,

принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f x f x0 (или

f x f x0 ), то x0 - называется точкой минимума (максимума) этой функции, а

- локальным минимумом (максимумом) этой функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума): Если y f x имеет в точке

не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 , может быть за исключением самой точки x0 . Тогда,

если при переходе через точку x0 , f x0 меняет знак с "+" на "–", то в точке x0 -

максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же f x0 не меняет свой знак при переходе через точку x0 , то она не является точкой экстремума.

Экстремумы функции

Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) <=f(x0)

Определение 2. Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x) >=f(x1)

Необходимые условия экстремума

Теорема (необходимое условие экстремума): Если y f x имеет в точке

Достаточные условия экстремума по первой производной

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 , может быть за исключением самой точки x0 . Тогда,

если при переходе через точку x0 , f x0 меняет знак с "+" на "–", то в точке x0 -

максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же f x0 не меняет свой знак при переходе через точку x0 , то она не является точкой экстремума.

Исследование на экстремум с помощью производных высших порядков

Достаточное условие экстремума по второй производной

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия: она непрерывна в окрестности точки x0;

первая производная f′(x)=0 в точке x0; f′′(x)≠0 в точке x0 .

Тогда в точке x0 достигается экстремум, причем, если f′′(x0)>0, то в точке x=x0 функция y=f(x) имеет минимум; если f′′(x0)<0, то в точке x=x0 функция y=f(x) достигает максимум.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано

Рассмотрим произвольный многочлен степени n : Pn x a0 a1x a2 x2 ... an xn .

Где a0 , a1..., an - постоянные числа, коэффициенты многочлена.

Найдем последовательные производные и вычислим Pn k 0 :

число. Проделав аналогичную процедуру получим:

Любую функцию можно представить в виде многочлена: f x Pn x Rn 1 x .

Где Pn x - многочлен Тейлора, а Rn 1 x - остаточный член. Т.е.:

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

Направление выпуклости графика функции

Достаточное условие выпуклости

Точки перегиба

Точка перегиба – это точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз или вверх.

Необходимое и достаточное условия точки перегиба

Необходимое условие перегиба. Вторая производная f’’(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю.

Достаточное условие перегиба. Если вторая производная f’’(x) при переходе через некоторую точку x0 меняет свой знак, то x0 точка перегиба.

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Пример:

Первообразной для функции f(x)=х на всей числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку

(x2/2)'=x.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию. f(x)dx = F(x)+ c Где С - произвольная постоянная (const).

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Определённый интеграл и его геометрический смысл

Если функция f(x) непрерывна на промежутке числовой оси, содержащей точки x=а и x=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на данном промежутке называется определенным интегралом от функции f(x) от а до b.

Свойства определенного интеграла

Определённый интеграл численно равен площади фигуры S, ограниченной осью абсцисс (Ох), прямыми x=а и х=b и графиком функции у=f(x).

Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Интеграл с переменным верхним пределом