Электромагнитные поля и волны

21

Подготовим из условий задачи заготовки:

cos 23 ; cos 12 ;

22

2x 2 3;

x

2 y 4.y

тогда

Ответ: 3 .

Задача №4

Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля

5x2 yz 5xyz2 7xy2 z в точке М (1, 1, 1).

Решение:

Запишем формулу для определения градиента скалярного поля: : grad

Проведем дифференцирование и в полученные результаты подставим координаты точки M :

Задача №5

Найти векторную линию магнитного поля, создаваемую проводником, по которому течет ток i. ( R – расстояние от оси провода до точки наблюдения M .

Решение:

Система дифференциальных уравнений для определения векторных линий запишется в виде:

dxy dyx .

Откуда xdx ydy

Проведя операцию интегрирования, получим: x2 y2 R2 Ответ: x2 y2 R2 ,

т.е. векторные линии являются окружностями с центром на оси провода.

23

Задача №9

Решение:

Записываем формулу дивергенции и, подставив в нее заданное значение вектора r , дифференцируем:

div r x y z 3.

x y z

Ответ: 3.

Задача №11

Вычислить div от произведения 2xyzr .

Решение:

Используя свойство дивергенции div( a) div a a grad , распишем заданное значение:

div 2xyzr 2xyz div r r grad 2xyz .

25

СAdl rot A dS ,

Ц 5k k 9 45.

Ответ: 45.

Задача №14

А. Вычислить циркуляцию вектора a y2 x0 x2 y0 по контуру

путем непосредственного интегрирования Ц Сadl , где

Z

dl x0dx y0dy.

Б. Вычислить циркуляцию этого же вектора, используя теорему Стокса.

Рис. 1.12. К задаче №14

Решение:

Для А. Воспользовавшись формулой (1.13), запишем определение циркуляции путем непосредственного интегрирования

26

Для Б. Используя теорему Стокса, подставив значения ротора вектора

a ,

Ц Сadl rot a dS 2 x y z0 z0dydx

проинтегрировав полученное, определим циркуляцию. Она равна нулю в обоих случаях.

Ответ: Ц 0 .

Задача №15

Определить поток вектора a x0 через площадку, перпендикулярную оси X , имеющую форму прямоугольника со сторонами равными 1 и 2.

Рис. 1.13. К задаче №15

Решение:

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется величина (1.10). Запишем ее с учетом

adS a, n0 dS x0 x0dS 2.

S S S

При изменении направления нормали на противоположное поток меняет знак: 2.

Ответ: 2 .

Задача №16

Вычислить поток векторного поля a R , где R r0r z0 z – радиусвектор через поверхность цилиндра радиуса R и высотой h (рис. 1.14).

27

Рис. 1.14. К задаче №16

Решение:

Искомый поток 1 2 3 , где 1 , 2 , 3 – потоки через поверхности S1 , S2 , S3 . Следовательно,

1 adS (r0r z0 z)r0dS R2 Rh 2 R2h;

S1 S1

2 (r0r z0 0)z0dS, r0 z0 0 2 0;

S2

3 (r0r z0h)z0dS h R2 .

S3

Искомый поток 1 3 3 R2h .

Данную задачу можно решить с применением теоремы Остроградского

– Гаусса:

СAdS div a dv.

Заданный вектор а имеет 2 проекции a r0r z0 z . Поэтому

Решение задачи стало значительно проще, однако при определении потока надо учитывать, что поверхность, пронизываемая потоком, должна быть замкнута.

Задача №17

Сколько из приведенных полей являются потенциальными?

А x2 i y2 j ; В xi yk .

Решение:

28

Потенциальной является поверхность, когда rot a 0 .

Ответ: Поле A является потенциальным.

Задача №18

Сколько из приведенных полей являются соленоидальными?

1)A 2zi ;

2)B 8y2k ;

3)D 3z2 i .