9.4.3. Поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра
Очень длинный прямой цилиндр равномерно заряжен. Определим напряженность электрического поля вблизи него на расстоянии r на достаточно большом удалении от его концов. Рассмотрим несколько различных случаев.
1. Длинный прямой цилиндр радиусом R заряжен с поверхностной плотностью заряда (рис. 9.4.5).
В
силу симметрии заряда электрическое
поле также симметрично и направлено
вдоль радиуса r.
Напряженность электрического поля
будет постоянной на поверхности цилиндра
S,
охватывающего цилиндрический заряд и
коаксиального с ним, и направлена
перпендикулярно поверхности цилиндра.
Чтобы применить теорему Остроградского – Гаусса, нужна замкнутая поверхность, поэтому следует учитывать не только боковую поверхность, но и плоские торцы (основания) цилиндра. Но вектор смещения параллелен торцам, значит поток сквозь торцы отсутствует.
Учитывая, что
площадь боковой поверхности цилиндра
высотой 
равна
,
а величина заряда на длине
теорема Остроградского – Гаусса запишется следующим образом:
.
Отсюда выражения для смещения и напряженности поля вне цилиндра определяется так:
;
(9.4.7)
.
(9.4.8)
Таким образом, напряженность электрического поля вне длинного равномерно заряженного цилиндра убывает обратно пропорционально расстоянию от оси цилиндра (рис. 9.4.6).
Т
ак
как цилиндр заряжен по поверхности и
внутри него заряд отсутствует, значит
и напряженность внутри такого цилиндра
равна нулю.
2. Длинный прямой
цилиндр (нить) равномерно заряжен с
линейной плотностью 
(рис. 9.4.7).
Заряд такого
цилиндра длиной
будет равен
,
а поток вектора смещения
.
Теорема Остроградского – Гаусса с учетом предыдущих рассуждений в этом случае запишется так:
.
Отсюда величина смещения равна
,
(9.4.9)
а напряженность определится формулой
.
(9.4.10)
График зависимости для рассмотренного поля представлен на рис. 9.4.8.
3. Длинный прямой цилиндр радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью (рис. 9.4.9).
Используя предыдущие рассуждения, находим величину потока вектора смещения поля вне цилиндра
.
Так как заряд
цилиндра объемом
равен
,
теорема Остроградского-Гаусса запишется
так:
.
Отсюда величина смещения равна
,
(9.4.11)
а напряженность поля
,
(9.4.12)
Если r < R то заряд, охватываемый поверхностью интегрирования, равен
и теорема Остроградского – Гаусса запишется так:
.
Отсюда находим смещение и напряженность поля внутри цилиндра.
;
(9.4.13)
.
(9.4.14)
Таким образом, напряженность поля внутри равномерно заряженного с объемной плотностью цилиндра прямо пропорциональна, а вне цилиндра - обратно пропорциональна расстоянию от оси цилиндра (рис. 9.4.10).
