3Случайные Величины

Пусть – любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда

.

По аксиоме 3 лекции 2 имеем

.

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке сходящегося ряда):

.

Используя свойство 3, выразим вероятности событий через функцию распределения:

,

откуда

,

или

.

Это значит, что

.

Функция распределения ДСВ. Рассмотрим построение функции распределения для ДСВ , заданной многоугольником распределения (рис. 6).

Пока аргумент функции остаётся меньшим или равным , функция распределения равна нулю (рис. 7), так как нет ни одного значения , которое было бы меньше .

В точке функция скачком принимает значение и остаётся постоянной в интервале от до .

В точке функция скачком принимает значение , так как событие «ДСВ приняла значение меньшее » состоит из двух несовместных событий «ДСВ приняла значение » с вероятностью и «ДСВ приняла значение » с вероятностью .

Аналогично вычисляются значения для остальных . Поэтому для ДСВ функция распределения равна сумме вероятностей тех ее значений , которые меньше :

.

Из-за такого способа вычисления функцию распределения ДСВ называют накопленной или кумулятивной вероятностью.

Как видно из рисунка 7, график для ДСВ имеет ступенчатый вид. Скачки совершаются в точках возможных значений. Длина скачка равна соответствующей вероятности.

►Пример. Построим функцию распределения и её график для ДСВ из примера пункта «Описание случайных величин».

Решение. Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Таким образом, функция распределения данной ДСВ имеет вид:

График функции распределения:

◄

При увеличении числа возможных значений случайной величины и уменьшении интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше. В пределе функция распределения становится непрерывной. Непрерывная функция распределения используется для описания НСВ.

Функция распределения НСВ. Функция распределения СВ – это функция действительной переменной , определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие некоторого фиксированного числа :

.

Тогда из формулы

следует, что для любых

.

Геометрически функция распределения есть площадь фигуры, лежащей левее точки , ограниченной кривой распределения и осью абсцисс. Из последней формулы и теоремы Барроу для случая, когда непрерывна, следует, что производная от функции распределения равна плотности распределения:

.

Таким образом, функция распределения является универсальной характеристикой случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

►Пример. Функция распределения СВ имеет вид:

Найти её плотность вероятности .

Решение. Плотность вероятности и функция распределения связаны соотношением

.

В соответствии с этим равенством имеем:

при ;

при .

Таким образом, плотность вероятности определяется функцией

◄

►Пример. Найти функцию распределения НСВ , плотность вероятности которой определена функцией:

Решение.

При получаем

.

При находим

.

При

.

При

.

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид:

Изобразим графики функций (рис. 9) и (рис. 10).

◄

ЛЕКЦИЯ 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание. Полное описание случайной величины дается её законом распределения или плотностью вероятности, или функцией распределения. Но иногда достаточно знать более простые характеристики. Например, среднее значение всех возможных значений случайной величины.

►Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Первый выбил одну десятку, три восьмерки, четыре шестерки и две четверки; второй – две десятки, одну восьмерку, три шестерки и две четверки. Кто из них стреляет лучше?

Решение. Средний результат первого стрелка:

.

Средний результат второго стрелка:

.

Понятно, что второй стрелок более меткий. ◄

В общем случае, когда одно и то же испытание производится в неизменных условиях раз, при этом СВ принимает раз значение (статистический вес ), раз принимает значение , …, раз принимает значение и , средневзвешенное значение случайной величины находится по формуле:

.

При большом числе испытаний относительная частота , группируется около вероятности того, что СВ примет значение . Следовательно, среднее арифметическое значение СВ в достаточно длинной серии испытаний будут группироваться вокруг величины

,

которая называется математическим ожиданием СВ .

Математическое ожидание еще называют центром распределения случайной величины. Это название возникло по следующей причине: если в точках , , …, на оси находятся соответственно массы , , …, , то координата центра тяжести такой системы материальных точек находится по формуле:

,

которая совпадает с предыдущей формулой в силу условия нормировки .

Определение 7.1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности.

Обозначение: , , .

Если множество значений ДСВ бесконечно, то её математическое ожидание равно сумме бесконечного ряда:

,

при условии, что ряд абсолютно сходится. Иначе математического ожидания не существует.

Математическое ожидание ДСВ может не совпадать ни с одним из её значений, то есть может находиться между этими значениями. Отметим, что математическое ожидание – это постоянное число, то есть величина неслучайная, а среднее арифметическое может изменяться при дублировании опыта, то есть является величиной случайной.

Математическое ожидание НСВ введём по аналогии с определением 6.1.

Пусть НСВ с плотностью вероятности принимает значения из отрезка (рис. 1).

Разобьем этот отрезок на элементарных отрезков

, , …, .

Длины этих отрезков равны

, .

На каждом из отрезков произвольно выберем точку и составим произведение

,

которое приближенно равно вероятности попадания значений НСВ в интервал , то есть

.

Просуммируем эти произведения:

.

Это равенство будет тем точнее, чем меньше . Значит,

.

Полученный определенный интеграл называется математическим ожиданием НСВ , то есть

.

Если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу , то

.

Если в последней формуле несобственный интеграл является абсолютно сходящимся, то математическое ожидание не существует.

Механическая интерпретация последней формулы такова. Пусть масса стержня бесконечной длины меняется пропорционально плотности распределения . Тогда дает координаты центра тяжести этого стержня.

►Пример. Цементацией называется насыщение стальной поверхности атомами углерода. Пусть НСВ – глубина проникновения данного атома. Её плотность вероятности равна

.

Найти среднюю глубину проникновения атомов углерода.

Решение.

. ◄

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

Доказательство. Постоянная величина есть значение СВ , которое оно принимает с вероятностью, равной единице, то есть

.

По определению математического ожидания получаем:

.

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

Доказательство. Пусть ряд распределения СВ имеет вид:

Пусть СВ также принимает одно значение из двух возможных. Причём их вероятности, вообще говоря, зависят от того, какое значение приняла СВ :

Из условия нормировки следует, что

,

.

По формуле полной вероятности получаем, что

,

Используя теорему умножения вероятностей, запишем ряд распределения СВ :

По определению математического ожидания имеем:

.

Аналогично это свойство доказывается для суммы двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для суммы нескольких случайных величин.

3. Математическое ожидание произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий их сомножителей, то есть:

.

Доказательство. Рассмотрим СВ и СВ из предыдущего доказательства. При этом возможными значениями случайной величины будут , , , с соответствующими вероятностями , , , .

По определению математического ожидания имеем:

.

Аналогично это свойство доказывается для произведения двух случайных величин не только с двумя, но и с большим числом возможных значений, а также для произведения нескольких случайных величин.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. По свойству 3) имеем:

.

5. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

.

Доказательство. По свойствам 2) и 4) имеем:

.

6. Математическое ожидание случайной величины имеет её размерность. Докажите это свойство самостоятельно.

Дисперсия. Математическое ожидание случайной величины дает центр распределения значений. Но иногда требуется знать степень разброса этих значений относительно центра распределения. Может быть, для этого нужно вычислить все возможные значения отклонения СВ от своего математического ожидания и затем найти их среднее значение? Рассмотрим пример, иллюстрирующий такую ситуацию.

►Пример. Законы распределения попаданий в мишень двух зенитных орудий имеют вид:

	-1	1
	0,5	0,5