Возводя обе части этого равенства в квадрат, после простых преобразований получаем ответ

a2 x2 = 4y2 (a2 − y2 ).

2.4. Сложение скоростей и сложение ускорений

Сложение скоростей при сложном движении точки определяется теоремой, в соответствии с которой абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Сложение ускорений при переносном, относительном и абсолютном движениях определяется теоремой Кориолиса, в соответствии с которой абсолютное ускорение равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Величина кориолисова ускорения определяется формулой векторного произведения

относительной скорости точки. Величина кориолисова ускорения определяется так же, как и для любого векторного произведения, – произведением модулей векторов-сомножителей на синус угла между ними. Направление вектора кориолисова ускорения тоже определяется правилами векторного произведения («правило буравчика»).

Кориолисово ускорение обращается в ноль в следующих случаях:

1)если переносное движение является поступательным, тогда первый из векторных сомножителей в (2.31) обращается в ноль;

2)если второй из векторных сомножителей равен нулю

(относительное движение отсутствует) или вектор скорости при относительном движении параллелен вектору угловой скорости.

Поскольку при сложении ускорений речь идет о векторной сумме, удобнее пользоваться разложением всех суммируемых векторов – относительного, переносного, кориолисова ускорений – на оси системы координат, и суммировать одноименные проекции.

Последовательность решения задач следующая:

1.Разложить движение на составляющие, определив абсолютное, переносное, относительное движения.

2.Выбрать абсолютную и относительную системы координат.

3.Мысленно остановив переносное движение, определить скорость и

ускорение точки в относительном движении.

59

4.Отвлекаясь от относительного движения, найти угловую скорость переносного движения и ускорение точки в переносном движении.

5.По формуле (2.31) найти кориолисово ускорение точки.

6.Спроектировать все компоненты ускорения на оси системы координат и просуммировать одноименные проекции.

7.Восстановить величину и направление вектора полного ускорения.

Пример 2.16

Башенный кран движется по прямолинейным рельсам по закону

Здесь s – координата, отсчитываемая вдоль рельсов. Тележка крана перемещается по горизонтальной стреле, расположенной под углом 300 к рельсам, по закону

Груз, подвешенный к тележке на тросе, опускается с постоянной скоростью 1м/с.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение груза в моменты времени t = 0, t = 2 c.

Решение

Поступательное перемещение крана по рельсам принимаем за переносное. Перемещение груза по отношению к крану, состоящее из перемещения тележки и опускания груза на тросе, считаем относительным.

Определим проекцию переносной скорости на ось, совпадающую по направлению с рельсами, для чего продифференцируем по времени (2.32):

v = s =1−0,4t.

Определим теперь проекции относительной скорости груза на оси относительной системы координат, которые выберем следующим образом: ось Ох1 по стреле крана, ось Оz1 вертикально вниз, ось Оу1 перпендикулярно к ним. В этих осях

vx1 = x1 = cos2t,

Абсолютная скорость определится как сумма переносной и относительной скоростей. Для ее вычисления проектируем скорости на неподвижные оси хОу, причем эти оси – неподвижные – параллельны осям подвижной системы.

Проекции будут

60

vx = x1 +vcos30 = cos2t +(1−0,4t)cos30 , vy = vcos60 = (1−0.4t)cos60 ,

vz =1.

При t = 0 величины этих проекций будут

vx = 1,865, vy = 0,5, vz = 1,

а величина скорости

v = vx2 +vy2 +vz2 = 2,18.

Направляющие косинусы получатся, если проекции скорости на оси x, y, z поделить на величину скорости.

При t = 2 величины проекций будут соответственно vx = -0,244, vy = 0,1, vz = 1,

а сама скорость

v = 1,035 (м/с).

Определим теперь ускорение. Проектируем переносное ускорение на направление рельсов. Оно равно

we = s = −0,4.

Проекции относительного ускорения на оси подвижной системы Ох1 и Оz1 будут

wx1 = vx1 = −2sin 2t,wz1 = vz1 = 0.

Кориолисово ускорение в этом примере отсутствует, так как переносное движение является поступательным. Для вычисления суммы ускорений опять используем метод проекций:

wx = wx1 + we cos30 = −2sin 2t −0,4 cos30 ; wy = we sin30 = −0,4 0,5 = −0,2;

Направление полного ускорения определится его направляющими косинусами, который получаются делением (2.34) на величину полного ускорения (2.35).

61

При t = 2 получаем

wx = - 2,164, wy = - 0,2, w = 2,18 (м/с2).

Направление полного ускорения w определится после нахождения направляющих косинусов.

Пример 2.17

Корабль плывет вдоль меридиана CBN с юга на север со скоростью 36 км/ч. Определить составляющие абсолютной скорости и абсолютного ускорения корабля, учитывая скорость вращения Земли. Широта места 600.

Радиус Земли принять R = 6,4·106 м.

Решение

Корабль участвует в двух движениях – во вращении вместе с Землей и вдоль меридиана. Примем первое движение за переносное, второе – за относительное.

Абсолютная скорость корабля складывается из двух составляющих. Переносная скорость равна скорости точки В при ее движении вместе с Землей. Эта скорость равна

Относительная скорость известна из условия задачи и равна 36 км/ч = 10 м/с. Эти скорости перпендикулярны друг другу, поэтому суммирование их можно провести с использованием теоремы Пифагора.

Абсолютное ускорение корабля складывается из трех величин – переносного ускорения (поскольку движение вращательное с постоянной угловой скоростью, то это ускорение, нормальное к траектории), относительного ускорения – оно происходит по дуге меридиана с постоянной скоростью, и равно нормальному ускорению, и кориолисова ускорения:

w = we + wr + wc.

62