Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

5. 8x 2 L : 1 x = x

(тождественное преобразование);

6.8 ; 2 R и 8x 2 L : ( x) = ( ) x;

7.8 ; 2 R и 8x 2 L : ( + ) x = x + x; 8.8 2 R и 8x; y 2 L : (x + y) = x + y.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 4. Множество L с введённой на нём линейной структурой называется линейным пространством, т.е.

обоз.

< L; линейная структура на L > = L:

Элементы линейных пространств называют

векторами.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.4.2.Арифметическое пространство.

1.Линейное пространство вещественных чисел.

На множестве R вещественных чисел введём

линейную структуру. Для этого нужно на множестве R задать две операции. В каче-

стве этих операций возьмём известные нам операции сложения и умножения веществен-

ных чисел. При этом аксиомы 1 - 8 из опре-

деления 3 – это известные нам свойства вещественных чисел.

Линейное пространство вещественных чисел будем обозначать также как и множество вещественных чисел буквой R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 5. Говорят, что задана ось, если

заданы:

1. прямая П ;

2. точка отсчёта О 2 П ;

S

3. направление отсчёта [ОE);

4. единица масштаба |ОE| = 1.

Геометрической интерпретацией линейного пространства R является ось. (Пространство

R одно, а интерпретаций много). Рассуждения, проводимые с элементами пространства

R; удобно иллюстрировать на оси.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2. Арифметическое пространство. Пусть n 2 N фиксировано.

Определение 6. Упорядоченной n - кой называется совокупность n чисел, в которой указан порядок расположения этих элементов.

Упорядоченные n - ки будем обозначать

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Элементы x1; x2; : : : ; xn называются ком-

Rn := (x1; x2; : : : ; xn)T j x1; x2; : : : ; xn 2 R :

На множестве Rn введём линейную структу-

ру. Для этого нужно определить две операции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Операцию сложения определим так:

8(x1; x2; : : : ; xn)T ; (y1; y2; : : : ; yn)T 2 Rn : (x1; x2; : : : ; xn)T + (y1; y2; : : : ; yn)T опр:=.

(x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn)T :

Операцию умножения определим следую-

щим образом:

8(x1; x2; : : : ; xn)T 2 Rn; 8 2 R :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Легко видеть, что для определённых так операций выполнены аксиомы 1 - 8 из определения 3.

Убедиться в справедливости аксиом 1 - 8 из определения 3, для определённых выше операций сложения упорядоченных n-ок и умножения упорядоченной n-ки на число,

самостоятельно.

Итак, на множестве Rn мы ввели линейную структуру. Полученное линейное пространство мы будем обозначать Rn и называть

арифметическим пространством.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Между множеством упорядоченных пар и множеством точек на плоскости с введён-

ной декартовой системой координат можно установить взаимно однозначное соответ-

ствие (метод координат на плоскости). Имен-

но, каждой упорядоченной паре чисел (x; y)T мы сопоставим точку плоскости с коорди-

натами (x; y). Поэтому удобной геометриче-

ской интерпретацией пространства R2 является плоскость с введённой декартовой системой координат Oxy:

Геометрической интерпретацией простран-

ства R3 является пространство геометрических точек с введённой декартовой системой координат Oxyz:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.4.3.Расстояние в арифметическом пространстве.

Пусть n 2 N фиксировано и

x = ( 1; 2; : : : ; n)T ; y = ( 1; 2; : : : ; n)T 2 Rn:

Элементы пространства Rn будем называть также точками пространства Rn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit