8. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности потока. Уравнение Бернулли
При течении жидкости каждая ее частица движется по определенной траектории, которая называется линией тока. Скорость частицы жидкости в данный момент времени в данной точке направлена по касательной к линии тока в этой точке. Мгновенная картина распределения скоростей жидкости образует поле скоростей. Если поле скоростей не меняется со временем, такое движение жидкости называется стационарным (установившимся). Течение жидкости можно изобразить в виде трубки тока, то есть множества линий тока, проходящих через какое-либо сечение.
Уравнение неразрывности потока
υ1S1 = υ2S2 или υS = const, где υ − скорость жидкости в данном поперечном сечении площади S.
Из уравнения видно, что чем меньше сечение трубы, тем быстрее течет в ней жидкость, и наоборот. Отсюда также легко понять, почему на мелких участках река течет быстро, а на глубоких медленно.
Из него следует, что чем больше скорость потока, тем давление меньше.
9. Вязкость жидкости. Формула Стокса
У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, истинные растворы, расплавы) вязкость зависит только от природы жидкости и температуры (с ростом температуры вязкость понижается). Такие жидкости называются ньютоновскими. У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных или представляющих дисперсные системы (эмульсии, суспензии), вязкость зависит также от давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается из-за нарушения внутренней структуры потока жидкости. Такие жидкости называются структурно вязкими или неньютоновскими. Чем больше вязкость жидкости, тем труднее в ней двигаться.
Так, маленькая дробинка в воде падает гораздо быстрее, чем в глицерине, обладающем большей вязкостью. Сила сопротивления вязкой среды, действующая на маленький шарик радиуса r, движущийся со скоростью υ, определяется формулой Стокса
10. Течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе. Формула Пуазейля
При небольших скоростях жидкость в цилиндрической трубе течет без завихрений. Такое течение называют ламинарным. При больших скоростях течения в потоке появляются завихрения, и движение становится турбулентным. Для выяснения, когда ламинарное движение переходит в турбулентное, используют так называемое число Рейнольдса.
Число Рейнольдса безразмерное. Существует критическое значение этого числа Reкр, при котором течение жидкости становится турбулентным. При этом, если Re < Reкр, движение ламинарное, а если Re ≥ Reкр – турбулентное. Критическое число Рейнольдса определяют из опыта для конкретной ситуации.
11. Основы гемодинамики
1. Неразрывность потока крови.
Организм «использует» уравнение неразрывности потока для замедления движения крови в тканевых капиллярах за счет того, что суммарное сечение всех одновременно работающих капилляров в сотни раз больше площади сечения аорты. Малая скорость в капиллярах увеличивает время прохождения эритроцитов по капиллярам и обеспечивает диффузию кислорода в ткани. В системе разветвляющихся капилляров не только уменьшается скорость кровотока, но и снижается давление крови (избыточное над атмосферным).
2. Сердце как механический насос.
Сердце птиц, млекопитающих и человека представляет собой полый мышечный орган, состоящий из двух предсердий и двух желудочков. Оно располагается в грудной полости. Левая и правая стороны сердца разделены сплошной мышечной перегородкой. На границе между желудочками и предсердиями имеются отверстия, которые могут закрываться и открываться при помощи специальных клапанов. Клапаны состоят из створок, которые открываются только в полость желудочков, благодаря чему обеспечивается движение крови в одном направлении. В левой половине сердца клапан образован двумя створками и называется двустворчатым. Между правым предсердием и правым желудочком находится трехстворчатый клапан. Между желудочками и артериями находятся полулунные клапаны. Они также обеспечивают ток крови в одном направлении – из желудочков в артерии. Левая и правая половины сердца сообщаются между собой через кровеносные сосуды, образующие вместе с сердцем кровеносную систему. Ее можно представить как единую трубу, обеспечивающую неразрывность потока крови. Кровь в организме птиц и млекопитающих движется непрерывным потоком по двум кругам кровообращения большому и малому. В работе сердца, состоящей в перекачивании крови, выделяют три фазы: сокращение предсердий, сокращение желудочков и пауза, когда желудочки и предсердия одновременно расслаблены. Сокращение сердца называется систолой, расслабление – диастолой. Чередование работы и отдыха каждого из отделов сердца обеспечивает неутомляемость сердечной мышцы. Во время систолы левый желудочек, сокращаясь, создает избыточное над атмосферным артериальное давление и выталкивает артериальную кровь (объем ~ 60 см3 ) в аорту . От нее кровь через артерии, артериолы и капилляры попадает во все органы, отдает им кислород и питательные вещества и забирает от них углекислый газ и продукты выделения. Из органов венозная кровь в период расслабления сердца или диастолы возвращается в правое предсердие и течет в правый желудочек. Это большой или телесный круг кровообращения. Одновременно (во время систолы) кровь проходит малый круг кровообращения: правый желудочек, сокращаясь, выбрасывает венозную кровь в легочную артерию под сравнительно малым давлением. Кровь попадает в легкие, где насыщается кислородом и освобождается от углекислого газа. Во время диастолы левый желудочек расслабляется и из левого предсердия принимает обогащенную кислородом кровь из легких. Гидродинамическое сопротивление малого круга меньше, и для движения по нему достаточно небольшого давления. Таким образом, желудочки сокращаются и расслабляются синхронно (одновременно), предсердия тоже, что обеспечивает работу двух кругов как единого целого. Фаза расслабления (расширения) сердца диастола приводит к уменьшению избыточного давления в венах и предсердиях 2 практически до нуля. В результате большой круг работает за счет разности давлений 120 мм рт. ст., а малый – 24 мм рт. ст. В аорте при диастоле артериальное давление падает не до 0, а до 70 мм рт. ст., что обеспечивает непрерывное движение крови по большому кругу кровообращения. Энергия движения крови, которую сообщает ей сердце, определяется из уравнения Бернулли. Сердце обеспечивает кровоснабжение организма человека при очень малой мощности. Это мощность, потребляемая лампочкой карманного фонаря. Мы имеем самый экономичный биологический жидкостный насос, перекачивающий за минуту 4-5 л крови.
Измерение давления крови. Метод основан на измерении давления воздуха в резиновой манжете, пережимающей артерию. Манжету накладывают на одну из конечностей, и нагнетают воздух до давления большего 120 мм рт. ст. (больше артериального). В состоянии расслабления мышц давление манжеты почти полностью переходит на артерию. Манжета пережимает артерию, и кровь через нее не течет. В артерии не прослушивается никаких шумов. Затем давление в манжете постепенно понижают, выпуская из нее воздух. При достижении в манжете давления около 120 мм рт. ст. кровь начинает прорываться через узкое отверстие в артерии с большой скоростью (число Рейнольдса превышает критическое значение). Течение становится турбулентным (вихревым), и мы начинаем слышать шумы (тоны), которые стихают по мере уменьшения давления в манжете. При дальнейшем снижении давления ниже артериального (70 мм рт. ст.), кровь начинает спокойно течь по артерии, течение становится ламинарным. шумы исчезают. Итак, показание манометра при первом появлении тонов соответствует максимальному (систолическому) давлению, а показания в момент резкого ослабления последовательных тонов соответствуют минимальному (диастолическому) давлению. При измерении давления крови у животных манжету можно накладывать на плечевую, запястную, бедренную, височную или хвостовую артерии. Пульс у животных измеряют на определенных артериях: у лошадей – на наружной подчелюстной, у коров – на лицевой, у мелких животных – на бедренной.