Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения оптофизики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

500.78 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и

радиоэлектроники»

Кафедра электронных приборов

УРАВНЕНИЯ ОПТОФИЗИКИ

Методические указания к практическим занятиям для студентов направлений

«Фотоника и оптоинформатика» и «Электроника и наноэлектроника»

2012

Гейко Павел Пантелеевич, Шандаров Станислав Михайлович

Уравнения оптофизики: методические указания к практическим занятиям для студентов направлений «Фотоника и оптоинформатика» и «Электроника и наноэлектроника» / П.П. Гейко, С.М. Шандаров; Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра электронных приборов. - Томск: ТУСУР, 2012. - 38 с.

Пособие посвящено изложению некоторых специальных разделов математики, и предназначено для преподавателей и студентов ТУСУР. Пособие учитывает специфику технического ВУЗа и направления подготовки «Фотоника и информатика» и может быть использовано студентами при подготовке к практическим занятиям, экзаменам и при самостоятельной работе.

Рассматриваются основные понятия и определения, связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка. Излагаются вопросы, относящиеся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических, параболических и эллиптических).

Предназначено для студентов очной, очно-заочной и заочной форм, обучающихся по направлениям «Фотоника и оптоинформатика» и «Электроника и наноэлектроника» по курсу «Уравнения оптофизики».

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Кафедра электронных приборов

УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ЭП

_____________С.М. Шандаров «___» _____________ 2012 г.

УРАВНЕНИЯ ОПТОФИЗИКИ

Методические указания к практическим занятиям для студентов направлений

«Фотоника и оптоинформатика» и «Электроника и наноэлектроника»

Разработчики

____________ П.П. Гейко

____________ С.М. Шандаров «____»______________2012 г.

2012

	Содержание
ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................		5
1.	Классификация линейных уравнений второго порядка..............................	6
2.	Дифференциальные операторы и классификация векторных полей.........	8
3.	Краевая задача для однородного уравнения теплопроводности.
Диффузия. Дифракция параксиальных пучков..............................................		12
4.	Однородное волновое уравнение: Краевая задача. Формула Даламбера
решения задачи Коши.......................................................................................		16
5.	Уравнение Шрёдингера................................................................................	22
6.	Краевые задачи для уравнения Лапласа.....................................................	25
Задачи к экзамену..............................................................................................		33
Рекомендуемая литература ..............................................................................		36

ВВЕДЕНИЕ

Цель преподавания дисциплины: формирование у бакалавров понимания теоретических основ и математического аппарата современной оптической физики для последующего использования этих знаний при разработке, эксплуатации, исследовании физических свойств и технических характеристик элементов и устройств когерентной и нелинейной оптики, нелинейной и волноводной фотоники.

Задачи изучения дисциплины

Врезультате изучения данной дисциплины студенты должны получить навыки математического моделирования реальных (в первую очередь физических) процессов на основе краевых задач для уравнений в частных производных.

Врезультате изучения дисциплины студент должен:

знать основные преставления об уравнениях с частными производными, законы сохранения как основу модельного описания линейных и нелинейных оптических явлений.

уметь моделировать реальные (в первую очередь оптические) процессы и явления как краевые задачи для уравнений в частных производных.

владеть методами решения уравнений в частных производных для решения теоретических и практических задач оптической физики.

Оптическая физика широко использует уравнения математической физики для описания различных линейных и нелинейных явлений. Математическая физика – это математический аппарат изучения физических полей – одного из центральных объектов современной физики

иинженерии. Только привлекая рассмотрение физических полей и соответствующий математический аппарат, удается наиболее полно описать многие оптические явления, а в целом ряде случаев без такого привлечения даже не удается сформулировать первоначальные понятия и простейшие утверждения. Поэтому знание тех или иных разделов математической физики оказывается необходимым каждому современному специалисту в области фотоники.

Термин "математическая физика" имеет и более узкий, "классический" смысл. Он относится к уравнениям в частных производных, являющимся теоретическим аппаратом гидромеханики, теории теплопроводности и диффузии, теории упругости, "классической" части теории электромагнитного поля, оптических волноводов, нелинейной оптики. Поля, рассматриваемые в этих классических разделах, оказывается возможным трактовать как системы с бесконечным числом степеней свободы, что и обусловило общность соответствующего математического аппарата.

1. Классификация линейных уравнений второго порядка

Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно старших производных, т.е. имеющие вид

a11uxx 2a12uxy a22uyy F(x, y,u,ux ,uy ) 0, (1.1)

где a11,a12 ,a22 являются функциями x и y .

Спомощью преобразования переменных

(x, y), (x, y),

допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать, чтобы функциональный определитель

D	x		x

		y		y

был отличен от исходному. Нас переменные и

нуля), можно получить уравнение, эквивалентное будет интересовать вопрос: как выбрать новые, чтобы относительно них уравнение имело наиболее

простой (канонический) вид.

Перейдя к новым переменным, будем иметь ux u x u x ,

uy u y u y ,

)

u )

u 2

u (

)

(1.2)

u (

)

u (

)

u 2

u ( )

x x

u 2

(

)

(

)

( )

x x

u 2

Аналогично получаем

u (

) u

x y

y x

x y

(1.3)

2 2u

После подстановки полученных производных в (1.1) получим уравнение

a11u	2a12u a22u			F1( , ,u ,u ,u) 0,	(1.4)
где		2		a 2 ,
a a		2	2a	a 2 ,
11	11	x	12 x y	22 y
a12	a11 x x a12 ( x y x y ) a22 y y ,				(1.5)

a22 a11 x2 2a12 x y a22 y2.

Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

F(x, y,u,ux ,uy ) b1ux b2uy cu f ,

то F1 имеет вид

F1( , ,u ,u ,u) 1u 2u u .

Таким образом, уравнение в этом случае снова получается линейным.

Попытаемся выбрать переменную (x, y) так, чтобы коэффициент a11 в уравнении (1.4) был равен нулю. Для этого необходимо, чтобы(x, y) было решением уравнения

a 2	2a	a 2 0.	(1.6)
11 x	12 x y	22 y
Уравнение (1.6) можно записать в виде произведения
a11 x a12 a122 a11a22 y a11 x a12 a122 a11a 22 y .
Таким образом, решение уравнения (1.6) свелось к решению двух
линейных однородных уравнений первого порядка
a11 x	a12	a122 a11a22 y 0.	(1.7)

Из теории следует, что для решения уравнений (1.7) надо найти общий интеграл каждого из уравнений

dy		a12	a122		a11a22	.	(1.8)
dx				a		.	(1.8)
dx				a
				11
На вид решений уравнений (1.8) существенно влияет знак
подкоренного выражения	a2		a a		. По		знаку этого выражения
	12		11	22

определяется тип уравнения (1.1).

Будем называть уравнение (1.6) в точке M гиперболического типа, если a122 a11a22 0 ,

эллиптического типа, если a122 a11a22 0 , параболического типа, если a122 a11a22 0 . Можно убедиться в справедливости равенства

a122 a11a22 (a122 a11a22 )D2 ,

из которого следует, что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных.

Следует отметить также, что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках может быть разным.

	Пример 1.1. Рассмотрим уравнение
		uxx xuyy 0,			(1.9)
здесь a11 1,	a12 0	и a22 x , следовательно,
		a2	a a	22	x.
		12	11	22

Тем самым при x 0 уравнение (1.9) гиперболического типа, при x 0 – параболического типа, а при x 0 – эллиптического типа.

1.2. Варианты задач для самоподготовки

1. Найдите общие решения следующих уравнений в частных производных:

а)	U	0 ,	если U U (x, y);
	y

б) 2U 0;x y

в) Ux Uy ;

г) x Ux y Uy 0 ;

д) 2U 2U 0 .x2 y2

2. Выяснить, к какому типу (гиперболическому, параболическому или эллиптическому) относятся следующие уравнения в частных производных:

а) волновое уравнение

б) уравнение Фурье

в) уравнение Лапласа

г) уравнение

2u a2 2u ;t2 x2

u a2 2 u ;t x2

2u 2u 0 ,x2 y2

xUxx+Uуу=sinx.

3.Какие из следующих уравнений являются линейными?

1)Utt=e-tUxx+sin(t);

2)UUxx+Ut=0;

3)Uxx+yUyy=0;

4)xUx+yUy+U2=0.

2. Дифференциальные операторы и классификация векторных полей

1.Доказать:

1)div rot F 0 для любого поля F;

2)rot grad u(M) 0;

3) div grad u(M) u,	u	2 u	2 u	2 u	.
		x2	y2	z2

				9
Решение.		Q x, y, z
1) Пусть	F P x, y, z i	Q x, y, z	j R x, y, z k.

По определению имеем i j k


rot F
rot F	x	y	z
	P	Q	R

div rot F

2 R

2 Q

2 R

2 P

2 Q

2 P

y x

z x

x y

z y

y z

2) Пусть

u(M) u x, y, z . По определению имеем

grad u

2 u

rot grad u

y z

z y

2 u

x z

y x

x y

z x

3) div grad u

2 u

2. Показать, что поле

F 2x y z

i x2 2y

j x k

является

потенциальным, но не соленоидальным.

Найти

потенциал

u(x, y, z)

данного поля.

называется

потенциальным или безвихревым, если

Решение. Поле F

называется соленоидальным, если

rot F

0. Поле

div F 0.

Находим

rot F

1 1

2x 2x k

2x y

x2 2y

т. е. поле

– потенциальное.

Далее имеем

2x y z

x 2y

0 2y 2 0,

div F

поэтому поле	F не является соленоидальным.
В потенциальном векторном поле криволинейный интеграл второго
рода не зависит от пути интегрирования и справедлива формула

		F d u(B) u(A).
	AB
Потенциал	u(x, y, z)	векторного		поля
Потенциал	u(x, y, z)	векторного		поля	F P i	Q j R k
определяется формулой		(x,y,z)
		(x,y,z)
	u(x, y, z)		P d x Q d y R d z,
		(x0 ,y0 ,z0 )

z		где	x0 , y0 , z0 – фиксированная, x, y, z –
	M(x, y, z)	произвольная		текущая	точки.	Выберем начало
	M(x, y, z)	координат O(0, 0, 0) за фиксированную точку, а в
		координат O(0, 0, 0) за фиксированную точку, а в
0	y	качестве пути интегрирования ломанную					OABM ,
0	y	тогда

A B

u(x, y, z)			2x y z d x x2		2y d y x d z.
		OABM
На отрезке ОА имеем: y 0, z 0				d y 0,	d z 0,
на АВ: z 0, d x 0, d z 0, на ВМ: d x 0, d y 0 .
Тогда	x		y	z

	0 d x x2 2y			d y x d z x2 y y2 x z.
OA AB BM	0		0	0

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.58 Mб2Управленческий учет.-6.pdf
#
05.02.20232.06 Mб3Управленческий учет.-7.pdf
#
05.02.20232.46 Mб0Управленческий учет..pdf
#
05.02.20231.33 Mб2Управленческое лидерство..pdf
#
05.02.2023223.65 Кб3Уравнения оптофизики.-1.pdf
#
05.02.2023500.78 Кб4Уравнения оптофизики..pdf
#
05.02.2023515.33 Кб0Уроки по волейболу..pdf
#
05.02.2023127.52 Кб7Устойчивое развитие человечества.-1.pdf
#
05.02.2023126.91 Кб3Устойчивое развитие человечества.-2.pdf
#
05.02.2023560.26 Кб2Устойчивое развитие человечества..pdf
#
05.02.202380.45 Кб1Устойчивость экосистем..pdf