Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dz_2sem_2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

445.6 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

1й курс. 2й семестр.

Задачи домашнего задания по курсу физики.

Раздел «Механика»

Электронный вариант на сайте кафедры fn.bmstu.ru

Предисловие

Домашнее задание и методические указания к нему посвящены изучению основных разделов механики, усвоение которых абсолютно необходимо для изучения всех остальных разделов курса общей физики. Выполнение задания должно способствовать выработке у студентов устойчивых навыков в решении многоходовых физических задач и более глубокому усвоению и пониманию основных физических законов.

Задачи необходимо решать в общем аналитическом виде, используя общеизвестные стандартные математические преобразования. В результате таких действий студент получает соответствующую формулу для искомой физической величины, а затем подставляет численные значения исходных величин и получает итоговый численный результат. Например, круговая частота собственных незатухающих колебаний пружинного маятника рассчитывается по фор-

муле ω = km , где k = 10 Н/м, m = 0,1 кг, тогда ω = 100,1 1/с.

Требования к оформлению домашнего задания

Решение каждой задачи выполняется на отдельных листах. На лицевой стороне первого листа должно быть написано:

Домашнее задание по курсу общей физики

1-й курс (2 –й семестр)

Группа ………………………..Фамилия, инициалы ……………………………………

Вариант № ……………………Задача № ……………………………………………….

На первой странице следует написать условия задачи с исходными данными соответствующего варианта, изобразить заданный рисунок исходной задачи. Далее излагается решение задачи. Все вводимые студентом новые параметры и обозначения физических и геометрических величин обязательно следует сопровождать соответствующими пояснениями. При решении задачи необходимо ссылаться на используемые физические законы. Например: «…согласно закону сохранения импульса имеем …», или «… в соответствии с законом сохранения энергии сле-

дует написать …». Уравнения, математические выражения и формулы нужно выделять отдельной строкой и обязательно нумеровать. Это позволяет при преобразованиях делать ссылку на эти номера. Например: «… подставим зависимость (4) в уравнение (7) …». Такое изложение хода решения задачи позволяет преподавателю проверить правильность предлагаемого решения и указать на конкретную ошибку, если она имеется. Целесообразно решение задачи сопровождать пояснительными рисунками, которые показывали бы исследуемую систему в ее движении, развитии.

Домашнее задание состоит из четырех задач.

Первая задача посвящена динамике материальной точки, решается с использованием закона сохранения импульса (ЗСИ) и закона сохранения энергии (ЗСЭ) и имеет три типа различных независимых условий.

Вторая задача относится к динамике вращательного движения твердого тела, решается с использованием закона сохранения момента импульса (ЗСМИ) и ЗСЭ и имеет четыре типа различных независимых условий.

Третья задача посвящена колебаниям, решается с применением уравнений динамики или закона сохранения механической энергии и имеет пять типов различных независимых условий.

Четвертая задача относится к волновым процессам, решается методом суперпозиции (наложения) волн и имеет четыре типа различных независимых условий.

Исходные данные каждого конкретного варианта домашнего задания сведены в соответствующие таблицы. При этом в таблицах крестиками отмечены предполагаемый характер взаимодействия частей рассматриваемой механической системы, а также те физические величины, значения которых требуется определить при решении задач.

Динамика материальной точки

	Задача 1-1 для вариантов с 1 по 10
	Две гладкие частицы сферической формы с массами m1 и m2, движущиеся со скоростями

V10	и V20 , сталкиваются под углом β, как указано на рис.1.		Расстояние до места встречи и ско-
рости частиц соответствуют условиям соударения (отсутствию промаха).

	V20
	α	β
	α		V10
	O1
	ϕ
	m1
		O2
		m2
	Рис. 1
На рис.1:

β - угол встречи, т.е. угол, образованный векторами V10 и V20 ;
α = (π - β) - дополнительный угол;

ϕ - угол между линией удара O1O2 и вектором V10 .
	Другие обозначения:

V1	и V2 - скорости соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

U - совместная скорость частиц после абсолютно неупругого удара.

θ - угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами V10					и V1	или V10 и

U .

γ - угол разлета частиц после удара, т.е. угол, образованный векторами V1				и V2 .
p	и p - импульсы соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.
1	1

E1, E2 - кинетические энергии соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E - изменение кинетической энергии механической системы, состоящей из двух частиц за время удара.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ); б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Общие исходные данные: m* = 10−3 кг, V* = 10 м/с, α* = π/2.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 1

Таблица №1

№ вар						Исходные данные к задаче 1-1
№ вар
		m1		m2		V10			V20			α			ϕ		θ

1		2m*		m*		V*			0		-			1/3α*			-

2		m*		1/2m*		2V*			0		-			2/3α*			-

3		3m*		2m*		1/2V*			0		-			1/2α*			-

4		3/2m*		1/2m*		3V*			0		-			2/3α*			-

5		2m*		m*		V*			2V*			2/3α*		-			-

6		3m*		2m*		2V*			V*			1/2α*		-			-

7		m*		2m*		V*			0		-			1/3α*		1/4α*

8		2m*		3m*		2V*			0		-			1/2α*		1/3α*

9		m*		m*		V*			V*			1/2α*		1/2α*			-

10		2m*		2m*		2V*			2V*			2/3α*		2/3α*			-

												Таблица №1 (продолжение)

№	Вид взаимодействия									Определить
вар
вар	АУУ	НУУ	АНУУ		V1	V2	γ	E1		E2		θ	p1		p2	E	U

1	+	-	-		+	+	+	-		-		-	-		-	-	-

2	+	-	-		-	-	-	+		+		+	-		-	-	-

3	+	-	-		-	-	+	-		-		-	+		+	-	-

4	+	-	-		+	+	-	-		-		+	-		-	-	-

5	-	-	+		-	-	-	-		-		+	-		-	+	+

6	-	-	+		-	-	-	-		-		+	-		-	+	+

7	-	+	-		+	+	-	-		-		-	-		-	+	-

8	-	+	-		-	-	-	-		-		-	+		+	+	-

№	Вид взаимодействия							Определить
вар
вар	АУУ	НУУ	АНУУ	V1	V2	γ	E1	E2	θ	p1	p2	E	U

9	+	-	-	+	+	+	-	-	-	-	-	-	-

10	+	-	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	-

Основные зависимости в задаче 1-1

Во всех процессах, связанных с ударным взаимодействием частиц, следует считать время удара пренебрежимо малой величиной, т.е. за время удара координаты местоположения и ориентация частиц практически не изменяются.

При соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и энергии. ЗСИ и ЗСЭ для данной задачи в общем случае имеют вид

при

АУУ

и НУУ

m V

+ m V

m V

+ m V

1 10

2 2

1 10

(m1 + m2 )U

при

АНУУ

m1V1

m2V2

при

АУУ

m V

m V 2

m V

1 10

2 20

2 2

при

НУУ

(m + m ) U

при

АНУУ

Образец оформления решения задачи 1-1.

Два одинаковых, абсолютно гладких шара движутся навстречу друг другу со скоростями

V10=4 V и V20=V. При этом векторы скоростей направлены по касательным к поверхностям про-

тивоположных шаров (см. рис.2). Определить под каким углом δ к первоначальному направлению движения будет двигаться правый шар после соударения если удар шаров является абсолютно упругим.

Дано	m1	V10
V10=4 V
V20=V
m1=m2=m		m2
m1=m2=m		V20
		V20
__________
δ=?		Рис.2
		Рис.2

Решение На рис.3 приведена векторная диаграмма соударения шаров, а на рис.4 изображено рас-

положение шаров в момент удара.

F t	mV1	Y
	mV1

ϕ	ε	P=const	mV10
			mV10

mV20
		ϕ
		δ
		γ
			F′ t
			X
			mV2
		Рис. 3

	В	mV10
	В
О1	.
О1	ϕ
	К ϕ
mV20	О2

F′

Рис.4

При упругом ударе шаров выполняется закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ)

m V 2		m V 2		m V	2		m V 2
10	+	20	=	1		+	2	,	(1.1)
2		2		2			2

где V10=4 V – начальная скорость 1-го шара, V20=V – начальная скорость 2-го шара, V1 – конечная скорость 1-го шара (скорость 1-го шара после удара),

V2 - конечная скорость 2-го шара (скорость 2-го шара после удара). Сокращая (1.1) на m/2 , приходим к более простому выражению

V 2	+ V 2	= V 2	+ V 2	(1.2)
10	20	1	2

Законы изменения импульсов для 1-го и 2-го шаров имеют вид:

m V1 − m V10

= F

t ,

(1.3)

m V2 − m V20

= F ′

t ,

(1.4)

где t – интервал времени взаимодействия шаров при ударе,

– сила, с которой 1-

F – сила, с которой 2-ой шар действовал на 1-ый шар во время удара, F ′

ый шар при ударе действовал на 2-ой шар. Векторы

F ′ лежат на линии удара (линия, про-

ходящая через центры масс шаров и точку контакта К).

Согласно третьему закону Ньютона

F = −F ′ ,

F ′

= F

(1.5)

Складывая (1.3) и (1.4) приходим к следующему выражению:

m V1 − m V10 + m V2 − m V20 = (F + F ′) t

которое с учётом (1.5) преобразуется в закон сохранения импульса (ЗСИ)

P = m V10 + m V20

= m V1 + m V2 = const

(1.6)

сокращая (1.6) на m, получаем

V10 + V20 = V1 + V2 .

(1.7)

Проецируем (1.7) на ось Х, совпадающей с линией удара (рис. 3),

V10 X + V20 X

= V1X + V2 X

(1.8)

Проецируем (1.3) и (1.4) на ось Y, расположенную перпендикулярно линии удара, и, сокращая

полученные выражения на массу m, приходим к равенствам:

V1Y

= V10Y

(1.9)

V2Y = V20Y

(1.10)

Преобразуем (1.8)

V10 X −V1X

= V2 X −V20 X

(1.11)

и возведём (1.11) в квадрат: (V

−V

= (V

− V

)2 , или

10 X

2 X

20 X

V 2

− 2 V

+ V

= V 2

− 2 V

+ V 2

(1.12)

10 X

2 X

20 X

Далее запишем (1.2) через проекции: V 2

+ V 2

+ V

= V 2 + V 2

+ V 2

+ V 2 .

10 X

10Y

20 X

20Y

2 X

Согласно (1.9) и (1.10), это выражение упростится: V

+ V

= V 2

+ V 2 , или

10 X

20 X

2 X

−V 2

= V 2

−V 2

(1.13)

10 X

2 X

20 X

Вычтем (1.13) из (1.12): −2 V

+ 2 V

= −2 V

+ 2 V 2

, или

10 X

2 X

20 X

V1X (V1X −V10 X ) V1X = V20 X (V20 X − V2 X ) .

(1.14)

Но согласно (1.11) выражения, стоящие в скобках в левой и правой частях этого уравнения, равные. Следовательно:

V1X = V20 X .		(1.15)
Подставляя (1.15) в (1.11), приходим к другому равенству
V10 X = V2 X .		(1.16)
Если умножить (1.15) и (1.16) на m, то получим равенство проекций импульсов:
m V1X	= m V20 X ,	(1.17)
m V10 X	= m V2 X .	(1.18)

Выражения (1.17) и (1.18) можно интерпретировать, как взаимный обмен импульсами шаров при ударе вдоль оси X (вдоль линии удара).

Угол ϕ между линией удара О1КО2 и вектором V10 , определяем из геометрических по-

строений (см. рис. 4). Так как О1О2=2 R (здесь R – радиус шара), а О2В=R, то ϕ=30о. Согласно (1.9), (1.10) и рис.3 получаем:

					V1 sin ε = V10 sin ϕ ,								(1.19)
					V2 sin γ = V20 sin ϕ .								(1.20)
А согласно (1.15), (1.16) и рис.3 находим:
					V1 cos ε = V20 cos ϕ ,								(1.21)
					V2 cos γ = V10 cos ϕ .								(1.22)

Формулы(1.19)÷(1.22) с учётом того, что sin ϕ = sin 30o =										1	, cos ϕ = cos 30o =		3	,
Формулы(1.19)÷(1.22) с учётом того, что sin ϕ = sin 30o =											, cos ϕ = cos 30o =			,
								2					2
а V10=4 V, V20=V примут вид:
					V1 sin ε = 2 V ,								(1.23)
					V sin γ =	1	V .						(1.24)
					V sin γ =		V .						(1.24)
			2			2
						2

					V cos ε =	3			V ,				(1.25)
					V cos ε =				V ,				(1.25)
			1			2
						2

					V2 cos γ = 2				3 V .				(1.26)
Итак, имеем 4 уравнения (1.23)÷(1.26) и 4 неизвестные величины: скорости V1, V2 и углы ε, γ.
Разделим (1.24) на (1.26): tg γ =	1				≈ 0,144 , отсюда γ = arctg (0,144)							γ = 8о.



4			3
Согласно рис.3: δ = 180о - ϕ - γ, или δ = 180о – 30о – 8о = 142о. Итак δ = 142о.

Разделим (1.25) на (1.23) ctgε =		3		≈ 0,433 , отсюда ε = arctg (0,443)								ε = 66о36′.
Разделим (1.25) на (1.23) ctgε =				≈ 0,433 , отсюда ε = arctg (0,443)								ε = 66о36′.
4

Из (1.23) находим: V =

2 V

≈

2 V

≈ 2,2 V .

sin (66o36′)

0,91

Проверка из (1.25): V1 =

≈

≈ 2,2

2 cos (66o36′)

0,4

Из (1.24): V2 =

≈

≈ 3,5 V .

2 sin γ

2 sin 8o

2 0,143

Проверка из (1.26): V =

2 3

V =

V ≈

2 3

cos 8o

cos γ

0,99

V .

≈ 3,5 V .

Задача 1-2 для вариантов с 11 по 20

Гладкая частица сферической формы массой m, которую можно рассматривать как мате-

риальную точку, ударяется со скоростью V0 о гладкую массивную преграду, которая движется


со скоростью U	= const . Угол, образованный векторами V0	и U , равен β. Массу преграды счи-

тать бесконечной. На рис. 5, 6 преграда имеет форму плоской стенки, на рис.7 – форму острого конуса с углом раствора γ, а на рис. 8 – форму конуса сферической головной частью радиусом R. Удар частицы о сферическую поверхность происходит в точке А, расположенной под углом γ относительно оси преграды. При этом АО = R.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ); б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ). Обозначения:


VK - конечная скорость частицы после удара;
αK - угол, образованный векторами
αK - угол, образованный векторами	V	и U ;

V - изменение вектора скорости частицы за время удара; p - изменение модуля импульса частицы за время удара;

E - изменение кинетической энергии частицы за время удара;

	10
m	m
	m
V0	V0
	V0
	U
U	β
	β
Рис.5	Рис.6

	m	V	m	V0
		0	m		A
					A
		γ			γ	O
		γ			γ
		U			U	R
		U
		Рис.7			Рис.8
F - модуль средней силы, с которой частица действует на стенку во время удара;
F	t - модуль импульса силы, который за время удара t частица передаёт стенке;
E	=	ηmV 2
E	=	0 - энергия деформирования частицы при ударе, выраженная через её начальную ки-
Д		2
		2

нетическую энергию, где η - безразмерный коэффициент.

Общие исходные данные: m* = 10-3 кг, V* = 6 м/с, U* =2 м/с, β* = 180°, η* = 0,5, t*=10-5 с.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 2

Основные зависимости в задаче 1.

При решении этой задачи целесообразно использовать кинематическое соотношение

							V = U + V ′ ,	(1.27)

где V - абсолютная скорость частицы, V ′ - скорость частицы относительно стенки.
Тогда закон сохранения энергии примет вид:
			mV			′ 2
					K		при АУУ;
				2			при АУУ;
				2
	mV ′ 2	=	mV			′ 2
	0	=			K		+ EД при НУУ;
	0				K
2				2
			E	Д	при АНУУ;
				Д

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2015629.73 Кб9DZ2_LSK_14.pdf
#
09.02.2015124.93 Кб62dz3 m3.doc
#
09.02.2015335.9 Кб29DZ3-TD.pdf
#
07.09.2019198.66 Кб7dz3_061.doc
#
24.05.2015251.02 Кб44DZ_23-Variant.docx
#
10.02.2015445.6 Кб90dz_2sem_2012.pdf
#
21.08.20191.92 Mб2DZ_2_Tsepi_peremennogo_toka.doc
#
19.12.2018882.18 Кб5dz_kontrol_kach03.doc
#
10.02.20154.94 Mб53DZ_Nikolaicha.pdf
#
18.08.2019477.7 Кб2DZ_No1_post_tok_chast_2_MU.doc
#
08.09.2019781.31 Кб3DZ_No2_LU_2_MU.doc