3 . Уравнение прямой в отрезках:
,
(3)
где
и
—
длины отрезков (с учётом знаков),
отсекаемых прямой на осях
и
соответственно.
Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор, параллельный этой прямой.
4
.
Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
с заданным направляющим
вектором
(каноническое уравнение прямой на
плоскости):
,
(4)
где
—
направляющий вектор прямой,
—
координаты данной точки.
5 . Параметрические уравнения прямой:
(5)
где — направляющий вектор прямой, — координаты точки, принадлежащей данной прямой.
6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
,
(6)
где — угловой коэффициент прямой, — координаты данной точки.
7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
,
(7)
г
де
—
угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс
угла
,
который прямая образует с положительным
направлением оси
),
—
ордината точки пересечения прямой с
осью
.
8.
Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
и
,
где
имеет вид:
.
(8)
В
случае
уравнение прямой примет вид
.
В случае
уравнение прямой:
.
Пример 4.2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
а)
,
;
б)
,
.
а
)
Используем уравнение (8). Полагая в нём
,
,
,
,
получим
|
0 |
-3 |
|
2 |
7 |
.
Построим эту прямую. Составим таблицу:
Ответ:
—
уравнение прямой.
б
)
Решаем аналогично:
.
Так как
,
то
есть уравнение прямой (см.п.8 параграфа).
Для наглядности построим точки и прямую
в системе
.
О
твет:
—
уравнение прямой.
П
ример
4.3.
Напишите
уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно прямой
.
Из
уравнения прямой
выпишем координаты нормального вектора:
.
Так как
прямые параллельны, то в качестве
нормального вектора для искомой прямой
примем этот же вектор.
Имеем,
.
Воспользуемся формулой
(1):
— уравнение
искомой прямой.
О
твет:
—
уравнение искомой прямой.
§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Под углом между прямыми на плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
Е
сли
прямые
и
заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами
и
,
то
угол
между ними
вычисляется с помощью формулы
(8)
условие параллельности прямых и имеет вид
(9)
условие перпендикулярности прямых и имеет вид
(10)
Е
сли
прямые
и
заданы общими уравнениями
и
,
то
угол между ними вычисляется с помощью формулы
,
(11)
где
и
—
нормальные векторы прямых
и
.
условие параллельности прямых и имеет вид
(12)
Это условие вытекает из того, что если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны, а это значит, что их соответствующие координаты пропорциональны.
условие перпендикулярности прямых и имеет вид
(13)
Это условие вытекает из того, что если прямые и перпендикулярны, то и их нормальные векторы и тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Пример4.4. Вычислите угол между прямыми
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
а
)
Воспользуемся формулой (8). Подставляя
в неё значения
и
,
находим
.
Ответ:
.
б)
Подставим значения
,
,
,
в формулу (11):
.
Ответ: .
в)
Здесь
,
найдём
.
.
Тогда
.
Так
как
,
то данные прямые перпендикулярны. (По
формуле (8) получаем:
).
О
твет:
.
Р
асстоянием
от точки
до прямой
называется длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на прямую и
вычисляется по
формуле:
(14)
Пример
4.5. Найдите
расстояние от точки
до прямой
.
П одставляя в формулу (14) данные задачи, получим
.
Ответ:
лин. ед.
