sem2zadan1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m V + m V , при АУУ и НУУ;

U , при АНУУ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

202.64 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Н.А. Гладков, А.С. Романов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

ПО ТЕМЕ «ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ, КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ»

Предисловие

Домашнее задание и методические указания к нему посвящены изучению основных разделов механики, усвоение которых абсолютно необходимо для изучения всех остальных разделов курса общей физики. Выполнение задания должно способствовать выработке у студентов устойчивых на-

выков в решении многоходовых физических задач и более глубокому усвоению и пониманию основ-

ных физических законов.

Задачи необходимо решать в общем аналитическом виде, используя общеизвестные стандарт-

ные математические преобразования. В результате таких действий студент получает соответствую-

щую формулу для искомой физической величины, а затем подставляет численные значения исход-

ных величин и получает итоговый численный результат. Например, круговая частота собственных незатухающих колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле ω = k / m , где k = 10

Н/м, m = 0,1 кг, тогда ω = 10 / 0,1 = 10 1/с.

Требования к оформлению домашнего задания

Решение каждой задачи выполняется на отдельных листах. На лицевой стороне первого листа должно быть написано:

Домашнее задание по курсу общей физики

1-й курс (2 –й семестр)

Группа ……………………….. Фамилия, инициалы ……………………………………

Вариант № …………………… Задача № ……………………………………………….

На первой странице следует написать условия задачи с исходными данными соответствующе-

го варианта, изобразить заданный рисунок исходной задачи. Далее излагается решение задачи. Все вводимые студентом новые параметры и обозначения физических и геометрических величин обяза-

тельно следует сопровождать соответствующими пояснениями. При решении задачи необходимо ссылаться на используемые физические законы. Например: «…согласно закону сохранения импуль-

са имеем …», или «… в соответствии с законом сохранения энергии следует написать …». Уравне-

ния, математические выражения и формулы нужно выделять отдельной строкой и обязательно нуме-

ровать. Это позволяет при преобразованиях делать ссылку на эти номера. Например: «… подставим зависимость (4) в уравнение (7) …». Такое изложение хода решения задачи позволяет преподавателю проверить правильность предлагаемого решения и указать на конкретную ошибку, если она имеется.

Целесообразно решение задачи сопровождать пояснительными рисунками, которые показывали бы исследуемую систему в ее движении, развитии.

Домашнее задание состоит из четырех задач. Первая задача посвящена динамике материаль-

ной точки, решается с использованием закона сохранения импульса (ЗСИ) и закона сохранения энер-

гии (ЗСЭ) и имеет три типа различных независимых условий.

Вторая задача относится к динамике вращательного движения твердого тела, решается с ис-

пользованием закона сохранения момента импульса (ЗСМИ) и ЗСЭ и имеет четыре типа различных независимых условий.

Третья задача посвящена колебаниям, решается с применением уравнений динамики или за-

кона сохранения механической энергии и имеет пять типов различных независимых условий.

Четвертая задача относится к волновым процессам, решается методом суперпозиции (наложе-

ния) волн и имеет четыре типа различных независимых условий.

Исходные данные каждого конкретного варианта домашнего задания сведены в соответст-

вующие таблицы. При этом в таблицах крестиками отмечены предполагаемый характер взаимодей-

ствия частей рассматриваемой механической системы, а также те физические величины, значения которых требуется определить при решении задач.

Динамика материальной точки

Задача 1-1 (номера вариантов с 1 по 10)

Две гладкие частицы сферической формы с мас-


			сами m1	и m2, движущиеся со скоростями V10 и
	V20		сами m1	и m2, движущиеся со скоростями V10 и
	V20
			V20 , сталкиваются под углом β, как указано на
α	β		рис.1
α		V10	Расстояние до места встречи и скорости частиц
O		V10	Расстояние до места встречи и скорости частиц
	ϕ		соответствуют условиям соударения (отсутствию
	ϕ		промаха). На рис.1:
			промаха). На рис.1:
m1			β — угол встречи, т.е. угол, образованный векто-
m1
			рами V10	и V20 ;
	O		α = (π - β) — дополнительный угол;
			ϕ — угол между линией удара O1O2 и вектором

	m2
Рис. 1		V10 .
Рис. 1		Другие обозначения:
		Другие обозначения:

V1 и V2 — скорости соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

U — совместная скорость частиц после абсолютно неупругого удара.

θ - угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами V10		и V1	или V10

и U .

γ - угол разлета частиц после удара, т.е. угол, образованный векторами V1	и V2 .

p1 и p2 - импульсы соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E1, E2 - кинетические энергии соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E - изменение кинетической энергии механической системы, состоящей из двух частиц за время удара.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ); б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Общие исходные данные: m* = 10−3кг, V* = 10 м/с, α* = π/2.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 1

Таблица №1

№ вар		Исходные данные к задаче 1-1
№ вар	m1	m2	V10	V20	α	ϕ	θ
	m1	m2	V10	V20	α	ϕ	θ
1	2m*	m*	V*	0	-	1/3α*	-
2	m*	1/2m*	2V*	0	-	2/3α*	-
3	3m*	2m*	1/2V*	0	-	1/2α*	-
4	3/2m*	1/2m*	3V*	0	-	2/3α*	-
5	2m*	m*	V*	2V*	2/3α*	-	-
6	3m*	2m*	2V*	V*	1/2α*	-	-
7	m*	2m*	V*	0	-	1/3α*	1/4α*
8	2m*	3m*	2V*	0	-	1/2α*	1/3α*
9	m*	m*	V*	V*	1/2α*	1/2α*	-
10	2m*	2m*	2V*	2V*	2/3α*	2/3α*	-

Таблица №1 (продолжение)

№	Вид взаимодействия							Определить
вар	АУУ	НУУ	АНУУ	V1	V2	γ	E1	E2	θ	p1	p2	E	U
1	+	-	-	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-
2	+	-	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	-
3	+	-	-	-	-	+	-	-	-	+	+	-	-
4	+	-	-	+	+	-	-	-	+	-	-	-	-
5	-	-	+	-	-	-	-	-	+	-	-	+	+
6	-	-	+	-	-	-	-	-	+	-	-	+	+
7	-	+	-	+	+	-	-	-	-	-	-	+	-
8	-	+	-	-	-	-	-	-	-	+	+	+	-
9	+	-	-	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-
10	+	-	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	-

Основные зависимости в задаче 1-1

Во всех процессах, связанных с ударным взаимодействием частиц, следует считать время удара пренебрежимо малой величиной, т.е. за время удара координаты местоположения и ориентация частиц практически не изменяются.

При соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и энергии. ЗСИ и ЗСЭ для данной задачи в общем случае имеют вид

				2			2
				m1V1	+	m2V2		, при АУУ;
				m1V1		m2V2
				2
				2			2
m V 2		m V 2	m V 2			m V 2
1 10	+	2 20	=	1 1	+		2 2	+	E, при НУУ;
2	+	2	=	2	+		2	+	E, при НУУ;
2		2		2			2
				(m + m )U 2
				1	2			+	E, при АНУУ;
					2			+	E, при АНУУ;
					2

Образец оформления решения задачи 1-1.

Два одинаковых, абсолютно гладких шара движутся навстречу друг другу со скоростями V10=4 V и V20=V. При этом векторы скоростей направлены по касательным к поверхностям противоположных шаров (см. рис.2). Определить под каким углом δ к первоначальному направлению движе-

ния будет двигаться правый шар после соударения если
удар шаров является абсолютно упругим.	m1	V10
Дано	m1	V10
Дано
V10=4 V
V20=V		m2
m1=m2=m		V20
m1=m2=m
__________		Рис.2

δ=?

Решение На рис.3 приведена векторная диаграмма соударения шаров, а на рис.4 изображено располо-

жение шаров в момент удара

F t	mV1	Y
	mV1

ϕ	ε	P=const	mV10
			mV10

mV20
		ϕ
		δ
		γ
			F′ t
			X
			mV2
		Рис. 3

	В	mV10
	В
О1	.
О1	ϕ
	К
	ϕ
mV20	О2

F′

Рис.4

При упругом ударе шаров выполняется закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ)

	m V 2			m V 2			m V 2			m V		2
	10	+			20	=		1	+		2		,	(1.1)
		+				=			+				,	(1.1)
2					2		2				2
гдеV10=4 V – начальная скорость 1-го шара,
V20=V – начальная скорость 2-го шара,
V1 – конечная скорость 1-го шара (скорость 1-го шара после удара),
V2 - конечная скорость 2-го шара (скорость 2-го шара после удара).
Сокращая (1.1) на m/2 , приходим к более простому выражению
		V 2			+ V 2	= V 2		+ V 2						(1.2)
			10		20		1		2
Законы изменения импульсов для 1-го и 2-го шаров имеют вид:

		m V1 − m V10						= F			t ,			(1.3)

		m V2 − m V20						= F ′			t ,			(1.4)

где t – интервал времени взаимодействия шаров при ударе,

F– сила, с которой 2-ой шар действовал на 1-ый шар во время удара,

F′ – сила, с которой 1-ый шар при ударе действовал на 2-ой шар.

Векторы F и F ′ лежат на линии удара (линия, проходящая через центры масс шаров и точку контакта К).

Согласно третьему закону Ньютона

F = −F ′ ,

F ′

= F

(1.5)

Складывая (1.3) и (1.4) приходим к следующему выражению:

m V1 − m V10 + m V2 − m V20 = (F + F ′) t

которое с учётом (1.5) преобразуется в закон сохранения импульса (ЗСИ)

P = m V10 + m V20 = m V1 + m V2

= const

(1.6)

сокращая (1.6) на m, получаем

V10 + V20 = V1 + V2 .

(1.7)

Проецируем (1.7) на ось Х, совпадающей с линией удара (рис. 3),

V10 X + V20 X

= V1X + V2 X

(1.8)

Проецируем (1.3) и (1.4) на ось Y, расположенную перпендикулярно линии удара, и сокращая

полученные выражения на массу m, приходим к равенствам:

V1Y

= V10Y

(1.9)

V2Y

= V20Y

(1.10)

Преобразуем (1.8)

V10 X −V1X = V2 X −V20 X

(1.11)

и возведём (1.11) в квадрат

− V

)2 = (V

− V

, или

10 X

2 X

20 X

V 2

− 2 V

+ V 2

= V 2

− 2 V

+ V 2

(1.12)

10 X

2 X

20 X

Далее запишем (1.2) через проекции

+ V

+ V 2

= V

+ V 2

10 X

10Y

20 X

20Y

2 X

Согласно (1.9) и (1.10), это выражение упростится

+ V 2

= V

+ V 2 , или

10 X

20 X

2 X

V 2

− V

2 = V 2

− V

(1.13)

10 X

2 X

20 X

Вычтем (1.13) из (1.12)

−2 V

+ 2 V

2 = −2 V

+ 2 V

, или

10 X

2 X

20 X

V1X (V1X −V10 X ) V1X

= V20 X (V20 X − V2 X ) .

(1.14)

Но согласно (1.11) выражения, стоящие в скобках в левой и правой частях этого уравнения,

равны. Следовательно:

V1X

= V20 X .

(1.15)

Подставляя (1.15) в (1.11), приходим к другому равенству

V10 X

= V2 X .

(1.16)

Если умножить (1.15) и (1.16) на m, то получим равенство проекций импульсов:

m V1X	= m V20 X ,	(1.17)
m V10 X	= m V2 X .	(1.18)
Выражения (1.17) и (1.18) можно интерпретировать, как взаимный обмен импульсами шаров
при ударе вдоль оси X (вдоль линии удара).

Угол ϕ между линией удара О1КО2 и вектором V10 , определяем из геометрических построений
(см. рис. 4). Так как О1О2=2 R (здесь R – радиус шара), а О2В=R, то тогда
ϕ=30о.
Согласно (1.9), (1.10) и рис.3 получаем:
V1 sin ε = V10 sin ϕ ,		(1.19)

V2 sin γ = V20 sin ϕ .

(1.20)

А согласно (1.15), (1.16) и рис.3 находим:

V1 cos ε = V20 cos ϕ ,

(1.21)

V2 cos γ = V10 cos ϕ .

(1.22)

Формулы(1.19)÷(1.22) с учётом того, что sin ϕ = sin 30o =

, cos ϕ = cos 30o =

а V10=4 V, V20=V примут вид:

V1 sin ε = 2 V ,

(1.23)

V sin γ =

V .

(1.24)

V cos ε =

V ,

(1.25)

V2 cos γ = 2

3 V .

(1.26)

Итак, имеем 4 уравнения (1.23)÷(1.26) и 4 неизвестные величины: скорости V1, V2 и углы ε, γ.

Разделим (1.24) на (1.26)

tg γ =

≈ 0,144 ,

отсюда

γ = arctg (0,144)

γ = 8о

Согласно рис.3 δ = 180о - ϕ - γ, или δ = 180о – 30о – 8о = 142о.

Итак

δ = 142о

Разделим (1.25) на (1.23) ctgε =

≈ 0,433 , отсюда ε = arctg (0,443) ε = 66о36′.

Из (1.23) находим

V =

2 V

≈

2 V

≈ 2,2 V .

sin (66o36′) 0,91

Проверка из (1.25)

V1 =

≈

≈ 2,2 V .

2 cos

(66o36′)

0,4

Из (1.24)

≈

≈ 3,5

V .

2 sin γ

2 sin 8o

2 0,143

Проверка из (1.26)

V =

2 3

V =

2 3

V ≈

2 3

V ≈ 3,5 V .

cos γ

cos 8o

0,99

Задача 1-2 (номера вариантов с 11 по 20)

Гладкая частица сферической формы массой m, которую можно рассматривать как мате-

риальную точку, ударяется со скоростью V0 о гладкую массивную преграду, которая движется со


скоростью U . Угол, образованный векторами	V0	и U , равен β. Массу преграды считать беско-

нечной. На рис. 5, 6 преграда имеет форму плоской стенки, на рис.7 – форму острого конуса с углом раствора γ, а на рис. 8 – форму конуса сферической головной частью радиусом R. Удар частицы о сферическую поверхность происходит в точке А, расположенной под углом γ относительно оси преграды. При этом АО = R.

m	m
V0
	V0
	U
U	β
	β
Рис.5	Рис.6
Рис.5

m V0	m	V0	A
			A
γ			γ	O
γ			γ
U			U	R
U
Рис.7			Рис.8

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ); б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Обозначения:

VK — конечная скорость частицы после удара;

αK — угол, образованный векторами VK и U ;

V — изменение вектора скорости частицы за время удара; p — изменение модуля импульса частицы за время удара;

E — изменение кинетической энергии частицы за время удара;

F — модуль средней силы, с которой частица действует на стенку во время удара;

чальную кинетическую энергию, где

η — безразмерный коэффициент.

Общие исходные данные: m* = 10-3 кг, V* = 6 м/с, U* =2 м/с, β* = 180°, η* = 0,5, t*=10-5 с.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 2

Основные зависимости в задаче 1.

При решении этой задачи целесообразно использовать кинематическое соотношение


			V = U + V ′ ,		(1.27)
где V — абсолютная скорость частицы, V ′ — скорость частицы относительно стенки.
Тогда закон сохранения энергии примет вид:
		mV ′ 2
			K	, при АУУ;
			2	, при АУУ;
			2
	mV ′ 2	mV ′ 2
	0	=	K	+ E Д , при НУУ;
2		=	2	+ E Д , при НУУ;
2			2
		E	Д , при АНУУ;

где	V ′ и V ′		— векторы относительной скорости частицы соответственно до и после удара.
	0	K

Закон изменения импульса частицы при ударе о стенку имеет вид:


	mVK	− mV0	= F t	,	(1.28)
				,

где V0	и VK — векторы абсолютной скорости частицы до и после удара, F — вектор средней

силы, с которой стенка действует на частицу. После подстановки в уравнение (1.28) зависимости (1.27) получаем закон изменения импульса, выраженный через относительные скорости

mV ′

−mV0′ = F t .

Таблица №2

№ вар.

Исходные данные к задаче 1-2

№ рис.

2/3β *

2m*

2V*

1/4β *

2Δt*

5m*

3V*

2U*

5/6β *

3Δt*

3m*

1/2V*

1/2U*

1/6β *

4m*

2V*

2U*

1/3β *

1/2V*

1/6β *

2m*

2V*

−

3/4η *

8Δt*

3m*

2U*

β *

−

1/2η *

2V*

1/2β *

−

2m*

−

1/3β *

−

Таблица №2 (продолжение)

№ вар.

Вид взаимодействия

Определить

АУУ

НУУ

АНУУ

αK

F t

Образец оформления задачи 1-2

Гладкая частица сферической формы массой m=10 −3 кг, летящая со скоростью V0=6 м/с, ударяется о гладкую массивную стенку, которая движется со скоростью U=2 м/с. Угол,

		−4 c. Массу стенки
образованный векторами V	и U , равен β =120° (рис. 9, время удара t =10	−4 c. Массу стенки
0

считать бесконечной. Вид взаимодействия: абсолютно упругий удар (АУУ). Определить:

•Скорость частицы после удара VК;

•Угол αK, образованный векторами VК и U ;

•	Модуль изменения импульса		;
		P

•Модуль средней силы, с которой частица действует на стенку за время удара F;

Дано:

m=10-3 кг,

V0=6 м/с,

U=2 м/с,

β =120°,

t=10-4 c,

АУУ.

VК -?, αK-?,

-?, F-?

Рис. 9

Решение:

С движущейся стенкой свяжем подвижную систему координат X ′O′Y ′ . На рис. 10 представлена век-

торная диаграмма скоростей при ударе частицы

αК

о подвижную стенку

Здесь:

O′

X ′

−

V0 - вектор начальной абсолютной ско-

α ′

рости частицы;

α 0

−

′

- вектор начальной скорости части-

α ′

цы, относительно подвижной стенки;

−

U - вектор скорости подвижной стенки

′

V ′

(скорость подвижной инерциальной сис-

Y ′

темы отсчета (ИСО));

− VK - вектор конечной абсолютной скоро-

Рис. 10

сти частицы;

−

′

- вектор конечной скорости частицы,

относительно подвижной стенки. Эти скорости связаны соотношениями:

V0		= U + V0′	(1.29)

V	K	= U + V ′	(1.30)
	K	K

Соответствующие углы указаны на рис. 10, в частности, угол α0=180°-β=180°-120°=60° α0=60°. Проецируем соотношения (1.29) и (1.30) на оси O′X′ и O′Y′

V0 cosα0=−U+ V0′ cosα0′,	(1.31)
V0 sinα0=V0′ sinα0′,	(1.32)
VK cosαK=U+ VK′ cosαK′,	(1.33)
VK sinαK=VK′ sinαK′.	(1.34)

Уравнение изменения импульса при ударе частицы о стенку имеет вид:


mVK − mV0		= F	t ,	(1.35)

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015759.56 Кб34sbornik-k_zaschite-lab-rab_zheltaya_knizhka.pdf
#
10.07.20196.69 Mб3Sbornik.doc
#
09.02.2015124.42 Кб98Sbornik_zadach_po_pravovedeniy.doc
#
23.03.20164.37 Mб357SCAD для чайников dnl8193.pdf
#
21.04.2015395.57 Кб13SDN_basics.pdf
#
10.02.2015202.64 Кб13sem2zadan1.pdf
#
10.02.2015124.51 Кб116sem2zadan2.pdf
#
09.02.2015323.07 Кб25Semestr_3_Lektsia_01.doc
#
09.02.2015486.91 Кб10Semestr_3_Lektsia_02_1.doc
#
09.02.2015208.38 Кб30Semestr_3_Lektsia_02_ch_2.doc
#
09.02.2015271.36 Кб43Semestr_3_Lektsia_03.doc