Электромагнитные поля и волны.-5
.pdf
129
Определить проводимость плоского конденсатора, если заданы: S -площадь пластин, d – расстояние между ними, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика в конденсаторе, σ – удельная проводимость диэлектрика. Определить мощность, выделяющуюся в конденсаторе в виде тепла, если к нему приложено напряжение U . Поле в конденсаторе считать однородным Дать численный ответ задачи, если
d = 0.5см, ε r = 4, σ = 10−6 См / м,U = 100 В.
Решение:
Задачу можно решить двумя способами. В первом - получим формулу для проводимости путем следующих рассуждений. В диэлектрике конденсатора под действием напряженности поля Е возникает ток утечки, подчиняющийся закону Ома jпр
Поскольку поле в конденсаторе предполагается однородным, то
E = U d и I = jпрS .
Проводимость конденсатора определится как
G = I |
= σ × S |
U |
d . |
|
Второй способ состоит в использовании соотношения между емкостью и проводимостью (4.29). Емкость плоского конденсатора
равна
C = εS d ,
так что полученная выше формула для проводимости получается заменой ε на σ в формуле для емкости.
Проведем численные расчеты. Определим вначале емкость
конденсатора. C = ε 0ε r S =0,707 пФ, d
G = 2 ×10−8 Cм, Р = U 2 × G = 2 ×10−4 Вт.
Задача № 12 (шаговое напряжение) Заземление представляет собой металлическую полусферу, погруженную в землю, как показано на рисунке 4.12. R – радиус заземления, r - расстояние от его центра до произвольной точки внутри земли. σ –
Рис. 4. 12
130
удельная проводимость земли. К заземлению подводится ток I , который растекается в толще земли к другому заземлению, которое находится достаточно далеко. Определить сопротивление заземления, пренебрегая собственным сопротивлением металла, и шаговое напряжение на расстоянии
2м от заземления. Принять R = 20 см, σ = 10−2 См / м, I = 1000 А (ток короткого замыкания на линии передачи)
Решение:
Поскольку расстояние до второго заземления предполагается большим, то поле в земле можно считать зависящим только от расстояния r и не зависящим от угловых координат точки
наблюдения. Плотность тока в земле на расстоянии |
будет равна |
|||||
δ |
пр |
= I /(2π r 2 ). Из закона Ома |
δ |
пр |
= σ E получим |
E(r) = I /(2πσ r 2 ). |
|
|
|
|
|
||
Определим напряжение на заземлении по отношению к бесконечно удаленной точке
∞ |
I |
∞ |
I |
|
||
U = ∫ E(r)dr = |
∫ |
dr |
= |
|||
2πσ |
|
2πσR . |
||||
R |
R r 2 |
|||||
Проводимость заземления будет равна 2πσR , а сопротивление - обратной величине. Конечно, формулу для проводимости заземления можно было получить проще, воспользовавшись методом электростатической аналогии, т.е. формулой (4.29). При этом нужно принять емкость полусферы равной половине емкости сферы, т.е. C = 2πεR . Определим шаговое напряжение, т.е. напряжение между точками на поверхности земли на расстоянии одного шага – l
r + l |
I |
r + l |
dr |
|
U ш = ∫ E(r)dr = |
∫ |
|||
2πσ |
r 2 |
|||
r |
r |
= I 2πσ
|
l |
|
|
|
|
||
|
|||
|
|
|
r(r + l)
Проведем численные расчеты. |
|
|
|
|
|||
Сопротивление заземления RЗ |
= |
U |
= (2πσR)−1 =79,6 Ом. Шаговое |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
напряжение на расстоянии r = 2м длине шага l = 0.8м |
|||||||
Uш = |
I |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
2πσ r(r + l) = 2,27 кВ |
||||||
131
Таким образом, нахождение человека вблизи заземления при аварии на линии может быть опасным для жизни.
4.6. Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1 Вычислить магнитную энергию, сосредоточенную внутри
единичного участка длины цилиндрического проводника, с протекающим по нему током I0 .
Ответ: WM = |
μa × I02 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
16π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача № 2 |
|
|
|
I 2 |
|
|||||||||||||||
Тонкостенная труба распилена вдоль |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
на шесть одинаковых частей (см. рис. 4.13), I |
1 |
|
|
|
|
|
|
I 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
по которым протекают постоянные токи I 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I 2 и I 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Чему равно магнитное поле на оси трубы?
Ответ: H = 0 .
Задача № 3 Металлическая труба параллельна
тонкому прямолинейному проводу, расстояние от оси трубки до провода l ,
радиус поперечного |
сечения трубы |
|
l |
(см. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
рис. 4.14). По трубе протекает ток |
I1 = 1A , а |
||||
по проводу I 2 = 5A . |
Укажите координаты |
||||
точки, в которой магнитное поле равно нулю. трубки исключается.
Ответ: Такой точки нет. Задача № 4
Определить в точке М (а,0,0 ) (см. рис. 4.15) проекцию на ось Х магнитного поля, возбужденного кольцевым проводником тока
|
|
I 1 = z0 × I |
||
I 1 |
||||
I 2 |
= -z0 × I |
|||
|
|
|||
Рис. 4.13
I1 |
= 1A |
l |
||
|
||||
I2 = 5A |
|
|
|
2 |
X
l
Пространство внутри
X
M (a,0,0)
0 |
Y |
Рис. 4.15
132
I радиуса а, расположенного в плоскости XY симметрично началу координат. Справка:
H = |
|
I |
|
× ∫ |
1 |
[dl, r 0 ]. |
|
×π |
|
2 |
|||
4 |
|
L r |
||||
Ответ: H x (M ) = 0 . |
||||||
Задача № 5 |
||||||
Чему |
равен магнитный векторный потенциал Am в точке |
|||||
наблюдения, расположенной на оси кольцевого проводника с радиусом а и с током I = 1A на расстоянии 1м от кольца?
Ответ: |
Am |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 6 |
|
|
|
||||||||
Определить внутреннюю индуктивность |
|
|
|
||||||||
L на единицу длины одиночного прямого |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
круглого сечения провода с радиусом |
|
|
|
||||||||
поперечного |
сечения R и с ее магнитной |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
проницаемостью μ . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
Ответ: L = |
|
μ |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
8 ×π |
|
|
|
|||||||
Задача № 7
Круглый виток радиуса b лежит в плоскости, проходящей через ось цилиндрического проводника малого радиуса а, на расстоянии l, причем l >> b; a < b (Рис. 4.16). Определить взаимную
индуктивность, если виток повернуть на угол |
θ вокруг прямой |
|
|||||||||||||
А-В, или на угол β вокруг прямой С-D. |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: M = |
μ b |
; |
Mθ |
= |
μ b |
cosθ ; M β = |
μ b |
cos β . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2l |
|
|
|
2l |
2l |
|
|
|
|
|||||
Задача |
№ |
8 |
|
|
|
Определить |
|
взаимную |
|
||||||
индуктивность |
прямоугольной |
рамки |
и |
|
|||||||||||
прямолинейного провода с током I2 , протекающим |
|
|
|||||||||||||
по нему рисунок 4.17. Справка: Ф1,2 = |
М1,2 × I2 |
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: M1,2 = |
μa × b |
l + a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||
Задача № 9
133
Проводник круглого сечения радиуса а представляет кольцо радиуса R >> a . Определить индуктивность кольца.
Ответ: L = mR / 4 .
Задача № 10 Внутренний провод коаксиального кабеля оголен и изогнут в виде полуокружности с радиусом R. По нему протекает ток I . Вычислить величину магнитного поля в центре полуокружности.
Ответ: H = I / (4R).
Задача № 11
Прямоугольник из тонкого |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
проводника |
с |
размерами |
а и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
расположен |
на удалении |
l от |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
бесконечного |
прямолинейного |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
проводника |
|
и |
наклонен |
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно |
него |
на 600 |
(см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 4.18). Определить взаимную индуктивность системы.
Ответ: M1,2 = μaπ× b ln l + a. 4 l
Задача № 12 Два кольцевых проводника с радиусами R1 << R2 лежат в одной плоскости. Считая, что поле в центре большого кольца, где расположено малое кольцо, однородно и равно
B @ μ × I2 (2 × R2 ) .
Определить взаимную индуктивность. Как изменится взаимная индуктивность колец, если радиус R1 уменьшить вдвое, а R2 - вчетверо.
Ответ: Останется неизменным
Задача № 13 Найти взаимную индуктивность два одинаковых, параллельных колец c радиусами R, расположенных на одной оси и удаленных друг от друга на расстоянии L (l >> R ). Напряженность
|
H(L) = |
I |
|
|
R 2 |
|
магнитного поля на оси одного кольца равна |
|
× |
|
|
. |
|
2 |
(R 2 |
+ L2 )3 / 2 |
||||
134
Ответ: M |
= m × p × R 4 . |
1,2 |
2 × L3 |
Задача № 14 Вычислить сопротивление изоляции на единицу длины коаксиального кабеля, заполненного диэлектриком с проводимостью σ и заданным значением ε . Размеры кабеля заданы: радиус жилы а1 , радиус оплетки а2 (см. рис.4.19).
Рис. 4.19
|
|
ln |
a2 |
|
|
|
R = |
a |
|||
|
|
||||
Ответ: |
1 |
. |
|||
2πlσ |
|||||
Задача № 15 По трем параллельным прямолинейным проводам протекают постоянные токи (рис. 4.20). Каждый провод удален от остальных
на одинаковое расстояние. Укажите точку на Рис. 4.20 поперечном сечении системы, где магнитное поле равно нулю.
Ответ: точка D.
Задача № 16 Диэлектрик коаксиального кабеля имеет диэлектрическую проницаемость ε и удельную проводимость σ . Определить напряженность электрического поля внутри кабеля, если ток утечки на единицу длины задан I . Справка: I = ∫ j × dS .
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
R |
R |
0 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
E = r |
× |
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
× p × s × r |
||
135
Задача № 17 Металлический шар радиуса R закопан на большую глубину в землю проводимость которой σ . Ток, вытекающий из поверхности шара, I . Получить выражение для разности потенциалов между шаром и любой
точкой в почве, удаленной на r . |
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: U = |
|
|
I |
× |
1 |
|
- |
1 |
. |
|
|
|
|
||
|
× p × s |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
R |
|
r |
|
|
Рис. 4. |
|||||||
Задача № 18 Определить собственную |
|
z |
|||||||||||||
погонную |
|
|
|
|
индуктивность |
L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||
прямолинейного |
|
проводника |
круглого |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
сечения |
радиусом |
|
R |
|
|
и |
магнитной |
|
|
||||||
проницаемостью μ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|||||
Ответ: L = |
μ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 I1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 ×π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача |
№ |
19 |
По |
прямолинейному |
|
Рис. 4.21 |
|||||||||
проводу |
протекает |
ток |
I = π [ |
A]. |
|
|
|||||||||
Определить напряженность магнитного поля в точке наблюдения, удаленной от провода на расстояние r = 0,5m ?
Ответ: I / m. A / M .
Задача № 20 Вдоль тонкостенной бесконечной трубы радиуса а и тонкого провода, расположенного вдоль оси трубы (рис. 4.21),
протекают постоянные токи I1 и (− I 2 ) . Определить магнитное поле
в точках отстоящих от оси на |
расстояниях а / 2 и 2 × a в |
||||
цилиндрической системе координат (r,z,a)? |
|||||
Ответ: Hα = |
− I 2 |
; Hα = |
I1 − I 2 |
. |
|
|
|
|
|||
π × a |
|
4 ×π × a |
|
||
Задача № 21 Диэлектрик коаксиального кабеля имеет |
|||||
диэлектрическую проницаемость ε |
и удельную проводимость σ . |
||||
Определить напряженность электрического поля внутри кабеля, если ток утечки на единицу длины задан I. Справка: I = ∫ j × dS .
|
|
|
|
|
|
S |
R |
R |
0 |
|
|
I |
|
|
|
|
||||
Ответ: E = r |
× |
|
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
× p × s × r |
||
136
Задача № 22 Вычислить сопротивление заземлителя, выполненного в виде шара радиуса a . Шар закопан на глубину h на краю обрыва на расстоянии h от его края рис. 3.16. Проводимость почвы равна σ . Принять, что a << h .
Указание: Воспользоваться методом электростатической аналогии. При расчете емкости подобрать соответствующие зеркальные изображения шара и их заряды.
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: R = |
|
2 |
2 |
||||||||||
= |
|
+ |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
G |
4ps a |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 23 Два коаксиальных проводящих кольца с радиусами R1 << R2 лежат в одной плоскости. Считая, что поле в центре большого кольца, т.е. там, где расположено малое кольцо,
B @ |
μ × I |
2 |
|
2 × R2 . Определить, как изменится |
|
однородно и равно |
|
взаимоиндуктивность колец, если радиус R1 уменьшить вдвое, а R2 вчетверо.
Ответ: Останется неизменным
Задача № 24 |
В среде с проводимостью σ задано |
|||||
распределение потенциала ϕ = 4 × x2 + 5 × y3 + 7 . |
||||||
Ответ: |
|
= -σ × (8 × x × |
|
+15 × y 2 × |
|
) |
δ пр |
x0 |
y0 |
||||
Задача № 25 Как изменится индуктивность отрезка прямолинейного провода , если , сократив его вес , укоротить его вдвое?
Ответ: Уменьшится вдвое
Задача № 26 Чему равен магнитный векторный потенциал Am в точке наблюдения, расположенной на оси кольцевого проводника с радиусом a и с током I = 1A на расстоянии 1м от кольца?
Am = 0
Ответ:
137
Задача № 27 В среде с проводимостью σ 0 задано распределение потенциала ϕ = 5 × x2 +10 × y + 5 . Определить плотность тока проводимости.
Ответ: δ = 10 ×σ 0 (x × x0 + y 0 )
Задача № 28 В почве, проводимость которой σ , на большой глубине закопан металлический шар радиуса А. Ток, вытекающий из поверхности шара, I. Записать выражение разности потенциалов между шаром и любой точкой в почве, удаленной на r. Справка:
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
U ab = ϕ a - ϕb = ∫ E × dl I = ∫δ × ds |
; |
||||||||
|
a |
; |
s |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
I |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
U = |
|
|
× |
|
- |
|
|
|
Ответ: |
|
×π ×σ |
|
|
|
||||
4 |
A |
|
r |
|
|||||
Задача № 29 По прямолинейному проводу протекает ток
I = π (A). Какова напряженность магнитного поля в точке наблюдения, удаленной от провода на расстояние r = 0.5m?
1 A
Ответ: m
Задача № 30 Как изменится погонная индуктивность прямолинейного
провода круглого сечения , если его толщину уменьшить в три раза?
Ответ: Останется неизменным
Задача № 31 Найти решение уравнения Ñ2 × Am (x) = -μ ×δ , если
