Электромагнитные поля и волны
..pdf
171
резонансную частоту. Какой тип колебаний будет основным? Какой тип колебаний будет ближайшим к основному?
Решение:
Низшим – основным будет тип колебаний, у которого один индекс равен нулю, а два других – единице. Низшими могут быть типы Н101, Н011, Е110 .
Формула резонансной частоты
|
|
|
|
C |
m 2 |
n |
2 |
|
p |
2 |
|
|
||||||||||
|
f 0 mnp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
r r |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
в |
|
|
L |
|
, |
(8.26) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 mnp С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 mnp |
С |
||||
|
|
|
|
|
f 0 mnp |
, где C |
1 |
|
|
|
. |
|
|
f 0 mnp |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в формулу частоты индексы m,n, p, , |
определим частоты и |
|||||||||||||||||||||
длины волн указанных типов колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Н101 |
6,255 ГГц, |
101 |
6,255 ГГц, – Основной тип волны. |
|||||||||||||||||||
Н011 |
13,72 ГГц |
011 |
2,186 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Е110. |
9,014ГГц |
|
|
|
0 110 |
=3,328 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача №2
Цилиндрический объемный резонатор диаметром 2R 5см , |
длиной |
|
l 6см |
заполнен диэлектриком с параметрами r 2,56 ; tg |
2 10 4 . |
Материал стенок - медь, удельная проводимость которой 5,7 107 См м .
Какой тип колебаний в резонаторе является основным? Найти резонансную частоту и добротность на этом колебании.
Решение
Из колебаний типа Н основным является |
Н111 |
резонансная частота |
|||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
p 2 |
H |
|
2 R |
|
|
|
|
которого f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кр |
|
|
3, 41R . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
r r |
|
|
|
кр |
|
2h |
|
|
mn |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из колебаний типа |
Е - |
основным является |
|
Е010 |
резонансная частота |
||||||||||||
определяется из |
|
выше |
|
приведенной |
|
формулы, |
если подставить |
||||||||||
кр E 2 R 2,613R .
mn
После подстановки критических длин волн и индексов р в резонансные частоты можно убедиться, что основным является колебание
Е010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
1 2 |
|
|
c |
1 |
3,521 109 |
|
|||
f 0 Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МГц |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r r |
r r |
|
|
2,613R |
||||||||||||
0 1 0 |
|
|
|
|
|
2,613R |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добротность определяем по формуле
172
Q0 E 010 |
|
2 f0 E 0 r |
|
|
Rl |
|
|
|||||||||
|
0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R l |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 3,14 3,521 109 |
4 3,14 10 7 |
0,025 0,06 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31323 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,025 0,06 |
|||
|
2 |
|
2 |
3,14 3,521 109 3,14 10 7 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 5,7 107 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
4,347 |
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
||||||
0E 010 |
|
|
1 |
|
tg |
|
|
|
1 |
2 |
10 4 |
|
0,3 10 |
2 10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Q0E 010 |
31323 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача №3
Можно ли в коаксиальный резонатор, имеющий размеры R1 = 6 мм,
R2 =24 мм, L 100 мм и работающий на основном колебании типа Т , накопить предельную энергию 0,55 10 3 Дж , если максимально допустимая напряженность электрического поля 30 кВ / см .
Решение:
Энергия, запасаемая в резонаторе, вычисляется по формуле
WE 2 dV
V 2 .
Электрическое поле основной волны в коаксиальном резонаторе имеет только радиальную составляющую (8.24)
r Ar sin( pL z)
Определим накопленную энергию, учитывая при интегрировании выражение для элементарного объема в виде dV R1d drdz
W [ |
A |
sin( |
|
z)]2 |
1 |
dV |
|
A2 L ln( |
R2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V |
r |
|
L |
2 |
|
2 |
|
R1 |
. |
(8.27а) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Максимальная напряженность электрического поля, согласно (8.24), существует в середине резонатора на поверхности внутреннего проводника,
т.е. при r R . Ее значение равно |
|
|
А , откуда |
A R E . |
||||
|
|
мах |
|
|
R1 |
1 МАХ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом полученного выражения для А запасаемая энергия будет |
||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
W Е2 |
мах R1 |
L ln( |
R2 |
) |
(8.27б) |
|||
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
После численных подстановок, получаем |
|
|||||||
W A2 L ln( |
R2 |
) 10,395 10 4 Дж |
||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
173
Ответ: в коаксиальном резонаторе, указанных размеров можно
накопить |
предельную |
энергию |
0,55 10 3 Дж |
, |
так |
как |
10,395 10 4 |
Дж 0,55 10 3 Дж . |
|
|
|
|
|
Задача №4
Из отрезка стандартного прямоугольного волновода с поперечным сечением а в 72 34 мм образован прямоугольный объемный резонатор с резонансной частотой 3 ГГц на колебании типа Н101 . Определить длину
резонатора. Как изменится резонансная частота, если резонатор заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью r =3,7?
Решение:
Воспользуемся формулой (8.26), подставим индексы типа колебаний
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 Н 101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
L |
|||||
и определим выражение для длины резонатора |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5,12см . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 f0101 |
C |
)2 |
( 1 |
)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
Если резонатор заполнить диэлектриком, то резонансная частота |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уменьшится в r и станет равной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
f |
0 |
f |
0 |
|
|
|
3 109 |
|
|
|
|
1,559 109 ГГц |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
3,7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: L |
|
|
|
|
f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,12см , |
f |
|
|
r 1,924 |
раза . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача №5
В прямоугольном резонаторе a b L возбуждается тип колебаний Н101 .
Определить мощность потерь в стенках резонатора, при протекании токов проводимости.
Решение:
Картина силовых линий в прямоугольном резонаторе на типе
колебаний Н101 |
приведена на рис.8.3, из которой видно, что магнитное поле |
||||||||||||||
имеет две составляющие H z |
и H x , а согласно (8.2), равные |
|
|||||||||||||
H |
|
H |
|
cos |
π x |
sin |
π z |
Н х |
H m ( |
π |
) 1 sin |
π x |
cos z |
|
|
z |
m |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
L |
L a |
|
a |
L . |
(8.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В соответствии с граничными условиями для тангенциальных |
|||||||||||||||
составляющих |
магнитного |
поля, |
ток проводимости |
равен |
jпр H на |
||||||||||
границе. Направление токов определяется правилом вращения буравчика: движение буравчика совпадает с направлением магнитного поля, а направление токов совпадает с направлением вращения рукоятки в стенке резонатора. Мощность потерь в стенках можно разделить по пределам интегрирования на три интеграла: две боковых, две торцевых и по верхней –
174
нижней граням. Составляющая поля H z |
|
в боковых стенках при х 0 |
и х а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вызывает |
составляющую |
тока проводимости |
jy . |
Потери |
в |
стенках |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямоугольного резонатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Р |
|
2R |
{ L b (H |
|
cos |
π x |
sin |
π z |
)2 |
при x 0, a dy dz a |
b (H |
|
|
π |
( |
π |
) 1 sin |
π x |
cos z )2 при z 0,L dx dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пот |
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L a |
|
|
|
a |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
L (H |
|
|
|
|
π x |
|
|
|
π z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a L |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
π x |
cos z )2 при y 0,b dx dz} |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
sin |
)2 при y 0, b dx dz |
|
|
(H |
|
|
( |
) 1 sin |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2R |
|
H 2 m { |
bL |
( |
π |
)2 ( |
π |
) 2 |
ab |
|
aL |
|
π |
( |
π |
) 2 ( |
aL |
)} 2R |
|
|
H 2 m { |
bL |
( |
а |
)2 |
ab |
|
aL |
(1 ( |
а |
)2 }, Вт |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
L a |
2 |
|
4 L a |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
L 2 |
4 |
|
|
L |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(8.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача №6
Для измерения параметров диэлектриков используется цилиндрический резонатор на колебании Н 012 как не имеющий продольных
токов проводимости (рис.8.7). Открывается торцевая крышка, и резонатор полностью заполняется диэлектриком. Измеренные резонансные частоты
резонатора без диэлектрика f0 , с диэлектриком f0 , и добротности без диэлектрика Q0 , с диэлектриком Q0 .
Вывести формулы для расчета относительной диэлектрической проницаемости
и тангенса угла диэлектрических потерь по измеренным величинам.
Решение:
Выражение для резонансной частоты колебания Н 012 .
|
|
C |
|
|
1 |
2 |
|
2 2 |
|
f |
0 |
|
|
|
|||
f |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1,64R |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
2L |
|
|
r . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из этого выражения получим формулу для определения относительной диэлектрической проницаемости
|
|
C |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
f |
0 |
|
2 |
||||||||
r |
( |
|
) { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} ( |
|
) |
|
||||||
f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1,64R |
|
|
|
|
L |
|
|
(8.30) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добротность резонатора, заполненного диэлектриком, определяется |
||||||||||||||||||||||
выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 r |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
tg |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 r |
Q0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.31) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175
Задача №7
В прямоугольном |
медном резонаторе, |
имеющем размеры: |
а 5 см, в 3 см , l=5 см |
возбуждается колебание |
Н101 . Определить его |
резонансную длину волны и резонансную частоту. Найти добротность на этом колебании.
Решение:
Воспользуемся формулой (8.26) для определения резонансной частоты
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 2 |
|
3 108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||
f |
0 101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
) |
|
4,24ГГц |
|
2 |
|
|
2 |
|
10 2 |
|
5 10 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
L |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Резонансную длину волны определяем :
0 Н101 С f0 101 7,07см
Для нахождения добротности резонатора можно воспользоваться несколькими способами. Первый, использовать соотношения (8.5), (8.6), для которых в задаче 5 найдены из (8.2) составляющие поля заданного типа колебания, получено выражение мощности потерь в стенках. Второй,- воспользоваться общей формулой (8.8а) для получения из неё выражения добротности нашего типа колебания. Третий, провести оценку добротности по упрощенной формуле, получив ее. Мы воспользуемся первым и третьим способами и сравним рассчитанные по формулам результаты.
W |
H 2 |
dV |
H 2 m |
{(cos |
π x |
sin |
π z |
)2 ( |
a |
|
|
sin |
π x |
cos |
z )2 |
}dxdydz |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
a |
|
|
|
|
|
L |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
H 2 m |
abL[1 ( |
a |
)2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.32) |
||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 2R |
H 2 m { |
bL |
( |
а |
)2 |
ab |
|
|
aL |
(1 ( |
а |
)2 } |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пот |
S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
L |
2 4 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abL[1 ( |
a |
)2 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
bL |
( |
а |
|
2 ab |
|
|
aL |
(1 |
|
|
а |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16RS |
{ |
) |
|
( |
|
} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
L |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
(8.33) |
||||||||||
Получим упрощенную формулу оценки добротности для любого резонатора и типа колебаний в нем. Используем общую формулу добротности
|
|
|
|
|
H m2 dV |
|
Q0 |
|
W |
|
V |
||
P n |
RS |
H 2m dS |
||||
|
|
|
||||
S
и предположим, что вариации поля внутри резонатора отсутствуют, т.е.
|
H |
m |
Н |
хm |
const, Н |
, |
H 2 |
Н 2 |
const, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
m |
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
V |
|
2 |
|
V |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
RS |
|
S |
|
|
(2 ) S |
|
|
|
2 ( ) S |
S |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
176
где 
2 - глубина проникновения электромагнитной волны в стенки
резонатора. Получена упрощенная формула практической оценки добротности любого резонатора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
2 |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.34) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассчитаем добротность резонатора по (8.33), (8.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
V |
13600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
2 ( ) S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (2 3 5 5 5) |
|
|||||||||||||
|
2 |
2 3,14 4, 24 109 |
4 3,14 10 7 |
5,95 107 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abL[1 ( |
a |
)2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V[1 ( |
a |
)2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||||||||||||
Q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
bL |
( |
а |
|
2 |
ab |
|
|
aL |
(1 ( |
а |
2 |
|
|
8 |
|
|
2bL |
( |
а |
|
2 2ab |
|
|
aL |
(1 ( |
а |
2 |
|
|
2 S |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16R { |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
} |
|
|
|
|
{ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
} |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
L |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
L |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вывод. Формула (8.33) дает величину добротности в четыре раза меньше, чем (8.34 ). Не учет вариаций поля внутри резонатора приводит к завышению добротности, хотя позволяет быстро оценить ее величину.
8.3. Задачи для самостоятельного решения
1 |
В коаксиальном резонаторе из |
меди ( 5,7 107 См |
), имеющем |
|
|
|
|
м |
|
размеры |
R2 16 мм, R1 7мм |
и L 50мм |
возбуждается колебание T1 . |
|
Определить резонансную длину волны, резонансную частоту и собственную добротность.
Ответ: 0 =10 см , f0 |
3 ГГц, Q 2,3 102 . |
|
|
|
|
|
||||
2 В |
прямоугольном |
|
резонаторе |
из меди |
( 5,7 107 См |
), |
имеющем |
|||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
размеры: |
а 58 мм, в 25 мм, l 40 мм |
возбуждается колебание |
типа |
Н101 . |
||||||
Определить резонансную частоту и собственную добротность. |
|
|
|
|
||||||
Ответ: 4,53cм, |
f |
0 |
4,53ГГц , Q = 1,1 104 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
3 В цилиндрическом объемном резонаторе из меди ( 5,7 107 См |
м |
), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длиной l 5см возбуждается колебание типа |
Н011 . Определить диаметр |
|||||||||
резонатора, чтобы он |
оказался настроенным |
на резонансную частоту |
||||||||
f0 6825 МГц . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2а 60 мм .
177
4 Определить собственную добротность цилиндрического объемного резонатора из меди длиной l 4см . В резонаторе возбуждается колебание типа Н011 с длиной волны 0 2,5 см .
Ответ: Q0 2,35 104
5 Определить резонансную длину волны и резонансную частоту основного типа колебаний в кубическом резонаторе со стороной 20 мм .
Ответ: 0 1,414см , f0 21,216 ГГц ,
6 Какой тип колебаний будет основным в прямоугольном резонаторе, имеющем размеры: а 4 см, в 2 см, l 3 см ? Определить его резонансную
частоту. Какой тип колебаний будет ближайшим высшим? Определить его резонансную частоту.
Ответ: Н101 ; ; f0 6250 МГц; E110; f0 8386МГц.
7 Определить размеры кубического резонатора, низшая резонансная частота основного типа колебаний которого 5 ГГц .
Ответ: 42,4 мм 8 В цилиндрическом объемном резонаторе возбуждаются на одной
частоте колебания типов Н111 и Е010. . При каком отношении радиуса к длине цилиндрического резонатора это возможно?
Ответ: а L 0,493
9 Резонансная частота колебания типа Е011 равна 10 ГГц . Диаметр
цилиндрического объемного резонатора в два раза меньше его длины. Определить диаметр резонатора.
Ответ: 2,41 см
10 Стороны прямоугольного объемного резонатора относятся как 2 :1:3 . Резонансная частота колебания типа Н111 равна 8 ГГц . Определить
размеры резонатора.
Ответ: 43,75мм : 21,88мм : 65,62 мм
11 В цилиндрическом объемном резонаторе возбуждаются на частоте 4 ГГц колебание типа Е010 , а на частоте 5 ГГц возбуждается колебание типа
Н111 .
Определить размеры резонатора.
Ответ: а 2,871 см; L 3,795 см.
12 Резонатор с воздушным заполнением имеет резонансную частоту 10 ГГц . Какова будет резонансная частота, если резонатор заполнить
диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью r 2,7 ?
|
|
|
|
|
178 |
|
|
Ответ: ; |
f0 4,712 ГГц . |
|
|
|
|||
13 |
В |
|
коаксиальном |
резонаторе, имеющем |
размеры |
R2 20 мм , |
|
R1 6мм и |
L 60мм возбуждается колебание T1 . Определить резонансную |
||||||
длину волны и резонансную частоту. |
|
|
|
||||
Ответ: 0 12 см , f0 2,5 ГГц. |
|
|
|
||||
14 |
Из отрезка стандартного прямоугольного волновода с размерами |
||||||
поперечного сечения а в |
23 10 мм2 |
образован прямоугольный объемный |
|||||
резонатор |
с |
резонансной |
частотой |
10 ГГц на |
колебании |
типа Н102 . |
|
Определить длину резонатора. Как изменится резонансная частота, если резонатор заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью r 3,7 r =3,7 ?
Ответ: L 3,957 см; Частота уменьшится в 1,924 раза .
15 Размеры цилиндрического объемного резонатора выбраны такими, что на одной и той же резонансной частоте возбуждаются в нем колебания типов Н111 и Е010 . Как изменяться резонансные частоты колебаний при
заполнении диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью r 2,2 ?
Ответ: Уменьшатся в 
r раз.
16 Записать вектора электрического и магнитного полей в прямоугольном объемном резонаторе a b L для колебания типа Е011 .
Какие особенности в структуре полей следует отметить (например, изменение полей по осям координат; количество эпюр, выполнение граничных условий)?
17 Цилиндрический объемный резонатор, предназначенный для измерения параметра r диэлектриков, должен быть сделан разъемным, но
стык двух частей не должен пересекать линий тока проводимости, чтобы не влиять на параметры резонатора. Можно ли удовлетворить этому требованию при работе на колебании типа
Ответ: можно; разъем лучше сделать на торце или на расстоянии l ( 14)L .
18 В прямоугольном резонаторе a b L возбуждается тип колебаний Н011. . Какие составляющие плотности токов проводимости и смещения будут присутствовать в резонаторе, и от каких координатных осей они зависят?
|
|
|
|
|
|
|
jсм |
( y, z) x0 |
jx ( y, z), |
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
jz пр ( y, z) |
|
jпр ( y, z) x0 |
jx пр ( y, z) z0 |
|||
180
25 Цилиндрический объемный резонатор, диаметр которого равен длине, работает на колебании типа Е010 . Резонансная частота 2ГГц .
Резонатор заполнен полистиролом ( r 2,56), материал стенок латунь, имеет проводимость
1,4 107 См м . Определить добротность цилиндрического объемного
резонатора. Какова будет добротность резонатора с таким же соотношением размеров и с той же резонансной частотой при воздушном заполнении?
Ответ: Qo 1595, Q0 12720.
26 Определить резонансную частоту и добротность коаксиального резонаторе, работающего на основном типе колебаний Т1. Размеры резонатора: R2 =12,5 мм, R1 =4мм и L=120мм. Материал стенок латунь (
1,4 107 См м ).
Ответ: Q0 2695 , f0 1,25 ГГц