Основы физической оптики

31

Очевидно, что соотношение величин мнимой и вещественной частей комплексной диэлектрической проницаемости определяет, насколько проводящей является рассматриваемая среда. В качестве характеристики проводящих свойств среды используют отношение ε′′ε′, которое называют тангенсом угла диэлектрических потерь:

Физически эта характеристика определяет соотношение между амплитудами токов проводимости и смещения в данной среде. При наличии в среде токов проводимости появляются тепловые потери энергии электромагнитного поля. Таким образом, комплексный характер диэлектрической проницаемости является признаком потерь энергии поля, обусловленных неидеальными диэлектрическими свойствами среды. Аналогичным образом можно ввести понятие комплексной магнитной проницаемости, комплексный характер которой свидетельствует о магнитных потерях электромагнитной энергии вследствие явления магнитного гистерезиса в данной среде.

1.8. Уравнения Максвелла в символической форме

Использование метода комплексных амплитуд и понятия комплексных проницаемостей позволяет записать систему уравнений Максвелла для монохроматического поля в форме:

rotΗ&=iωε&Ε&

(1.69).

rotΕ& = -iωµ&Η&

Эти уравнения образуют полную систему, достаточную для описания монохроматических полей, т.к. два других уравнения являются следствиями записанных.

1.9. Вектор Пойнтинга в символической форме.

Метод комплексных амплитуд не может непосредственно применяться

Таким образом, механический подход замены вещественных гармонических функций их комплексами при возврате к вещественным функциям после решения задачи, в случае выполнения нелинейных операций, некорректен, т.к. приводит к неверному результату.

32

Тем не менее, символический метод может использоваться и при выполнении нелинейных операций. В этом случае представление вещественных скалярных или векторных функций их комплексами осуществляется по правилу:

1.10.Выражение для вектора Пойнтинга в символической форме

Используя последнее соотношение, выражение для мгновенных значений вектора Пойнтинга в монохроматическом электромагнитном поле можно представить в виде:

В теории гармонических процессов важную роль играют квадратичные величины, средние по времени. При их вычислении рассматривают промежуток времени t, значительно превышающий период процесса T: τ >> T . В связи с этим, понятия средней величины и средней за период совпадают. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга, отмечая факт усреднения по времени волнистой чертой над знаком вектора:

начальные фазы электрического и магнитного векторов, то:

Тогда усреднение этого выражения по времени дает:

= [ Em ,Hm ] × exp[ i( jE - jH )]

33

и Re[ E ,H * ] = [ Em ,H m ] × cos( jE - jH ) , т.е. здесь временная зависимость исчезает. Тогда усреднение по времени данного выражения, очевидно, дает просто саму его величину:

Видим, что среднее значение вектора Пойнтинга можно получить как реальную часть вектора:

который называется комплексным вектором Пойнтинга Π= Re Π .

1.11. Энергетические характеристики монохроматического ЭМП

1. Средние значения важных величин:

Средние значения векторов поля, как следует из записанных выше выражений, определяются соотношениями:

где значки векторов в правой части можно опустить. Среднее значение объемной плотности электромагнитной энергии найдем, исходя из общего выражения:

Выражение для усредненной по времени плотности мощности электромагнитного поля определим аналогичным образом. Переходя от действительных величин к комплексам, получим для мгновенного значения плотности мощности соотношение:

p=δ × Ε = 1 (δ& + δ& )× (Ε& + Ε& )= 1 (δ& × Ε& + δ& × Ε& + δ& × Ε& + δ& × Ε& ).

Из него опять следует, что для первых двух слагаемых усреднение по времени приводит к нулевому результату. В итоге получим:

35

2. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ

2.1. Волновое уравнение для безграничной среды

Из уравнений Максвелла следует, что переменное электрическое (магнитное) поле приводит к возникновению изменяющегося в пространстве магнитного (электрического) поля. Очевидно, что это приведет к распространению электромагнитного возмущения в пространстве. Рассмотрим основные законы и особенности такого распространения. Начнем с простого случая непроводящей, безграничной, однородной изотропной среды без сторонних токов и зарядов (σ = 0 ; d = 0 ; ρ = 0 ). Данная ситуация

Для ее решения возьмем, например, второе уравнение и применим к обеим его частям операцию rot. Порядок следования операций дифференцирования по времени и пространственным координатам для функций, непрерывных в пространстве и времени, может меняться, поэтому в результате получим:

rot( rotE ) = -m ∂ rotH

¶t

Используя первое уравнение Максвелла, и полагая среду безынерционной, приводим его к виду:

связывающее его пространственные и временные производные. Это уравнение называется волновым, оно описывает распространение

электромагнитного поля в безграничной изотропной среде. Преобразуем его, учитывая известное соотношение векторного анализа, и условие divE = 0 :

rot( rotE ) = grad( divE ) - Ñ2 E = -Ñ2 E

В итоге получим другую форму волнового уравнения:

Аналогичным путем можно получить волновое уравнение для вектора H :

36

2.2. Решение волнового уравнения. Плоские волны.

Найдем простейшее решение волнового уравнения. Пусть поле E зависит только от одной пространственной координаты z. Тогда:

В этом случае приходим к одномерному волновому уравнению:

решению вида Ez = const . Но это соответствует электростатическому случаю, который не удовлетворяет рассматриваемым условиям переменного поля. Таким образом, полагаем Ez = 0 и решение волнового уравнения может иметь только поперечную (относительно направления распространения) компоненту поля E .

Вид этого уравнения подсказывает конструкцию его решения. Очевидно, что переменные z и t должны входить в выражение для поля Ex одинаковым образом. Поэтому решение можно представить в виде плоской скалярной волны:

слагаемые соответствуют волнам, бегущим в направлениях +z и – z, соответственно.

37

2.3. Гармонические волны

Если при z=0 имеется возмущение E( t ) = Em ×cos(wt + j ) , то, согласно

(2.7), получим:

E1( z,t ) = Em1 ×cos[ w( t - z ) + j] v

(2.8).

E2 ( z,t ) = Em2 ×cos[ w( t + z ) + j] v

Таким образом, данному возмущению соответствуют две гармонические плоские волны, бегущие в направлениях +z и – z. Мгновенное значение возмущения в некоторой точке определяется амплитудой Em волны и ее фазой

где vф - фазовая скорость волны. В пространстве изменение фазы волны Dj = 2p соответствует расстоянию, равному длине волны l . Но:

Dj = k × l = 2p .

Отсюда k = 2lπ . Таким образом, смысл волнового числа заключается в том,

что оно определяет число длин волн, укладывающихся на отрезке длиной 2p.

2.4.Распространение плоской волны в произвольном направлении

При распространении плоской волны в произвольном направлении, которое не совпадает с какой – либо координатной осью, все компоненты оператора Ñ в заданной декартовой системе координат могут быть отличны

38

от нуля. Однако и в этом случае плоская волна остается поперечной, и мы используем для ее описания уравнения:

где Eτ - поперечные компоненты вектора E . Решением данного уравнения является гармоническая плоская волна:

Здесь мы для простоты полагаем, что начальная фаза ϕ = 0 , а вектор k - это волновой вектор, параллельный единичному вектору нормали к фазовому фронту n . Величина и направление волнового вектора k определяются соотношением:

где nx, ny и nz – декартовы координаты единичного вектора n .

Представим себе некоторую новую систему координат x`y`z`, введенную таким образом, что плоская волна распространяется вдоль оси OZ ′ . Тогда

rполя плоской волны, определяется радиус – вектором r = x0 x + y0 y + z0 z . Эта точка лежит на

где a, b, g - углы между единичным вектором нормали к волновому фронту

В результате мы и получаем записанное ранее выражение для поля плоской волны, направление распространения которой определяется волновым вектором k .