Задача 11

Сколько существует трехзначных чисел в 8-ичной системе счисления, у которых есть две одинаковые подряд идущие цифры?

Решение

1 способ

Пусть трехзначное 8-ичное число. - множество чисел, у которых две первые цифры одинаковые: , а - множество вида: .

Количество элементов множества обозначим . Тогда :

, так как 2 первые совпадающие цифры можно выбрать 7 способами, а третью цифру можно выбрать 8 способами. Соответственно , так как первую цифру можно выбрать 7 способами, а совпадающие вторую и третью цифры можно выбрать 8 способами.

, поэтому .

Получаем

.

2 способ

- множество всех трехзначных 8-ичных чисел.

.

- множество чисел, у которых нет двух одинаковых подряд идущих цифр.

Искомое множество есть .

, мы воспользовались тем, что .

Задача 12

Все слова длины 6 в алфавите упорядочены в лексикографическом порядке. Какое слово идет под номером 15586?

Решение

Словам соответствуют 6-значные числа в 6-ичной системе счисления, начинающиеся с комбинации 000000, которая имеет номер 1.

Лексикографический порядок означает запись этих числе в порядке возрастания.

Комбинация 000000 имеет номер 1. И вообще порядковый номер числа на единицу больше самого числа. Так под номером 15586 идет число 15585, записанное в 10-ичной системе. Переведем это число в 6-ичную запись:

15585	6
15582	2597	6
3	2592	432	6
	5	432	72	6
		0	72	12	6
			0	12	2	6
				0	0	0
					2

Подчеркнутые нижние цифры в каждом столбце составляют искомую запись, если их прочитать в обратном порядке.

Так что искомое число . Мы подставили символы алфавита вместо соответствующих цифр.

Ответ: .

Задача 13

Все слова длины 8 в алфавите упорядочены в лексикографическом порядке. Какое слово идет под номером 1484?

Решение

Действуя так же, как в предыдущей задаче, найдем 3-ичную запись числа

.

Найденное число 7-значное. Дополним его нулем слева до искомого кода:

Ответ: .

Задача 14

Среди 108 целых чисел 47 кратно 11, 28 кратно 5, 13 кратно 121, 22 кратно 55, 11 кратно 605. Определить, сколько среди них не кратно 121 или кратно 5?

Решение

Обозначим

- множество всех чисел;

- множество чисел, кратных 11;

- множество чисел, кратных 5;

- множество чисел, кратных 121;

- множество чисел, кратных 55;

- множество чисел, кратных 605;

Имеем

Запишем формулой искомое множество:

- множество чисел не кратных 121 или кратных 5, черточкой сверху обозначают подмножество, дополнительное к исходному множеству: .

По формуле включения и исключения имеем

(5)

Очевидно

.

Можно написать

.

Слагаемые этой суммы не пересекаются, поэтому

, так как

Получаем

.

Теперь по формуле 5) находим искомое число

Ответ: 106.