Математика.-3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Задача 96.

Решить уравнение

y 5y .

Решение.

Запишем

dy

5 y . Теперь домножим на dx, разделим на y .

dx

dy

5dx .

Особое

решение

y 0 .

Далее,

dy

5dx

y

y

ln

y

5x C

y

eC1 e5x

= Сe5x (где C > 0 так как С eC1 ). Но

1

нам надо

выразить

не

y

,

а

само

y , тогда

и ограничение

на

уравнения, что и является ответом:

y Ce5 x , где C R .

Ответ.

y Ce5 x

( C R ).

Задача 97. Решить дифференциальное уравнение

y

x

, и найти

y

частное решение, удовлетворяющее условию Коши y(0) 2 .

Решение.

y

x

dy

x

ydy xdx ydy xdx

y

dx

y

y 2

x 2

C

, умножим на 2:

y 2

x 2 2C

. Константа 2C

2

2

1

1

1

не может быть отрицательной, иначе y 2

0 и не будет существовать

корень квадратный. Тогда

2C 0

, и можно обозначить еѐ в виде C 2 .

1

Итак, y 2 C 2

x 2 , это уравнение окружности.

Но выразим явно функцию y(x) :

y

C 2 x2 общее решение.

2x

x

.

Проверка:

y

C 2 x2

2

C 2 x2

y

2

dy

2

dy

dx

Решение.

xy

y

y x dx y

y y 2 y x .

Особые решения: y 0 и

y 1. Далее, чтобы найти интеграл левой

части, надо разложить на простейшие дроби, а именно

1

1

=

A

B

. При приведении к общему

y 2 y

y( y 1)

y y

1

знаменателю, получается

Ay A By

0 y 1

, что приводит к

y( y 1)

y( y 1)

системе уравнений

A B 0

, тогда

A 1, B 1.

A

1

dy

dx

1

1

dx

2

dy

ln

y 1

ln

y

ln

x

ln C

y y

x

y

y

1

x

ln

y 1

ln C

x

y 1

Cx 1

1

Cx

1

1 Cx , и

y

1

y

y

y

ответ: y

. Это «общее решение», то есть бесконечный набор

1 Cx

решений. Теперь найдѐм частное решение. Применим условие

y(2) 1,

то есть подставим x 2, y 1 и сможем найти С.

y

1

1

1

1 2C

1 C 1.

1 Cx

1 2C

Тогда частное решение: y

1

.

1 x

Ответ. Общее решение y

1

, частное решение: y

1

.

1 Cx

1 x

Задача Д-26.

Решить уравнение xyy 1 x 2 .

Ответ.

y

ln(Cx2 ) x2 .

Задача 99. Решить уравнение y

y

.

x2

1

Решение. y

y

dy

y

dy

dx

.

x2 1

x2

dx

1

y

x2 1

Особое решение y 0 .

dy

dx

1

2

y arctgx 2C

y

arctgx C

x2 1

2

y

1

2

y

arctgx C .

2

1

2

Ответ.

y

arctgx C .

2

Однородные уравнения

Задача 100.

Решить уравнение

y

y x

.

x

Решение.

Уравнение можно рассматривать как «однородное», то есть

вида y

y

y

y

1 .

f

. Оно может быть записано в виде

x

x

y

y ux , а значит, y

Сделаем замену u x , при этом

u xu

. Тогда

уравнение приводится к виду u xu u 1, то есть xu 1

x

du

1

du

dx

u ln

x

C .

dx

x

y

ln

C

y x ln

Cx .

надо сделать обратную замену,

x

x

Ответ.

y x ln

x

Cx .

x

2

2 dy

dy

2x

(1 x ) y

2xy 0 (1 x ) dx

2xy y 1 x2 dx

dy

d (1 x2 )

ln

y

ln(x2

1) ln C

y C(x 2 1) .

y

1 x2

Ответ.

y C(x 2

1) .

xy 2 y 0 x

dy

2 y

dy

2

dx ln

y

2ln

x

ln C

dx

y

x

3

C(x)2x

2

2C(x)x

2

3x

5

3

3x

5

2

C (x)x

C (x)x

C (x) 3x

C(x) x3 C . Тогда

y (x3 C)x 2

т.е.

y x5

Cx 2 .

Ответ.

y x5 Cx 2 .

2 y 4xy 0

y 2xy

dy

2xy

dy

2xdx

y

dx

ln y x 2 ln C

решение однородного y Ce x2 .

2) Ищем решение неоднородного в виде y C(x)e x2 .

При этом y C (x)e x2 C(x)2xe x2 .

Подставляем y и y

в исходное неоднородное уравнение

2C (x)e x2 4xC(x)e x2 4xC(x)e x2 x 2C (x)e x2 x

C (x)

1

xex2

C(x)

1

xe x2 dx

1

e x2 (2xdx)

2

2

4

C(x)

1

xex2 dx

1

ex2

(2xdx) C(x)

1

e x2 d (x2 )

1

e x2

C .

2

1

4

1

4

4

2

2

2

Тогда

y

e x

C e x

=

Ce x

.

4

4

Ответ.

y

1

Ce x2 .

4

Решение. 1) Разделим на y 4 . Получаем

y

3x 2

1

x 2 .

y 4

y3

2) Введѐм замену

1

z , при этом z 3y 4 y 3

y

.

y 3

y 4

Тогда

1

z 3x2 z x2 . Для удобства умножим ещѐ на 3 .

3

z 9x2 z 3x2 . Это линейное неоднородное уравнение. Оно

решается в 2 шага: сначала соответствующее однородное.

3.1) z 9x2 z 0 . Однородное является уравнением с

2

dz

2

разделяющимися переменными. z

9x

z dx 9x

z

dz

9x2 dx

z

dz

9x2 dx

ln

z

3x3 ln C

z Ce 3x3

это общее

z

решение однородного уравнения.

3.2) Метод Лагранжа. Ищем решение неоднородного в виде:

z C(x)e 3x3 . Тогда z C (x)e 3x3

9x2C(x)e 3x3 . Подставим эти

выражения в неоднородное уравнение z 9x2 z 3x2 .

C (x)e 3x3 9x2C(x)e 3x3 9x2C(x)e 3x3 3x2

C (x)e 3x3 3x2

C (x) 3x2e3x3 C(x) 3x2e3x3 dx

C(x) e3x3 d (x3 ) . Так как e3t dt

1

e3t

C ,

то C(x)

1

e3x3

C .

3

3

4) Обратная замена: вспомним, что

1

z , тогда

y

1

y 3

3

z

Ответ. y

1

.

3

1

Ce 3x3

3

Решение.

Это уравнение сводится к z z 2

заменой z y ,

z y .

dz

z 2

dz

dx

dx

z 2

Особые решения:

z y 0

y C .

Далее,

dz

dx

1

x C

z

1

.

z 2

z

1

x C1

y

1

dx = ln

x C1

C2 .

x C

1

Ответ.

y ln

x C1

C2 .

Задача 106.

Найти общее решение уравнения y (x 2

1) 2xy и

частное решение при условиях Коши: y(0) 1, y (0) 3 .

Решение. Сделаем замену y z , тогда y

z .

Тогда уравнение сведено к виду z (x 2

1) 2xz .