Коэффициент корреляции
Опр. Коэффициентом корреляции с.в. X, Y называется нормированный смешанный центральный момент 2-ого порядка, т.е.:
|
( X ,Y ) r( X ,Y ) cov( X ,Y ) |
|
Свойства |
X Y |
|
1. |
r( X ,Y ) : |
|
2. |
r( X ,Y ) r(Y, X ) |
|
3. |
|
|
4. |
r(cX ,Y ) r( X ,Y )sign(c) |
|
5. Еслиr(c сX.в,.YX,) Yrнезависимы,( X Y ) то
| r( X ,Y ) | 1, | r( X ,Y ) | 1 X kY b
r( X ,Y ) 0
2. Дисперсия
Опр. Дисперсией с.в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
DX M ( X MX )2 |
MX 2 |
Если с.в. X дискретная, то |
|
Если с.в. X непрерывная, тоDX (xi
i 1
(MX )2
MX )2 p i x 2i p i (MX )2
i 1
DX (x MX )2 p (x)dx x2 p (x)dx (MX )2
Дисперсия характеризует разброс значенийX с.в.X Относительно ее математического ожидание, ее размерность совпадает с размерностью квадрата с.в.
Свойства дисперсии:
1. |
Dc 0 |
|
|
2. |
D(cX ) c2 DX |
|
|
3. |
|
|
|
|
D(c X ) DX |
- независимы, то |
|
4. Если с.в. |
|
||
|
X1, X2 |
D( X1 |
X2 ) DX1 DX 2 |
|
3. Среднеквадратическое отклонение |
||
Опр. Среднеквадратическим отклонением с.в. X называется
Среднеквадратическое отклонение тоже характеризует разброс значений с.в., но егоX размерностьDX совпадает с размерностью с.в.
Свойства среднеквадратического отклонения:
1.
2.
3.c 0
(cX ) c X
(c X ) X
4. Моменты k-ого порядка
Момент k-ого порядка: MX k Абсолютный момент k-ого порядка: k Центральный момент k-ого порядка:M X
Абсолютный центральный момент k-огоM (порядка:X MX )k
Размерность моментов k-ого порядка совпадает с k-ойMстепеньюX MX k размерности с.в. Часто для удобства расчетов используют нормированные моменты, не имеющие размерности.
Нормированный момент k-ого порядка имеет вид:
Математическое ожиданиеMX–k это момент 1-ого порядка.
Дисперсия – это центральный( X )k момент 2-ого порядка.
Опр. Нормированный центральный момент 3-ого порядка называется асимметрией:
X |
M ( X MX )3 |
|
( X )3 |
||
1 |
||
Асимметрия характеризует асимметричность распределения |
||
(для симметричных распределений она равна 0) |
||
Опр. Нормированный центральный момент 4-ого порядка называется эксцессом:
|
M ( X MX )4 |
|
Эксцесс характеризует выраженность вершины распределения. |
||
2 X |
( X )4 |
3 |
Нормировка (-3) выбрана т.ч. для нормального закона распределения эксцесс был равен нулю.