MA_lim_2

11

Пример

. lim

√

1

1

lim

√

1

1 √

1

1

2

2

√

1

1

lim

lim

2

2

1

2

√

1

1

√

1

1

2

√1

1~

2

при

0

вычислении пределов. Все они выполняются только при

.

~

~

·

~

~

~

~

·

~

~

~

: √

~

вчастности~

,

0

Пример 11.

1

arcsin

при

1

~

1 ,

т

к

.

lim

arcsin

.

5

4

x

1

1 0

1

lim

1

lim

1

1

4

4

3

12

Пример 12.

lim

4

2

4

lim

2

limsin3

sin3 ~3 ,

2

x

0 lim

1

при

3 3

2

√2

Имеем неопределенность вида

∞

sin

1∞

,

т

к

lim

. limsin

1,

lim

1

sin4

.

Замена

:

sin4

lim

4

4

при

4,

2

4

.

sin

0

sin4

Используем

ой зам

предел

lim

1

sin

4

1

lim

1

sin

4

sin4

sin4

sin4

2cos

2

8 ·sin

2

·

·

·

lim

1

·

·

sin4

·

Пример 14.

·

·

1

lim

ln 1 sin

ln 1

sin

~sin ~

,

0

lim

sin4

sin4

~4

,

0

4

4

13

Особенности при вычислении пределов

Пример 15.

lim

tg

1

sin

1 sin

sin cos

sin

1 cos

lim

sin

sin

lim

lim

cos

cos

cos

sin

1

cos

1

sin

1

1

1

lim

·

·

cos

lim

·

2

·

cos

1·

2

·1

2

Например,

если

в данном

примере

сразу

воспользоваться

и

на

~

и

~

при

0

и заменить функции

эквивалентностями

tg

sin

эквивалентную им при

0

функцию

, то в числителе

Пример 16.

lim

ln 1

ln 1

lim

ln 1

1

lim

ln 1

x

ln 1 x

ln 1

x ~

,при

0

lim

1

14

Пример 17.

lim

lncosx

ln 1

sinx

ln 1

sinx ~sinx ~x ,

0

,

0

lncosx ln 1

1 cosx ~ 1 cos

~

2

1

lim

2

2

Главная часть функции

Определение 4. Если функция

представима в виде

, то функция

называется главной частью функции

при

.

Рассмотрим сумму

бесконечно малых функций

, определенных в

окрестности точки

:

0,

1,

, и lim

б.м.ф. Пусть при этом выполняется условие:

при

, т.е.

. В

2,

) имеет больший порядок,

2,

(где

малости по сравнению с

свою очередь

имеет наименьший

~

,если

,

2, при

а

Главной

частью

суммы б.м.ф.

8

+7

3

при

0

, является

функция)

3

, т.к.

8

7

8

7

3

lim

3

lim

3

3

1

1

б

Главная

часть

суммы

б.м.ф. 8

7

sin

при

0 не

функция

sin

, предел которой при

0 не существует.

только

у

алгебраической

суммы конечного числа б.м.ф., но

и у

произвольной б.м.ф. при

.

Согласно

Определению

4

и Теореме 4, любая функция

,

эквивалентная данной

является ее главной частью. Однако,

если

задаваться определенным видом,

этой главной части, то главную часть

можно определить однозначно. Обычно главную часть б.м.ф. (при

)

ищут в виде

·

.

Вид главной части

Выделение

главной

части

б.м.ф.

0

·

Если lim

,где

0

·

0

·

Если

lim

~

·

,

где

0

0

·

Если

lim∞

~

·

,

где

0

1

1

∞

·

1

·

~

·

17

Пример 19.

2

Выделить главную часть б.м.ф.

1

,

0

lim

lim

1

2

2

lim

1

2

·

при

1

lim

1

2

при

1,С

2

~ , при

Пример 20.

4

4,

2

Выделить главную часть б.м.ф.

В этом случае ищем главную часть в виде

·

. Найдем числа

lim

4

4

lim

2

при

2

1

lim

2

2

2

, при

при

2,С

1

1

~

1

Пример 21.

Выделить главную часть б.м.ф.

·sin

,

∞

При

∞ главную часть ищем в виде

·

. Найдем числа

и :

18

1

·sin1

sin

1

~

1

,т.к.

1

· 1

∞

∞

∞

lim 1

lim

1

при

∞,

1

0

lim

1

1

при 3,С 1

·

~

, при

∞

Определение 5. Функция

называется бесконечно большой при

, если

lim

∞

числа

0

существует число

0

такое,

что для всех ,

удовлетворяющих

неравенству

0 |

|

, выполняется

неравенство |

|

.

В логической символике:

0,

:0 |

|

lim

∞

0

19

Сравнение бесконечно больших функций

Пусть

и

есть две б.б.ф. при одном и том же стремлении

аргумента

, т.е.

∞ и lim

lim

∞

. Если lim

0,

то

называется бесконечно большой

более низкого порядка роста,

чем

при

, т.е.

,

.

. Если lim

∞,

то

называется бесконечно большой более высокого порядка роста,

чем

при

, т.е.

,

.

. Если lim

,где

0

,

то

и

называются бесконечно большими одного порядка роста

при

, т.е.

1,

или

,

.

. Если lim

то бесконечно большие

и

называются эквивалентными при

, т.е.

~

,

.

. Если lim

не существует,

то

и

называются несравнимыми бесконечно большими.

Например,

функции

sin

и

при

∞ являются

эквивалентными б.б.ф., т.к.

∞

sin

1

∞

·

1

∞

lim

lim

lim

1;

а

∞

2 cos

и

-

несравнимые

б.б.ф. при

функции

т к

,∞

2

cos

∞

2

cos

не существует

.

. . lim

lim

Определение

6.

Бесконечно

большая функция

называется

бесконечно большой

го

порядка относительно бесконечно большой

при

, если существует число

0 такое, что:

lim

,где

0

.

,

.

При этом используется следующая запись:

Пример 22.

Найти порядок роста б.б.ф.

относительно

при

∞ , если

3

5

2

,

∞

∞

5

lim

lim

2

lim

3

3

5

2

при

∞

5

∞

5

2

∞

5

lim

3

2

lim

3

1

2

3

0