Глава 2.

§1. Геометрический метод построения фракталов

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками еще в XIX веке. Многие называют эти фракталы классическими или линейными. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видно самоподобие.

Эти фракталы обычно формируются, начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный основной рисунок. Во всех геометрических фракталах самоподобие проявляется на всех уровнях. Это значит, что независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, узор будет тем же. Геометрические фракталы образуются в процессе, называемом итерацией, которая применяет основной рисунок к инициатору, после чего применяет его к результату и так далее. Большинство людей итерируют геометрические фракталы 5-7 раз, чтобы получить четкую красивую картинку. Для сложных фракталов это не так. Одномерные геометрические фракталы линейны, так как при каждой итерации что-то убирается, либо прибавляется в форме прямых линий.

§ 2. Построение кривой Серпинского.

Можно построить непрерывную линию, геометрически эквивалентную ковру Серпинского. Инициирующим элементом для такого построения берется отрезок единичной длины, который потом заменяется на конструкцию, называемую генератором, состоящую из трех отрезков длиной 1/2 , расположенных под углом 120 градусов друг к другу. Затем каждый из этих отрезков заменяется, в свою очередь, на генератор в два раза меньшего размера так, как показано на рис.1.

Рис.1. Построение кривой Серпинского.

Контуры будущего ковра Серпинского отчетливо проступают на следующих двух этапах (рис.2). Эта процедура повторяется до бесконечности. Легко видеть, что каждое следующее изображение может быть получено из предыдущего путем склеивания трех уменьшенных в два раза его копий, две из которых повернуты на угол в 120 и -120 градусов относительно оригинала.

Рис.2. Следующие два шага в построении кривой Серпинского.

§ 3. Построение фрактала «журавлиный клин»

Алгоритм построения фрактала «журавлиный клин»:

1. Берем квадрат со стороной единичной длины

2. Делим исходный квадрат на 16 равных квадратов со стороной ¼

3. Отбросим не закрашенные 9 квадратов

4. С каждым из оставшихся 7 закрашенных квадратов проделываем ту же процедуру

Процедуру повторяем сколько угодно раз. На рис.3. представлено 5 итераций.

Рис.3. Построение фрактала «журавлиный клин»

Глава 3.

§ 1. Метод построения фракталов с помощью l-кодов.

Напомним, что фрактальной кривой называется кривая, состоящая из частей, каждая из которых представляет уменьшенную копию целого. В самом простом случае небольшая часть фрактальной кривой содержит информацию о всей кривой.

Для построения фрактальных кривых существуют различные способы, одним из которых является метод L-кодов. Оказалось, что с их помощью очень удобно рисовать фракталы и различные природные объекты с самоподобной структурой. Метод построения графических объектов с помощью L-кодов ещё называют "черепашьей графикой" (turtle geometry).

В алгоритме построения фрактальных кривых используется код для описания кривой. Простейший код состоит из буквы Е и знаков + и - . Кроме этого, задаются два угла φ и φ₀. Буква Е означает, что мы чертим отрезок длины l в нужном нам направлении. Знак + означает, что следующий отрезок мы будем чертить в направлении на угол φ против часовой стрелки, и знак - означает, что поворот происходит на угол φ по часовой стрелке. Угол φ₀ задает начальное направление. Если дана координатная система XOY, то φ₀ – начальный угол между осью OX и первым отрезком Е. Угол φ₀ откладывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки.