Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

1.2.Множества.

но лишь пояснить примерами. Напри-

ральных чисел, о множестве букв русского

алфавита и так далее.

Множество, являясь с одной стороны, собра-

нием некоторых различных объектов, которые называют элементами множества, в то же время само рассматривается как единое целое, как один предмет.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Объединяя предметы в множество и создавая тем самым новый предмет, мы игнорируем все свойства множества, зависящие от свойств входящих в него предметов, кроме свойства отличаться от всех других множеств, если в нём есть хотя бы один элемент, не содержащийся в другом множестве, или

если в нём нет хотя бы одного элемента, присутствующего в другом множестве.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Множество считается заданным, если отно-

сительно любого объекта можно установить является он элементом этого множества или нет. Множество задают либо перечислением

его элементов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами (характеристическое свойство).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается

;. Считается, что каждый элемент связан с содержащим его множеством отношением

включения, которое обозначается символом 2. Запись a 2 A означает, что a является элементом множества A или a принадлежит множеству A.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.2.1.Операции над множеством.

Говорят, что множество A входит в множество B (обозначается A B), если

8x 2 A =) x 2 B:

В этом случае множество A называют под-

множеством множества B. Если же множество A не является подмножеством мно-

жества B, то в множестве A есть, по крайней мере, один элемент не принадлежащий множеству B. Поэтому полагают, что пустое

множество является подмножеством любого множества.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если A B и B A, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов.

В этом случае говорят, что множество A

равно множеству B и пишут A = B.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Объединением множеств A и B (обозначают A [ B) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B (обознача-

ют A \ B) называется множество, состоящее лишь из всех элементов, принадлежащих од-

новременно и A и B.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Разностью множеств A и B (обозначают

A n B) называется множество, состоящее из всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Если B A, то A n B называют дополнением B до A.

Наглядно операции над множествами можно иллюстрировать на схемах Эйлера-Венна (см. Рис. 1.1).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Свойства операций над множествами.

1.A A:

2.(A B; B A) () (A = B) :

3.(A B; B C) =) (A C) :

4.8A : ; A:

5.A [ A = A:

6.A [ B = B [ A:

7.A \ A = A:

8 A \ B = B \ A:

9.(A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) :

10.A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit