Элементарная математика для студентов (адаптационный курс)

Введем операцию деления многочленов.

Многочлен f (x) делится (нацело) на многочлен g(x) 0, если

определяется однозначно.

Делимость многочленов обладает многими свойствами, которыми обладает делимость целых чисел.

Как и деление чисел, деление многочлена на многочлен нацело возможно не всегда. В этом случае говорят о делении с остатком.

Для любого многочлена f (x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов q(x) и r(x), для которой выполняется равенство f (x) g(x) q(x) r(x), где многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g(x).

Многочлен q(x) называют частным, r(x) — остатком. Существует несколько способов вычисления частного и остатка.

Наиболее удобный метод вычисления, который чаще всего применяется на практике для нахождения частного и остатка, — это метод «деления уголком».

111

Пример 92. Найдите частное и остаток при делении f (x) 4x5 7x4 6x3 3x 1 на g(x) x3 x2 3.

Решение. Выполним деление «уголком»

_4x5 7x4 6x3 0x2 3x 1 x3 x2 3

Важную роль в теории многочленов и ее приложениях имеет теорема, показывающая связь между значениями многочленов в точке и

3.Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не больше чем его степень.

4.Если значения двух многочленов, степени которых не больше n, совпадают в (n + 1)-й точке, то эти многочлены равны.

112

Теорема Безу позволяет найти остаток от деления многочлена f (x) на двучлен x x0. Но при решении некоторых задач необходимо знать не только остаток, но и частное. При делении многочлена на двучлен x x0 для отыскания частного и остатка применяют более простой, чем «деление уголком», метод, называемый «схемой Горнера».

Применив определение равенства многочленов в алгебраической форме для определения коэффициентов частного q(x) и остатка r, получим систему

b0 a0, b1 a1 x0b0, b2 a2 x0b1,..., bn 1 an 1 x0bn 2, r an x0bn 1.

Удобно схему Горнера записывать в виде таблицы.

113

При решении алгебраических уравнений и неравенств нужно находить нули (корни) выражений. Если выражение является многочленом с целыми коэффициентами, то всегда можно отыскать все его рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют. Способ отыскания рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема. Если несократимая дробь p является корнем много- q

члена f (x) a0xn a1xn 1 ... an с целыми коэффициентами, то его свободный член делится на p, а старший коэффициент делится на q,

т.е. a0 q, an p.

Из этой теоремы вытекает важное следствие. Если старший ко-

эффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни многочлена — целые и являются делителями свободного члена.

Из теоремы следует, что для нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами нужно выписать все делители свободного члена, все положительные делители старшего коэффициента, составить из этих чисел несократимые дроби и проверить, какие из этих дробей являются корнями многочлена.

Пример 94. Решите уравнение x3 3x2 10x 24 0. Разложите многочлен, стоящий в правой части, на множители.

Решение. Многочлен f (x) x3 3x2 10x 24 имеет целые ко-

эффициенты, рациональные корни этого многочлена, если они есть, являются целыми и находятся среди делителей свободного члена. Поэтому искать рациональные корни следует среди чисел 1, 2, 3, 4,6, 12, 24. Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем многочлена ( f (2) 8 6 4 2 2 12 0). По теореме Безу многочлен

x2 4, x3 3. Итак, исходное уравнение имеет три действительных

114

корня х = –3, х = 2, х = 4. Заданный в условии многочлен представим

ввиде произведения линейных множителей

x3 6x2 2x 12 (x 3)(x 2)(x 4).

в) f (x) x4 x3 3x2 5x 2, g(x) x2 x 2.

206. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена f (x) на двучлен x a, если

а) f (x) x4 3x3 24x2 7x 2,a 4; б) f (x) x4 6x2 7x 11, a 2;

в) f (x) x4 3x3 9x2 23x 14, a 4.

В ответе укажите частное q(x) и остаток r от деления.

207. Не выполняя операции деления, найдите остаток от деления многочлена f (x) x5 6x4 2x3 7x2 11x 32 на двучлен x 1.

115

208. Найдите целые корни многочлена. Разложите многочлен на множители с целыми коэффициентами:

а) f (x) x3 6x2 11x 6;

б) f (x) x4 3x3 3x2 16x 12; в) f (x) x4 3x3 6x2 12x 8;

г) f (x) x4 x3 2x2 x 3.

209. Найдите целые корни многочлена. Разложите многочлен на множители с целыми коэффициентами:

а) f (x) x4 x3 13x2 x 12;

б) f (x) x4 2x3 7x2 20x 12;

в) f (x) x4 3x3 4x2 8x 8; г) f (x) x5 x4 4x3 5x2 x 2.

116

Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 25 Понятие производной

Центральные понятия дифференциального исчисления, производная и дифференциал, возникли при рассмотрении задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Используя понятия приращения аргумента x x x0 и прира-

щения функции f f(x0 x) f(x0), соотношение f (x) f (x0) x x0

запишем в виде f .

x

Задача о движении точки. Пусть точка M движется прямолинейно. К моменту времени t0 она прошла путь S0, а к моменту вре-

мени t она прошла путь S. Тогда за промежуток времени

точка M прошла путь S S S0. Средняя скорость точки на этом

дет меняться, характеризуя движение на все меньшем промежутке. Поэтому за скорость точки в момент времени t0 принимают пре-

дел48 v(t0) lim S .

t 0 t

Задача о касательной к кривой. Пусть на плоскости XOY задана непрерывная кривая y f (x). Найдем уравнение касательной к кривой в точке М0(х0, у0).

48 Точка A называется пределом функции f (x) в точке x0, если для любого положительного числа ε существует положительное число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 < |x – x0| < δ, ( х – бесконечно малая) следует |f (x) – A| < ε (разность f (x) – A также бесконечно

малая). Передел функции f (x) в точке x0 обозначается A lim f (x).

x x0

117

Возьмем на кривой произвольную точку М(х, у). Обозначим

функцией скалярного аргумента. Пусть функция y f (x) опреде-

лена на некотором промежутке [a; b] и точки x0 и x0 x принадле-

жат этому промежутку.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приведем строгое определение производной функции. Производной функции y f (x) в точке x0 называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0.

Вычисление производной функции называется дифференцированием. Если функция y f (x) имеет производную в каждой точке

118

некоторого множества, то ее называют дифференцируемой на этом множестве49.

Геометрически существование производной функции y f (x)

в точке x0 означает, что в этой точке можно провести касательную к графику функции. Угловой коэффициент касательной к графику функции y f (x) в точке x0 равен значению производной функции в этой точке, а уравнение касательной имеет вид

y f(x0) f (x0)(x x0).

Физический смысл производной — это мгновенная скорость точки. Если точка движется прямолинейно и путь, пройденный к моменту t, вычисляется по формуле S f (t), то скорость точки в момент t0

равна значению производной функции в точке t0: v(t0) f (t0).

Основные правила дифференцирования

3.Производная произведения равна сумме произведения производной первого сомножителя на второй и произведения производной второго сомножителя на первый: (u v) u v u v .

4.Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(c u) c u .

5.Производная отношения равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения производной

знаменателя на числитель, деленной на квадрат знаменателя:

49 Для функции нескольких переменных (функции векторного аргумента) из условия существования производной не следует ее дифференцируемость.

119

водная сложной функции равна произведению производных элементарных функции, суперпозицией которых является данная функция:

лите ее значение при х = 3.

Решение. Воспользуемся формулой производной дроби:

50 Производная функции y = f (kx + b) – частный случай производной сложной функции, когда u = kx + b и u = k.

120