Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f (x) ≤ b и существует конечный предел lim f (x) = A, то A ≤ b. Если существует

и существуют конечные пределы lim f (x) = A, lim Φ(x) = B, то A ≤ B.

ж) lim x2 + 2x − 8 .

x→2

1.6Непрерывность функции в точке

1.6.1Основные понятия и теоремы

Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x0, если f опре-

делена в этой точке и lim f (x) = f (x0). Функция, непрерывная в каждой точке

x→x0

некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Вспоминая определение предела функции на языке окрестностей, определение непрерывности можно дать в следующем виде.

Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке x0, если f определена в этой точке и для всякой окрестности U ( f (x0)) точки f (x0) существует окрестность V (x0) точки x0 такая, что для всех x V (x0) имеет место включение

f (x) U ( f (x0)).

Определение 2 можно записать на языке неравенств.

Определение 3. Функция f называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке, и для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x − x0| < δ, выполнено неравенство | f (x) − f (x0)| < ε.

Величину x = x − x0 называют приращением аргумента, а f = f (x) − f (x0) — приращением функции при переходе из точки x0 в точку x.

Определение 3 можно записать на языке приращений.

Определение 4. Функция f называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и из условия x → 0 следует, что f → 0.

Используя понятие односторонних пределов для f : X R → Y R, можно ввести понятия односторонней непрерывности — непрерывности справа и непрерывности слева в точке x0. Предлагаем читателю сформулировать эти определения самостоятельно.

Теорема 1. Для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

Теорема 2. Если функции f и Φ : X Rn → Y R непрерывны в точке x0, то

f

функции f + Φ, f · Φ и Φ (Φ(x0) 6= 0) также непрерывны в точке x0. Справедливость теоремы следует из определения непрерывности и теорем о

пределе суммы, произведения, частного.

Теорема 3. Для того чтобы функция f : X Rn → Y Rk была непрерывна в точке x0(ξ01, ξ02, . . ., ξ0n), необходимо и достаточно, чтобы все её координатные функции

были непрерывны в x0.

Справедливость теоремы следует из определения непрерывности, определения предела на языке Гейне и теоремы о пределе векторной последовательности.

Следствие. Функция f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) непрерывна в точке z0 = x0 + iy0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0, y0).

Найденные интервалы являются окрестностями точки x0. Последнее и означает непрерывность функции ax в точке x0 при a > 1 и при 0 < a < 1.

x0, Φ непрерывна в точке y0 = f (x0). Тогда их суперпозиция (сложная функция) (Φ ◦ f ) = Φ( f (x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Пусть W (Φ(y)) — произвольная окрестность точки Φ(y0) = Φ( f (x0)). По определению непрерывности для неё существует окрестность U (y0) точки y0 = f (x0) такая, что для всех y U (y0) = U ( f (x0)) выполнено включение Φ(y) W (Φ(y0)). Далее, для окрестности U (y0) = U ( f (x0)) существует, в силу непрерывности функции f , окрестность V (x0) точки x0 такая, что для

Возможны следующие ситуации.

1. Оба односторонних предела lim f (x) и lim f (x) существуют, конечны

x→x0−0 x→x0+0

и равны между собой, но либо функция не определена в точке x0, либо f (x0) не равна общему значению односторонних пределов, т.е.

Такой разрыв называется устранимым, так как его можно “устранить”, доопределив или переопределив функцию f в точке x0, положив

2. Оба односторонних предела существуют, конечны, но не равны между собой:

lim f (x) 6= lim f (x).

x→x0−0 x→x0+0

Такой разрыв называют разрывом первого рода или разрывом типа “скачок”.

3. Все остальные нарушения соотношения (1.9), т.е. когда один или оба односторонних предела не существуют, один или оба односторонних предела равны бесконечности, относят к разрывам второго рода.

Решите самостоятельно.

1.6.1 Дана функция f (x) = Ax2 + 4, если − 3 ≤ x < 1; 2x + 6, если 1 ≤ x < 3.

Укажите значение константы A, при котором данная функция непрерывна в точке x0 = 1.

1.6.2 Дана функция f (x) = x2 + 5x − 14 , которая в точке x0 = 2 не определе- x2 − x − 2

на. Доопределите функцию f (x) в точке x0 = 2 таким образом, чтобы получилась непрерывная в точке x0 = 2 функция.