ТФКП ЛЕКЦИИ

Рис. 15

есть кусочно гладкий путь, полученный из кусочно гладкого пути γ1 : [α1, β1] → C заменой параметра, т.е.

γ = γ1 ◦ τ,

где τ : [α, β] → [α1, β1] — непрерывно дифференцируемая строго возрастающая функция, осуществляющая гомеоморфизм [α, β] на [α1, β1] (см. рис. 15). Если функция f : γ([α, β]) → C непрерывна вдоль γ, то она непрерывна вдоль γ1 и

Замечание 4.5. Напомним (см. п. 1.4), что кусочно гладкая кривая — это класс эквивалентности кусочно гладких путей относительно замен параметра τ указанного выше вида. Свойство 3◦ позволяет говорить об интеграле вдоль пути как об интеграле вдоль кривой, не уточняя параметризации кривой.

4◦. Зависимость от ориентации. Пусть кусочно гладкий

путь

γ−1 : [α, β] → C

получается из кусочно гладкого пути γ : [α, β] → C сменой ориентации, т.е.

Если функция f : γ([α, β]) → C непрерывна вдоль γ, то она непрерывна вдоль γ−1 и

f dz = − f dz.

5◦. Оценка интеграла. Пусть функция f непрерывна вдоль кусочно гладкого пути γ : [α, β] → C. Тогда справедлива оценка

γγ

есть криволинейный интеграл первого рода от функции |f | вдоль пути γ. В частности, если

Доказательство. Положим J := f (z) dz и запишем J в

γ

полярной форме J = |J|eiθ , θ R. Тогда

β

|J| = e−iθ J = e−iθ f (γ(t))γ˙(t) dt.

α

Взяв вещественную часть, получим

Второе утверждение немедленно вытекает из этой оценки, по-

скольку

β

|γ| = |γ˙(t)| dt.

α

Продолжая это построение, получим на n-м шаге треугольник ∆n со свойством

Треугольники ∆0 ∆1 · · · ∆n · · · образуют вложенную систему компактов в D, и потому их пересечение содержит некоторую точку z0 D.

Воспользуемся теперь условием C-дифференцируемости f в точке z0. Согласно этому условию для всякого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что в окрестности U точки z0 вида

U = Uδ(z0) := {z C : |z − z0| < δ}

функция f представляется в виде

где |α(z)| < ε для всех z U . Пользуясь представлением (4.4), мы можем записать интеграл по границе любого треугольника ∆n с ∆n U в виде

f dz = f (z0) dz + f (z0)(z − z0) dz

∂∆n ∂∆n ∂∆n

+α(z)(z − z0) dz.

∂∆n

Первые два интеграла в правой части равны нулю — это частные случаи интеграла, вычисленного в примере 4.2 из п. 4.1, отвечающие n = 0 и n = 1. Третий интеграл в силу свойства 5◦ из п. 4.2 допускает оценку

стве мы воспользовались тем, что |z − z0| < |∂∆n| при z ∂∆n.) Итак,

∂∆n

Применяя формулу Ньютона–Лейбница по x и по y и пользуясь связностью D, заключаем, что

Φ(z) ≡ const в D.

Переходя к вопросу о существовании первообразной, рассмотрим сначала случай круга. Оказывается, достаточным условием существования первообразной в круге является именно то свойство голоморфных функций, выполнение которого гарантируется леммой Гурса. Приводимое ниже доказательство этого утверждения по существу копирует доказательство формулы Ньютона– Лейбница для функций f : R → R.

Предложение 4.2. Пусть U := {z C : |z−a| < r}, функция f : U → C непрерывна в U и

f dz = 0 для любого треугольника ∆ U.

∂∆

Тогда функция

z

F (z) = f (ζ) dζ, z U,

a

(где интеграл берется по отрезку, соединяющему центр круга a с точкой z) является первообразной функции f в круге U .

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z U и выберем число δ > 0 так, чтобы круг {z + h : h C, |h| < δ} компактно содержался в исходном круге U (см. рис. 17). Применяя лемму Гурса к функции f и треугольнику с вершинами в точках a, z и z + h, |h| < δ, получим

z+h

z

определенная всюду в D) первообразная функции f ? Как мы увидим ниже (см. замечание 4.9), ответ на этот вопрос отрицательный — иными словами, в формулировке упомянутого следствия круг U нельзя заменить на произвольную область D C. Оказывается, существуют топологические препятствия к тому, чтобы локальные первообразные функции f “склеивались” в глобальную первообразную этой функции. Тем не менее, пользуясь локальными первообразными, можно “склеить” из них первообразную f вдоль любого пути γ : I → D. Приведем точное определение.

Определение. Пусть γ : I → D — произвольный путь в области D и f : D → C — произвольная функция в этой области. Функция Φ : I → C называется первообразной функции f вдоль пути γ, если:

(1)Φ непрерывна на I;

(2)для любого t0 I можно указать круг U D с центром в точке z0 = γ(t0) и первообразную FU функции f в этом круге так, что

Φ(t) = FU (γ(t))

для всех t из некоторого открытого интервала u = u(t0) I, содержащего t0 (см. рис. 18).

Рис. 18

Замечание 4.6. Подчеркнем, что Φ является функцией от t, а не от точки z = γ(t). В частности, если круги U и U , отвечающие точкам z = γ(t ) и z = γ(t ), пересекаются (см. рис. 19), то