Силовая |
|
|
Угол ά наклона силовой ли- |
|
|
Y |
нии к оси Y найдем из фор- |
||
линия |
|
|||
α |
мул (8.1): |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Mx MuCosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
My |
|
|
|
|
X My MuSinα |
|
|
|
|
|
My tgα |
|
|
Z |
|
|
|
|
(8.2) |
|
|
|
|
|
|||
|
Mx |
Mu |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Mx |
|
Положение опасного сечения бруса определяется по эпюре пол-
ного изгибающего момента Mu в случае плоского косого изгиба и по двум эпюрам Mx u My в случае пространственного косого изгиба.
Напряжения при косом изгибе
Напряжения во всех случаях сложного сопротивления , в том чис- ле и при косом изгибе, определяются с помощью принципа неза- висимости действия сил, то есть находят напряжения от каждого внутреннего усилия отдельно, а затем находят их сумму. При косом изгибе возникают и нормальные, и касательные напряжения.
1. Нормальные напряжения.
При косом изгибе возникают два изгибающих момента, поэтому в сечении возникают и две системы нормальных напряжений – от каждого из изгибающих моментов.
Y |
σ Mx |
|
|
|
z |
|
σzMy |
My |
X |
|
|
Z |
|
Mx |
|
При определении нормальных напряжений достаточно найти их алгебраическую сумму, так как эти напряжения действуют в одной плоскости и параллельны одной линии.
σzMx |
σMx |
Mxy |
|
||
|
z |
|
Jx |
|
|
σzMy |
|
|
|
|
|
My |
|
My |
|
||
|
σ |
|
x |
|
|
|
z |
|
Jy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ Mxy Myx |
(8.3) |
|||
|
z |
|
Jx |
Jy |
|
σz |
В формуле (8.3) x u y– это координа- |
||||
|
ты точки, в которой определяется |
||||
|
напряжениe. |
|
|
|
|
2. Касательные напряжения.
Y
При определении касательных на- пряжений необходимо определять их геометрическую сумму, так как эти
Qx напряжения лежат в разных плос-
X костях:
xz OX; yz OY
Qy 
yz
xz
zmax R
Исследование напряженного состояния в точке при косом изгибе.
Y |
X |
|
Рассмотрим кон- |
|
сольную балку пря- |
||
|
|
||
|
|
|
моугольного попе- |
|
|
Z |
речного сечения, на- |
|
|
груженную, напри- |
|
|
|
|
|
|
|
|
мер, сосредоточен- |
|
|
|
ными силами. |
|
|
|
Проведем в этой |
|
X |
|
балке произвольное |
|
|
сечение и отбросим |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
часть балки, лежа- |
|
|
щую, например, |
|
|
|
|
справа от сечения. |
|
|
|
Выберем в этом |
|
|
|
сечении произволь- |
|
|
|
ную точку. |
Y |
σy |
zy |
|
|
xy |
|
|
X |
yz |
σz |
|
|
yx |
xz |
|
|
Z |
zx |
|
|
|
|
σx
Вырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед.
Изобразим этот параллелепипед в увеличенном виде, нагрузим его грани напряжениями, которые могут возникать в самом общем слу- чае и определим, какие из них будут отсутствовать в случае косого изгиба. Для простоты изображения покажем напряжения только на трех видимых гранях параллелепипеда.
Y
X
2). Касательные напряжения
σy 
xy |
zy |
|
|
|
yz |
σz |
|
|
|||
yx |
|
xz |
|
Z |
zx |
|
|
σx |
|
|
|
1). Нормальные напряжения на верх- ней и передней гранях параллелепи- педа отсутствуют в силу гипотезы о ненадавливании продольных воло-
кон друг на друга, то есть
σx σy 0.
xy yx 0 в силу того, что на
верхней (нижней) и боковых гранях балки отсутствуют внешние на- грузки, которые могут эти напряжения вызвать.
|
zy |
|
σz |
yz σ |
|
xz |
z |
|
|
||
zx
Таким образом, у элементарного параллелепипеда нет свободных от напряжений площадок, то есть имеет место пространственное напряжен- ное состояние.
Можно, однако, показать, что касательные напряжения при ко- сом изгибе намного меньше нормальных и ими обычно пренебре- гают.
Тогда в точке балки образуется линейное напряженное состоя-
ние,т.е. |
σz |
|
, то |
σ σmax; |
если |
||||
|
|
0 |
1 z |
|
если |
σ 0, то |
σ3 σmaxz ; |
||
|
z |
|
|
|
и условие прочности записывается в виде σmaxz |
R (8.4) |
Опасные точки сечения. Нейтральная линия сечения.
Из формул (8.3) и (8.4) следует, что прежде, чем вос- пользоваться условием прочности , необходимо сна- чала определить координаты x u y опасных точек сече- ния, то есть точек, в которых возникают наибольшие нормальные напряжения.
Для этого научимся определять положение нейтраль- ной линии сечения, то есть линии, во всех точках кото- рой нормальные напряжения равны нулю.
|
Y |
|
Предположим, что точка N ( xN ,yN) |
|
|||||||||
|
N |
|
лежит на нейтральной линии . |
|
|
|
|||||||
|
|
Тогда |
σN |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
φ yN |
X |
|
|
z |
|
Mx |
|
My |
|
|||
|
xN |
|
Из (8.3) |
σz Jx y |
|
Jy x |
|
||||||
|
|
|
σN |
Myx Mxy 0; |
|
|
|||||||
Н.л. |
|
|
z |
Jy |
N |
Jx |
|
N |
|
|
|
|
|
|
yN |
|
tgyyN |
MyJx |
|
Jx(8.5) |
|||||||
y |
My Jx |
|
|
||||||||||
xN |
Mx Jy ; |
x |
tg |
|
My |
|
|
||||||
N |
|
|
|
|
NMxJy |
|
|
; |
|||||
|
|
N |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|||||
По формуле (8.5) определяется угол |
наклона φ нейтральной линии |
||||||||||||
|
x |
|
|
Mx |
|
|
Jy |
|
|||||
к оси X, то есть определяется положение нейтральнойxN |
линии. При |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
этом положительный угол φ откладывается от оси X против хода |
|
||||||||||||
часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|