24
Формулы для вычисления a и b имеют вид:
|
n |
n |
n |
|
|
n |
n |
n |
|
|
P n |
P n |
P |
|
|
P |
P |
||
a = |
n · i=1 xiyi |
− i=1 xi · i=1 yi |
, |
b = |
i=1 yi − a · i=1 xi |
. (7.4) |
|||
|
|
2 |
|
||||||
|
n · i=1 xi2 − i=1 xi |
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
P |
|
|
|
|
|
|
|
Зная a и b и задавшись какими-либо значениями x1 и x2 можно вычислить y1 и y2 (по формуле 7.3). Затем через две точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2) проводится искомая прямая (если построение графика необходимо).
Теория также позволяет найти случайные абсолютные погрешности коэффициентов a и b:
|
|
|
|
S2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
S2 · i=1 xi2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; σ(b) = u |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
σ(a) = |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (7.5) |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
n |
|
P n |
2 |
|||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
u |
|
2 |
|
|
xi |
||||||
|
u n |
xi |
− |
|
i=1 |
|
|
|
u n |
· i=1 |
xi |
− |
i=1 |
||||||||||||
|
u |
· i=1 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||||
где |
t |
P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
n |
t |
P |
|
|
P |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
Rmin |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yi − axi − b) . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
S |
= |
n |
|
|
2 |
; |
Rmin = |
|
|
|
|
|||||||||||
i=1
Следует подчеркнуть, что по формулам (7.5) вычисляется не среднеквадратичная среднего арифметического, а именно стандартная погрешность, т.е. среднеквадратичная погрешность каждого отдельного измерения.
Истинные значения коэффициентов a и b лежат в следующих интервалах:
aист = a ± t(α, n) · σ(a), bист = b ± t(α, n) · σ(b),
где t(α, n) коэффициент Стьюдента для данной вероятности α и числа n измерений.
Литература
1.Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. Л.: Наука, 1985. 110с.
2.Рабинович С.Г. Погрешности измерений. Л: Энергия, 1978.
258с.
3.Лабораторный практикум по общей физике: Учебное пособие. В трёх томах. Т.1. Механика / А.Д. Гладун, Д.А. Александров,
Ф.Ф.Игошин и др. Под ред. А.Д. Гладуна. М.: МФТИ, 2004. 316с.