Финансовые вычисления

Лекция 5

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

5.1 Метод депозитной книжки

Можно дать иную интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с помощью метода «депозитной книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Как раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Текущая стоимость аннуитета — это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно меняется — в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на простейшем примере.

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.

Решение:

Если обозначить за A величину искомого годового платежа, то данный финансовый контракт можно представить в виде следующей схемы (рис.5.1).

А А А А А

Рис. 5.1 – Схема к методу депозитной книжки

Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 долл., т. е. отток денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму A, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл., то платеж, который будет сделан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 долл. (13% от 20 000 долл.) и погашаемой части долга в сумме (A −2600) долл. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно (20000 −A +2600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает. Из схемы на рис. 5.1 видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа A можно воспользоваться формулой:

20000 = F M4(13%, 5) A = 3,517 A т. е. A = 5687 долл.

Динамика платежей показана в табл. 5.1. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом.

Данная таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину

Таблица 5.1

процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые k лет, и т. д.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассуждения, аналогичные используемым при решении примера, можно провести и в общем виде, что позволит дать более строго интерпретацию приведенной стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки и попутно выявить полезные с финансовой точки зрения закономерности, позволяющие ответить на многие вопросы, связанные с денежными потоками

Итак, пусть получена ссуда в сумме S на n лет под процентную ставку r, причем сложные проценты начисляются на непогашенный остаток. Определим величину годового платежа при возврате долга равными суммами в конце каждого года.

Обозначим через A годовой платеж. В конце первого года часть его, равная Sr, идет на уплату процентов. Оставшаяся же часть A − Sr — на уплату части долга.

Таким образом, к концу первого года величина непогашенного остатка составит:

S −(A −Sr) = S(1 +r) −A.

В конце второго года на уплату процентов пойдет уже величина (S(1+r)−A)r, а на уплату долга — A −‰S(1 +r)−AŽr == (A −Sr)(1 +r). Следовательно, к концу второго года долг будет равен:

S(1 +r)−A −(A −Sr)(1 +r) = S(1 +r)2 −A (1 +r)2 −1 = S(1 +r)2 −A F M3(r, 2). r

В конце третьего года проценты и уплата долга соответственно составят:

‰S(1 +r)2 −A F M3(r, 2)Žr,

A −‰S(1 +r)2 −A F M3(r, 2)Žr = (A −Sr)(1 +r)2

следовательно, остаток долга станет равным:

S(1 +r)2 −A F M3(r, 2) −(A −Sr)(1 +r)2 = S(1 +r)3 −A F M3(r, 3).

94 РАЗДЕЛ I. Общая часть

Поскольку долг должен быть выплачен через n лет, то справедливо равенство

S(1 +r)n −A F M3(r, n) = 0, откуда

S = A F(M3(r,) n) = A F M3(r, n).

1 +r n

Следовательно, S является приведенной стоимостью постоянного аннуитета постнумерандо с членом, равным A, т. е.

S = P Vpst.

откуда, в частности, следует, что доля кредита, погашенная в первые m лет, составит (A −Sr)F M3(r, m).

Проверим некоторые вычисления приведенного примера. Поскольку для него P Vpst = 20000, n = 5, A = 5687, то из (5.2) можно найти величину процентного платежа в четвертом периоде:

(20000 (1 +0,13)35687 F M3(13%, 3)) 0,13 = 1233,

что совпадает с соответствующим значением в табл. 5.1.

5.2 Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка

Одной из типовых задач, решаемых на практике с помощью методов дисконтирования, является прогнозный анализ фондов, доступных к потреблению, в условиях, когда аналитик (физическое или юридическое лицо) оценивает свои возможные доходы, а также целесообразность проведения операций на рынке ссудных капиталов, подразумевающих предоставление или, наоборот, получение кредитов. Общая постановка базовой задачи такова.

Анализ проводится в условиях свободного равновесного рынка, предполагающего существование возможности размещения временно свободных средств путем

варианты поведения. Из приведенного графика видно, что, варьируя суммой получаемого или предоставляемого кредита, инвестор может выбрать различные стратегии поведения, каждой из которых соответствует некоторая точка на графике.

Допустим, что инвестор решил несколько урезать свои потребности первого года, снизив их на 2 тыс. руб. от максимально возможного. В этом случае потребление первого года составит 10 тыс. руб.; потребление второго года составит 17,3 тыс. руб. (15+2 1,15 = 17,3). Общая сумма потребления равна 27,3 тыс. руб. Этому варианту соответствует точка M на линии AB с координатами (10; 17,3).

Допустим, что инвестору по некоторым причинам понадобилось увеличить на 2 тыс. руб. максимально возможное потребление первого года. В этом случае понадобится банковская ссуда, по которой придется рассчитаться из доходов второго года. Итак, потребление первого года равно 14 тыс. руб.; потребление второго года равно 12,7 тыс. руб. (152 1,15 = 12,7). Общая сумма потребления составит 26,7 млн руб. Этому варианту также соответствует некоторая точка L на линии AB.

Точка O на графике является центральной и соответствует варианту, когда в пределах каждого периода суммы потребления и дохода совпадают. Отклонение от точки O означает появление операций по получению или предоставлению кредита: движение по прямой от O в сторону A означает предоставление кредита; движение от O в сторону B означает получение кредита.

Рис. 5.2 – Графики линии доступности ресурсов к потреблению

Нетрудно видеть, что представленная зависимость описывается формулой

где y — сумма к потреблению во втором году; x — сумма к потреблению в первом году; MC — максимально доступная к потреблению во втором году сумма; r — процентная ставка (в десятичных дробях).

Ясно, что с ростом r угол наклона меняется, при этом наибольшая сумма средств, доступных к потреблению, растет, а политика в отношении потребления может изменяться в сторону максимально возможного откладывания момента потребления — при достижении некоторого значения процентной ставки инвестор, предпочитавший ранее по возможности ускорять потребление, может диаметрально изменить свою политику. Так, при ставке процента, равной 25%, объему потребления первого года в размере 10 тыс. руб. соответствует точка N на новом графике CD, показывающая, что при выборе такой политики объем средств, доступных к потреблению во втором году, увеличится с 17,3 до 17,5 тыс. руб.

Линия возможностей потребления зависит и от других факторов. В частности, появление новых инвестиционных возможностей может существенно изменить положение прямой.

Допустим, что в условиях предыдущей ситуации с планируемыми годовыми доходами в 12 и 15 тыс. руб. появилась возможность принять участие в краткосрочном инвестиционном проекте. Для этого необходимо в конце текущего года вложить 10 тыс. руб., при этом гарантированный доход через год составит 30%. Рассмотрим возможные варианты действия в этом случае.

Поскольку проект несомненно выгоден, речь идет о том, как распределить по годам доступные к потреблению ресурсы. Если инвестор хочет максимизировать общую сумму средств к потреблению, он полностью откажется от потребления в текущем году, инвестировав получаемый им доход, т. е. его оптимальная политика будет такова: участие в проекте (10 тыс. руб.) и депонирование в банке оставшейся суммы (2 тыс. руб.) под 15% годовых. Максимально доступная к потреблению сумма средств за два года составит: 13 тыс. руб. от участия в инвестиционном проекте (10 1,3); 2,3 тыс. руб. от депонирования средств в банке (2 1,15); 15 тыс. руб. — текущий доход второго года; итого — 30,3 тыс. руб.

Если инвестор хочет максимизировать объем потребления текущего года, то он откажется от потребления в следующем году, a его оптимальная политика будет такова: 12 тыс. руб. — текущий доход первого года; инвестирование 10 тыс. руб. в предлагаемый проект; 11,3 тыс. руб. — получение ссуды в банке под доход от участия в проекте (13 1,15); 13,04 тыс. руб. — получение ссуды под текущий доход следующего года (15 1,15); итого — 26,34 тыс. руб.

Таким образом, линия возможностей потребления сдвигается вправо (линия EF ); меняется и угол ее наклона, поскольку рентабельность инвестиционного проекта отличается от базовой процентной ставки.

Рассмотренная ситуация, когда линия возможностей потребления представлена в виде прямой, в определенном смысле условна и используется лишь для иллюстрации общей идеи оптимизации финансовой политики в условиях рынка ссудных капиталов. В реальной жизни более распространенной является ситуация, когда процентные ставки при получении и размещении кредитов не совпадают, именно: ставка при получении кредита будет несколько выше ставки при размещении временно свободных средств путем предоставления их в долг. В этом случае прямая возможностей потребления при движении по ней от точки E начнет искривляться и трансформируется в выпуклую вверх кривую.

Существуют и другие факторы, влияющие на вид линии возможностей потребления: налоги, текущие расходы по реализации того или иного инвестиционного проекта, цена новой информации о возможных проектах и тенденциях на рынке капиталов, неравное положение различных кредиторов и инвесторов, неодинаковая доступность финансовых ресурсов для различных категорий инвесторов и др.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по лекции 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1)Объясните логику метода депозитной книжки.

2)Объясните логику решения задач использования свободных денежных ресурсов.

РАЗДЕЛ II

Методические указания к практическим занятиям

Практическое занятие 1

ПРОСТЫЕ СТАВКИ

Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность, смысл которой может быть выражен следующим утверждением: одна денежная единица, имеющаяся в распоряжении инвестора в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем. Эффективность любой финансовой операции, предполагающей наращение исходной суммы P до ожидаемой в будущем к получению суммы F (F > P ), может быть охарактеризована ставкой.

Простая ссудная ставка рассчитывается отношением наращения F −P ) к исходной (базовой) величине P . Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F −P ) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F .

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обычно говорят о годовой ставке. Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью до года. В этом случае за основу берется дневная ставка, причем в зависимости от алгоритмов расчета дневной ставки и продолжительности финансовой операции результаты наращения будут различными. Используются три варианта расчета:

Математическое дисконтирование является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (так называемой «приведенной стоимости»),