Дифференциальные уравнения

101

Пусть A Rn → Rn — линейный оператор. Тогда Ax + b = 0 — система n линейных уравнений с n неизвестными. Рассмотрим оператор B Rn → Rn, действующий по формуле Bx = Ax + b. При b ≠ 0 B — оператор, полученный из линейного оператора A сдвигом на вектор b. При b = 0 оператор B совпадает с оператором A. Найдем условия сжимаемости оператора B при различных метриках в пространстве Rn. Для Rn1 имеем:

Таким образом, мы получили условие сжимаемости оператора B, а следова-

тельно, и оператора A.

n

max∑ aij < 1.

1 j n i=1

Для Rn2 условие сжимаемости оператора B, а следовательно, и оператора A

nn

∑∑(aij)2 < 1.

i=1 j=1

Соответствующие вычисления предлагается проделать самостоятельно или посмотреть в [9].

Подводя итоги, получаем, что если систему n линейных уравнений с n неизвестными удается записать в форме x = Ax + b с матрицей A, удовлетворяющей одному из полученных условий сжимаемости оператора A, то, по теореме о сжимающем операторе, последовательные приближения xn+1 = Axn + b сходятся к точке x0, являющейся решением данной системы линейных уравнений. Соответствующий процесс называется итерационным.

На этой идее основаны методы простой итерации и его модификации (метод Зейделя).

Пусть теперь функция f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. п. 1.4) решения задачи Коши для дифференциального уравнения y′ = f (x, y) с начальными условиями y(x0) = y0, то есть непрерывна по совокупности переменных в некоторой области D и удовлетворяет в ней условию Липшица по y. Перейдём к эквивалентному интегральному уравнению