Финансовые вычисления

10)Что собой представляет рассрочка платежей с точки зрения финансовой математики? Каковы методы решения этой задачи?

11)В чем заключается сущность консолидации рент?

12)Как заменить немедленную ренту на отсроченную?

13)Объясните логику решения прямой задачи ренты постнумерандо, на платежи которой начисляются проценты по сложной учетной ставке.

14)Объясните логику решения обратной задачи ренты постнумерандо, на платежи которой начисляются проценты по сложной учетной ставке.

15)Необходимо накопить 1 млн рублей путем ежегодных вложений одинаковой суммы в банк. Банк А начисляет проценты по сложной ссудной ставке 10% годовых, а банк В — по сложной учетной ставке 10% годовых. В каком банке срок накопления будет меньше?

Лекция 4

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ

4.1 Переменные ренты

4.1.1 Оценка переменного аннуитета, платежи которого образуют арифметическую прогрессию

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. Например, при заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Величина амортизационных отчислений может меняться в связи с изменением количества и стоимости основных фондов.

Аннуитет называется переменным, если его члены различны по величине. Для оценки переменного аннуитета используют общие формулы оценки денежного потока. Если члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета можно упростить.

Пусть платежи аннуитета образуют арифметическую прогрессию, т. е. изменяются на постоянную абсолютную величину z и представляют собой последовательность:

A, A +z, A +2z, A +3z, . . . , A +(n −3)z, A +(n −2)z, A +(n −1)z.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если z является положительной величиной, то платежи аннуитета возрастают. Если z является отрицательной величиной, то величина z и величина n (количество периодов аннуитета) связаны между

собой соотношением: A −z(n −1) > 0, Az +1 > n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Выведем формулу для оценки переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом A и разностью z.

Если число периодов аннуитета равно n и на каждый платеж один раз в конце базового периода начисляются сложные проценты по ставке r, то наращенный поток, записанный в порядке поступления платежей, имеет вид:

A(1 +r)n−1, (A +z)(1 +r)n−2, (A +2z)(1 +r)n−3, (A +3z)(1 +r)n−4, . . . ,

. . . , ™A +(n −3)zž(1 +r)2, ™A +(n −2)zž(1 +r), A +(n −1)z.

Группируем отдельно слагаемые, содержащие z, получим два ряда, один из которых содержит только слагаемые с A:

A(1 +r)n−1, A(1 +r)n−2, A(1 +r)n−3, . . . , A(1 +r)2, A(1 +r), A.

Другой содержит только слагаемые с z:

z(1 +r)n−2, 2z(1 +r)n−3, 3z(1 +r)n−4, . . . , (n −3)z(1 +r)2, (n −2)z(1 +r), (n −1)z.

Формулу для вычисления приведенной стоимости аннуитета постнумерандо получим из соотношений:

Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета пренумерандо получаются из соотношений: F Vpre = (1 + r)F Vpst, P Vpre = (1 + r)P Vpst, поэтому для будущей и приведенной стоимости аннуитета пренумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом A и разностью z, запишем:

Пусть платежи аннуитета образуют геометрическую прогрессии с первым членом A и знаменателем x. То есть все платежи изменяются на одну и ту же относительную величину x и составляют ряд:

A, A x, A x2, A x3, . . . , A xn−2, A xn−1.

Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. долл., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. долл. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. долл.?

Решение:

а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами вычисления стоимости аннуитета с изменяющейся величиной платежа. По условиям соглашения A = 4 тыс. долл., n = 8, r = 0,2, и если суммы возрастают, то z = 0,5 тыс. долл.

Поэтому по формулам (4.3) и (4.4):

Если суммы будут уменьшаться, то z = −0,5 и, следовательно, по формулам (4.3) и (4.4):

б) Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, используя соотношения: F Vpre = F Vpst(1 +r), P Vpre = P Vpst(1 +r), поэтому:

• если z = 0,5, тогда

F vpre = 87,244 1,2 = 104693 долл.;

P vpre = 20,29 1,2 = 24348 долл;

• если z = −0,5, тогда

F vpre = 44,749 1,2 = 53699 долл;

P vpre = 10,408 1,2 = 12490 долл.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2Оценка переменного аннуитета, платежи которого образуют геометрическую прогрессию

Выведем формулу для оценки переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом A и знаменателем x.

Если число периодов аннуитета равно n и на каждый платеж один раз в конце базового периода начисляются сложные проценты по ставке r, то наращенный поток, записанный в порядке поступления платежей, имеет вид:

A(1+r)n−1, A x(1+r)n−2, A x2(1+r)n−3, A x3(1+r)n−4, . . . , A xn−2(1+r), A xn−1.

То есть наращенный денежный поток представляет собой геометрическую про-

грессию с первым членом b = A(1 +r)n−1 и знаменателем q = (1 x+r).

Сумма n первых членов этой прогрессии равна величине b qn −1

ипосле преобразований получаем оценку переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом A

изнаменателем x:

Таким образом, переход от дискретных платежей постнумерандо к непрерывным приводит к увеличению приведенной и будущей стоимости аннуитета

r

в m2 ln (1 +r~m) раз.

В течение 4 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 млн руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется ежегодно.

Решение:

Полагаем n = 4, m = 14, r = 15%. Поскольку платежи поступают достаточно часто, будем считать, что они поступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой (4.11) для определения наращенной суммы непрерывного аннуитета при млн руб.

Сравним этот результат со значением, полученным по формуле p-срочного аннуитета, предполагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постнумерандо. Так как p = 360, A = 10~360, получим:

Видим, что полученные величины отличаются незначительно.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Финансовая компания в течение пяти лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и равномерно?

Решение:

Используем формулу (4.12) для определения приведенной стоимости непрерывного аннуитета, при A = 20 млн руб., n = 5, m = 1, r = 30%:

P V = (20 30 ) F M4(30%, 5) = 55,7 млн руб. ln 1 +0,3