775
.pdf
40
41
42
43
Задание К2У
Плоскопараллельное движение
Определение скоростей и ускорений
Плоский шарнирно-стержневой механизм (см. рисунки к вариантам заданий) приводится в движение вращением кривошипа О1А с постоянной угловой скоростью ω. Для заданного положения механизма определить скорости узловых точек и точки М, а также ускорения двух подвижных узловых точек. Исходные данные выбрать по табл. К2.1.
Точка М находится в середине или в конце звена. Радиус катков с осью вращения в т. О (см. вар. 44, 82, 84, 91, 93–95) — 10 см.
Таблица К2.1
Исходные данные для задания К2У
|
|
О1А, |
О4B, |
АС, СВ, |
B1В, |
B1С, |
BD, |
CD, |
CО, |
|
№ |
ω, |
О4B1, |
О2С, |
О3B, |
D1D, |
ОВ, |
B1D, |
CD1, |
ОА, |
|
О4С, |
О2B, |
О3B1, |
AB1, |
AB1, |
BD1, |
АD, |
см |
|||
вар. |
1/с |
|||||||||
О1С, |
см |
см |
см |
см |
AB, |
АD1, |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
см |
|
|
|
|
см |
см |
|
|
1 |
1.8 |
10 |
15 |
30 |
30 |
30 |
30 |
45 |
30 |
|
2 |
1,0 |
15 |
20 |
40 |
50 |
30 |
80 |
60 |
30 |
|
3 |
1,2 |
20 |
25 |
50 |
60 |
45 |
60 |
65 |
40 |
|
4 |
1,5 |
25 |
30 |
55 |
30 |
50 |
60 |
80 |
50 |
|
5 |
2,0 |
30 |
25 |
60 |
40 |
55 |
80 |
90 |
50 |
|
6 |
0.8 |
10 |
15 |
30 |
40 |
30 |
40 |
60 |
40 |
|
7 |
1,0 |
15 |
20 |
30 |
50 |
30 |
70 |
50 |
50 |
|
8 |
1,2 |
20 |
20 |
40 |
40 |
50 |
80 |
60 |
45 |
|
9 |
1,5 |
25 |
15 |
50 |
60 |
50 |
90 |
70 |
60 |
|
10 |
2,0 |
30 |
10 |
45 |
30 |
30 |
90 |
95 |
30 |
|
11 |
2.8 |
20 |
10 |
60 |
30 |
40 |
80 |
80 |
30 |
|
12 |
1,0 |
20 |
15 |
30 |
45 |
50 |
65 |
70 |
45 |
|
13 |
2,2 |
15 |
20 |
40 |
50 |
40 |
80 |
60 |
50 |
|
14 |
2,5 |
10 |
25 |
50 |
60 |
40 |
70 |
60 |
30 |
|
15 |
0.8 |
25 |
30 |
60 |
60 |
65 |
90 |
65 |
30 |
|
16 |
1,2 |
20 |
10 |
65 |
30 |
80 |
90 |
80 |
40 |
|
17 |
1,5 |
20 |
15 |
50 |
40 |
70 |
80 |
90 |
50 |
|
18 |
2,0 |
20 |
20 |
35 |
50 |
60 |
65 |
80 |
40 |
|
19 |
0,4 |
15 |
10 |
60 |
60 |
30 |
80 |
90 |
30 |
|
20 |
0,5 |
20 |
10 |
60 |
50 |
40 |
70 |
60 |
50 |
Для каждого варианта используются только те значения длин звеньев, которые указаны на рисунках.
Обозначения узловых соединений и их пространственные изображения показаны в табл. К2.2.
Таблица К2.2
44
Пример
Плоский шарнирно-стержневой механизм (рис. 2.6) приводится в движение вращением кривошипа О1А с постоянной угловой скоростью ω = 1 рад/с.
Для заданного положения механизма определить скорости узловых точек и точки М, а также ускорения двух подвижных узловых точек.
Размеры звеньев: О1А = 16 см, АС = = ВС = ВО2 = 20 см, DC = 30 см, DМ = = 10 см.
Решение
1. Определим число степеней свободы из соотношения:
k = 3n − 2p1 − p2,
Рис. 2.6
где n — число подвижных звеньев; p1, p2 — число кинематических пар, оставляющих одну и две степени свободы.
Для заданного механизма n = 4 (звенья О1А, АВ, О2В, СD); p1 = 5 (шарнирные пары О1, О2, А, В, С), p2 = 1 (кинематическая пара D).
k = 12 − 10 − 1 = 1.
Механизм имеет одну степень свободы.
2. Последовательно, начиная с кривошипа О1А, определим линейные скорости и ускорения узловых точек, а также угловые скорости и ускорения звеньев механизма.
2.1. Кривошип О1А вращается вокруг неподвижной оси О1.
Угловая скорость ω = 1 рад/с, линейная скорость точки А направлена перпендикулярно радиусу О1А (рис. 2.7, а) и по модулю равна:
vА = ωО1А = 16 см/с.
Рис. 2.7
Так как кривошип вращается равномерно, тангенциальное ускорение равно нулю, модуль полного ускорения равен нормальному, а его вектор направлен по радиусу от точки А к центру вращения в точке О1 (рис. 2.8, а, б):
аА = ω2О1А = 16 см/с2.
45
Рис. 2.8
2.2. Звено АВ совершает плоскопараллельное движение. Скорость и ускорение точки А известны, известно также направление скорости точки В, которая принадлежит также звену О2В и вращается вокруг точки О2. Скорость точки В направлена перпендикулярно радиусу О2В и по модулю равна:
vB = vA/cos45° = 22,63 см/с.
Точка скольжения, скорость которой направлена вдоль оси X, проходящей через точки А, В, совпадает с точкой А. Угловая скорость звена АВ согласно (2.8):
ωАВ = vВY /AB;
vВY = VВ sin45° = 16 см/с; ωАВ = 0,4 рад/с,
где vВY — проекция скорости vВ на ось Y, которая перпендикулярна линии АВ.
Проекции скоростей точек А, В, С на ось X, проходящую через эти точки, равны друг другу (см. рис. 2.7, а, б):
vА = vВX = vСX = 16 см/с. Проекции скоростей точек на ось Y:
vАY = 0; vВY = ωАВ АВ; vСY = ωАВАС; vСY = 8 см/с.
Модуль скорости точки С равен геометрической сумме ее проекций на оси X и Y: vС = [vСX2 + vСY2]0,5 = 17,89 см/с.
Полное ускорение точки В равно векторной сумме ускорения точки А и нормального и тангенциального ускорений точки В относительно А (см. ф-лу (2.12)).
Вектор нормального ускорения направлен от точки В к точке А, а его модуль: аВАn = ωАВ2 АВ = 6,4 см/ с2.
2.3. Кривошип О2В вращается вокруг неподвижной оси О2. Угловая скорость кривошипа: ω2 = vB /О2В = 22,63 /20 = 1,13 рад/с.
Нормальное ускорение точки В направлено по радиусу к точке О2 и по модулю равно: аВn = ω22О2В = vB2/О2В = 25,6 см/с2.
Полное ускорение точки В равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений:
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
n + |
|
|
τ . |
|
|
|
(2.15) |
|||||||
a |
B |
a |
a |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||||
Приравняем правые части векторных уравнений (2.12), (2.15): |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n + |
|
|
τ |
= |
|
|
|
+ |
|
n + |
|
τ . |
(2.16) |
||||||||
a |
a |
|
a |
A |
a |
a |
|||||||||||||||||
|
B |
B |
|
|
|
|
|
|
BA |
BA |
|
|
|
||||||||||
Направления и модули нормальных составляющих |
|
Bn |
и |
|
BAn , а также ускорения в точке А из- |
||||||||||||||||||
a |
a |
||||||||||||||||||||||
вестны, известны также линии действия векторов ускорений aBτ и aBAτ (первый перпендикулярен радиусу О2В, а второй — линии АВ).
Проектируем векторное уравнение (2.16) на оси координат X и Y: −аВn cos45° + аВτsin45° = −аВАn;
46
аВn sin45° + аВτ cos45° = аАn + аВАτ. Из первого уравнения найдем аВτ:
аВτ = аВn − аВАn/sin45° = 16,55 см/с2. Из второго уравнения найдем аВАτ:
аВАτ = −аАn + аВn sin45° + аВτ cos45°;
аВАτ = −16 + (25,6 + 16,55)0,707 = 13,8 см/с2.
Ускорение в точке В:
аВ = [(аВn)2 + (аВτ)2]0,5 = 30,48 см/с2. Графическое решение показано на рис. 2.8, б. Угловое ускорение звена АВ:
εАВ = аВАτ/АВ = 13,8 /40 = 0,345 рад/с2. Угловое ускорение кривошипа О2В:
ε2 = аВτ/О2В = 0,8275 рад/с2.
Ускорение точки С определим как векторную сумму ускорения точки А и нормального и танген-
циального ускорений точки С относительно А: |
|
||||||||||||
|
|
= a |
|
+ |
|
n |
+ |
|
τ |
|
. |
(2.17) |
|
a |
A |
a |
a |
|
|||||||||
|
C |
|
|
CA |
|
CA |
|
|
|||||
Проектируя векторное уравнение (2.17) на оси координат X и Y, определим ускорение точки С: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
аС = |
|
a2 |
+ a2 |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
CX |
|
CY |
|
|
|
||||
где аСX = аСАn; аСY = аА + аСАτ.
Модули ускорений:
аСАn = ωАВ2 СА = 3,2 см/ с2; аВАτ = εАВ СА = 6,9 см/ с2;
аСX = 3,2 см/ с2; аСY = 16 + 6,9 = 22,9 см/ с2; аС = 23,15 см/ с2. Графическое решение показано на рис. 2.8, в.
Ускорение точки С можно также определить, рассматривая ее движение относительно точки В. Графическое представление показано на рис. 2.8, г.
2.4. Рассмотрим кинематику звена СD.
Проекция вектора скорости точки С на ось X1 (направления осей X1 и Y совпадают), проходящую через точки С и D:
vСY = vСX1 = 8 см/с.
На основании теоремы о проекциях скоростей (рис. 2.7, в) vСX1 = vDX1; vDX1 = vD sin30°,
тогда
vD = vСX1/sin30° = 16 см/с. Проекции скоростей точек на ось Y1:
vСY1 = vСX = 16 см/с.; vDY1 = vD cos30° = 13,856 см/ с.
Угловая скорость звена СD:
ωСD = [vСY1 − (−vDY1)]/СD = (16 + 13,856)/30 = 0,995 рад/с.
Проекции скорости точки М:
vМX1 = vСX1 = 8 см/с; vМY1 = ωСD NM,
где NM — расстояние от точки М до точки скольжения. Это расстояние найдем из соотношения:
NM = CN −CM; CN = vCY1/ωСD = 16 /0,995 = 16,08 см;
NM = 16,08 −10 = 6,08 см; vМY1 = 0,995·6,077 = 6,05 см/с.
Скорость точки М (рис. 2.7, в)
47
vМ = vMX2 |
+ vMY2 = 10 см/с |
1 |
1 |
и направлена под углом α = arctg (vМY1/vМX1) к оси X1. Ускорение аD направлено вдоль направляющих ползуна D. Проекции ускорения:
аDX1 = аD sin30°; аDY1 = аD cos30°.
Ускорение точки D определим как векторную сумму ускорения точки С и нормального и тангенциального ускорений точки D относительно С (рис. 2.8, д):
aD = aCX1 + aCY1 + aDCn + aDCτ ,
где аСX1 = аСY = 22,9 см/с2; аСY1 = аСX = 3,2 см/с2.
Проектируя векторное уравнение на оси X1 и Y1, определим проекции ускорения точки D:
аDX |
= аСX |
1 |
+ аDСn; |
(2.18) |
1 |
|
|
|
аDY1 = аСY1 + аDСτ.
Нормальное ускорение точки D относительно точки С: аDСn = ωСD2DС = 0,9952·30 = 29,7 см/с2.
Согласно (2.18)
аDX1 = 22,9 + 29,7 = 52,6 см/с2.
Модуль ускорения:
аD = аDX1/sin30° = 105,2 см/с2.
Проекция аD:
аDY1 = аD cos30° = 91,1 см/с2. Тангенциальное ускорение точки D относительно точки С:
аDСτ = аDY1−аСX = 91,1 −3,2 = 87,9 см/с2. Угловое ускорение звена DС:
εDС = аDСτ/DС = 2,93 рад/с2. Ускорение точки М (рис. 2.8, е):
аМСn = ωСD2DМ = 0,9952·10 = 9,9 см/с2; аМСτ = εDСDМ = 29,3 см/с2.
Проекции ускорения точки М:
аМX1 = аСX1 + аМСn = 22,9 + 9,9 = 32,8 см/с2; аМY1 = аСY1 + аМСτ = 3,2 + 29,3 = 32,5 см/с2,
тогда
аМ = 46,17 см/с2.
2.5. Скорости точек твердого тела можно определять как произведение угловой скорости на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей. Положение мгновенного центра скоростей (см. рис. 2.7, а) для звена АВ определяется как точка пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей в этих точках. В прямоугольном треугольнике АРВ угол АВР = 45°, катеты АР =
=АВ = 40 см, гипотенуза РВ = 56,57 см. В треугольнике АРС: АС =
=20 см, СР = 44,72 см.
Угловая скорость звена АВ:
ωАВ = vА/AР = 16/40 = 0,4 рад/с.
Линейные скорости точек В и С направлены перпендикулярно линиям, проведенным из точки Р, а их модули:
vВ = ωАВ ВР = 0,4·56,56854 = 22,6274 см/с; vС = ωАВ СР = 17,9 см/с.
48
Положение мгновенного центра, точки Р1, для звена СD определяется как точка пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей в точках С и D (рис. 2.7, а). В треугольнике СDР1 известны сторона DС = 30 см, угол Р1DС = 30° и угол Р1 СD = arctg0,5. Тогда две другие стороны:
Р1С = 18 см и Р1D = 16,08 см. Угловая скорость звена СD:
ωСD = vС/СР1 = 17,9/18 = 0,994 см/с;
vD = ωСD Р1D = 16 см/ с.
Из прямоугольных треугольников Р1ND, Р1NС
Р1N = 8,04 см; ND = 13,92 см; СN = 16,08 см;
NМ = 16,08 см; Р1М = 10,08 см. Скорость точки М:
VМ = ωСDNМ = 10,3 см/с.
Ответ: vВ = 22,6274 см/с; vС = 17,9 см/с; vD = 16 см/ с; vМ = 10,03 см/с; ωАВ = 0,4 рад/с; εАВ = 0,345 рад/с2;
ωСD = 0,995 см/с; εDС = аDСτ/DС = 2,93 рад/с2;
аА = 16 см/ с2; аВ = 30,48 см/с2; аС = 23,1 см/ с2; аD = 105,2 см/с2; аМ = 46,2 см/с2.
49