студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

202 Электрическое поле в вакууме [ Гл. 1

Дополним выражение (1.10) понятием пространственной плотно-

Поскольку поверхность интегрирования (или заключенный в ней объем) выбраны произвольно, из (1.10), (1.13) следует равенство подынтегральных выражений:

Математически уравнение (1.14) эквивалентно (1.10); использование теоремы Гаусса в локальной или интегральной форме зависит от характера задачи.

1.4. Потенциал. Понятие электрической емкости

Чтобы ввести корректно понятие электрического потенциала, мы должны прежде освоить логический прием, связанный с использованием пробного заряда. Предположим, что нам дана некоторая система точечных зарядов /1, /2, , / , расположенных соответственно в точках 1, 2, , . В качестве мысленного эксперимента будем перемещать в поле этих зарядов некий точечный заряд /, малый настолько, что с заранее заданной точностью можно будет пренебречь вызванным им механическим возмущением нашей зарядовой системы. (Иногда говорят об относительной малости его поля. Это некорректное условие, потому что на достаточно малом от заряда расстоянии, в силу закона Кулона, поле его будет как угодно велико, однако на его движении это никак не скажется). Вычислим работу по перемещению пробного заряда из некоторой точки 1 в некоторую точку 2 в предположении, что ни одна точка траектории не совпадет с точками

Мы воспользовались принципом суперпозиции полей. А те-

законом Кулона в форме (1.3), откуда следует

т. е. из принципа суперпозиции полей следует аддитивность потенциалов.

Величина / имеет смысл потенциальной энергии. Как мы уже знаем из раздела «Механика», потенциальная энергия определена с точностью до произвольной аддитивной константы; точно так же определен и потенциал . Физический смысл имеет только разность потенциалов 2 1 , но в принципе, исключительно из соображений удобства, можно доопределить потенциал так, чтобы, скажем, он был равен нулю на бесконечности, как это фактически сделано в формуле (1.16). Тогда для данной точки он будет равен отношению работы по перемещению пробного заряда из этой точки на бесконечность к величине этого заряда.

Иногда, в модельных задачах, такое определение оказывается не вполне удобным. Рассмотрим еще раз примеры, представленные на рис. 1.2. Процедура интегрирования, аналогичная той, что привела нас к определению (1.16), дает:

— для одномерного случая (заряженная плоскость)

Появление в последнем случае размерной функции под знаком логарифма нас смущать не должно, так как разность потенциалов оказывается при этом правильной размерности:2 1 2 1 Можно учесть упомянутую выше произвольную константу в виде 0 Общее свойство обоих результатов состоит в том, что потенциал даже в принципе не может быть задан равным нулю на бесконечности. Но дело в том, что одно- и двумерные системы всегда представляют собой некоторую идеализацию, приближение. Удалившись от них на

достаточное расстояние, мы вернемся к существенно трехмерной картине и, соответственно, к общим формулам (1.16), (1.17).

Единица измерения потенциала или разности потенциалов, которая называется напряжением, — 1 вольт (по имени итальянского физика А. Вольта (1745–1827)): 1 В = 1 Дж/1 Кл.

В задачах электростатики мы имеем дело исключительно с покоящимися зарядами, находящимися в равновесии. Из курса механики нам известно, что такое состояние обусловлено либо минимумом потенциальной энергии, либо условием , . Представим себе проводник в электрическом поле. Поскольку заряды по нему могут течь свободно (это и есть главное свойство

проводящего тела), а должны находиться в равновесии, статическая ситуация отвечает условию , т. е. проводник должен быть эквипотенциален. Это позволяет ввести специфичное

для проводников понятие емкости.

Представим себе уединенный полый металлический шар, обстреливаемый пучком заряженных частиц. Если энергия частиц , то они могут преодолеть разность потенциалов, не превышающую D, а значит, оседать на шаре частицы будут лишь до тех пор, пока на нем не соберется заряд C 4$<0D, где— радиус шара. Зависимость C дает основание говорить о радиусе как мере электрической емкости шара. То же примерно можно сказать и об уединенном проводящем теле произвольной геометрии: величина % C есть инвариант относи-

тельно величины заряда либо потенциала и характеризует тело как таковое. Ее называют емкостью. Проводником тело должно

быть для того, чтобы мы вообще могли приписать ему определенный потенциал и пренебречь перепадом потенциала от точки к точке. Единица емкости называется фарадой; 1 Ф = 1 Кл/1 В. Такой емкостью обладает, например, проводящий шар радиуса 9 106 км. Для практических нужд используются микрофарады (10 6 Ф) и пикофарады (10 12 Ф.)

Можно ввести в рассмотрение и взаимную емкость двух проводников (такую систему обычно называют конденсатором, а проводники — его обкладками). Она измеряется в тех же единицах, а определяется следующим образом: если система в целом нейтральна, а заряды обкладок равны C, и при этом потенциалы обкладок равны 1 и 2, то емкость конденсатора

%12 9

1 2

В отличие от емкости уединенного проводника, это величина не универсальная, она, вообще говоря, зависит от формы, расположения и зарядов всех окружающих тел. Но в двух случаях эта характеристика однозначна: а) один проводник заключен внутри другого, и задача обладает достаточно высокой симметрией;

б) размеры обкладок велики в сравнении с расстоянием между ними и малы в сравнении с расстояниями до всех прочих тел.

П р и м е р 1 . Сферический конденсатор с радиусами обкладок 1 и 2 Из теоремы Гаусса и симметрии задачи следует, что поле внутри меньшего шара и вне большего равно нулю, а в зазоре эквивалентно полю точечного заряда C; таким образом,

откуда следует

% 400 1 2

1 2

П р и м е р 2 . Плоский конденсатор, площадь обкладок 9, зазор Этот пример по существу уже рассмотрен (см. рис. 1.2 а):

- ; C ;9,

00

откуда % <09 . (Следует иметь в виду, что поля двух заряженных плоскостей дадут в сумме нуль вне конденсатора и удвоят перепад потенциала, в сравнении с одной заряженной плоскостью, внутри него.)

1.5. Уравнения Лапласа и Пуассона

Из определений (1.15)–(1.17) следует, что при малом перемещении точки наблюдения в пространстве , т. е. электрическое поле можно трактовать как вектор, ориентированный в направлении наиболее быстрого спада потенциала и равный

. . в этом направлении. Для такой связи между векторной и скалярной функцией существует специальная операция — градиент (мы уже ввели это понятие в гл. 5 раздела «Механика»). Градиент есть результат прямого применения уже известного нам векторного оператора «набла» к скалярной функции:

Вектор показывает направление максимального роста скалярной функции. Электрическое поле направлено в обратную сторону:

Подставим (1.18) в дифференциальную форму теоремы Гаусса (1.14). Любопытно отметить, что с операторами векторного дифференцирования при этом можно обходиться, как с обычными векторами:

Оператор 2 называется оператором Лапласа (по имени французского астронома, физика и математика Пьера С. Лапласа (1749–1827)). Итак, мы видим, что уравнение (1.14) может быть представлено в скалярном виде, правда, порядок его при этом повышается до второго:

Оно называется уравнением Пуассона. В принципе, его можно точно решить при любом заданном распределении 3 Если же мы ищем поле в свободном пространстве, то его следует

Это уравнение Лапласа, относящееся к числу основных уравне-

ний математической физики. Конечно, помимо самих уравнений, принципиально важны также и граничные условия — зачастую в них-то и заключена физическая постановка задачи.

Наиболее очевидным оказывается граничное условие на поверхности проводника. В статической задаче ток в проводнике течь не может, значит весь проводник должен находиться при одном и том же потенциале. То же можно сказать и о его поверхности — на ней Такие поверхности в общей картине поля называются эквипотенциальными. Градиент потенциала, как направление самого быстрого изменения функции, должен быть к ним ортогонален. Следовательно, электрическое поле в статической задаче должно быть перпендикулярно к поверхности проводника, а внутри него — равно нулю. Действительно,

0 Легко сообразить, что, нарушив любое из этих условий, мы тем самым спровоцировали бы ток в проводнике.

Выведем в рамках электростатики граничное условие на произвольной границе раздела (пока это будет относиться исключительно к полю в вакууме). Из механики нам известно, что в случае консервативных сил, когда можно ввести потенциальную энергию, работа по перемещению тела по любому замкнутому

контуру равна нулю. Мы, по существу, до-

S

Пусть дана некоторая поверхность 9, Рис. 1.3 разграничивающая области пространства А и Б (рис. 1.3). Построим контур +, как это показано на ри-

сунке, а затем начнем стягивать с двух сторон, устремляя к нулю сторону, перпендикулярную поверхности 9. Как следствие,

1.6 ] Электрический диполь 207

формула (1.21) перейдет в условие непрерывности на границе тангенциальной компоненты поля:

1.6. Электрический диполь

Самое простое определение электрического диполя — пара

зарядов / и /, на расстоянии друг от друга (рис. 1.4 а); при этом величина / называется вектором дипольного момента. Мы не ограничимся таким определением — как будет

ясно из дальнейшего, физический смысл электрического диполя и дипольного момента оказывается более понятен, если мы несколько обобщим наше определение.

Пусть дана некоторая система зарядов /1, /2, / , расположенных в точках 1, 2, Достаточно очевидно, что на расстояниях, больших в сравнении с характерным расстоянием между зарядами, ее можно рассматривать как точечный заряд:

Если зарядов всего два, и притом равных по величине и отличных по знаку, старое определение остается в силе — просто как следствие (1.23). Но определение (1.23) является существенно более общим, поскольку вводится для произвольной системы зарядов. Важно отметить, что формула (1.23) инвариантна относительно переноса начала координат, если полный заряд системы равен нулю. Это нетрудно показать с помощью рис. 1.4 б. Можно видеть, что при переносе начала отсчета из точки в точку

имеем , откуда следует

/

При нулевой сумме зарядов дипольный момент и в самом деле оказывается инвариантом. И если мы хотим определить поле нейтральной в целом системы заряженных частиц (например, поле заряженного плоского конденсатора), то именно дипольный момент системы оказывается принципиально важным.

Вычислим поле системы зарядов в точке , удаленной в сравнении с характерным пространственным масштабом системы (рис. 1.4 в). Начнем с потенциала, ограничившись первым членом разложения в ряд Тэйлора:

7 Æ 7 Æ 2 Æ 2 7 Æ 7

Воспользовавшись тем, что (см. рис. 1.4 в), получаем

т. е. при нулевом полном заряде - 3 При этом, в отличие от точечного заряда, поле зависит от угла. На примере (1.24), (1.25) можно убедиться, что зачастую полезно потратить время на подготовку корректных определений и затем использовать адекватный математический аппарат, если это позволяет избежать громоздких вычислений. Любая из этих формул, выведенная «в лоб», потребовала бы много больше работы.

Далее, если мы будем говорить о точечном диполе, понимать это надо как нейтральную зарядовую систему, поле которой рассматривается на столь больших расстояниях, что справедливы соотношения (1.24), (1.25). И если для представлений об элементарном магнитном диполе современная физика дает некоторые основания, то в данном случае таковые отсутствуют: на сегодняшний день у элементарных частиц электрические дипольные моменты не обнаружены.

1.7 ] Задачи 209

Вычислим в дипольном приближении энергию системы зарядов во внешнем поле:

Из (1.26) следует, что сила, действующая на точечный диполь в электрическом поле, может быть представлена в виде

Можно также показать (предоставляем это читателю в качестве упражнения), что момент, действующий на дипольную систему во внешнем поле, равен

Задачи

1. В пространстве между пластинами плоского конденсатора имеется свободный поток электронов, который создает равномерный объемный заряд. Расстояние между пластинами равно , потенциал одной из пластин равен 0. При каком значении объемной плотности заряда % потенциал и напряженность

2. Определить силу взаимодействия между точечным зарядом 5 и заземленным металлическим шаром. Радиус шара , расстояние между зарядом 5 и

центром шара равно .

Эту задачу удобно решать методом изображений. Если в электрическом поле заменить любую эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу той же поверхности, поле не изменится. Можно действовать и наоборот. Оба приема базируются на теореме однозначности: поле системы проводников и/или распределение зарядов на их поверхности полностью определены, если: а) известен потенциал

каждого проводника либо б) задан общий заряд каждого проводника. Решение. Предположим, что мы можем реализовать нужную конфигура-

цию полей вне шара, заменив последний точечным зарядом 9, расположенным на линии «заряд 5 — центр шара» (учитывается осевая симметрия задачи) и сдвинутым на некоторое расстояние от центра (рис. 1.6 а). Если такая

модель адекватна, то 0 на поверхности сферы, в частности, в точках ее, ближайшей и удаленнейшей относительно заряда 5: 0, или, подробнее,

95

откуда в два действия следует 2 2 2 Наше утверждение доказано, так что и окончательный ответ для силы получить нетрудно:

lвдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно .

4. Найти электрическое поле E в шаровой полости однородно заряженного шара (рис. 1.7). Объемная плотность заряда равна %. Расстояние между центром полости и центром шара равно .

Ответ: поле в полости однородно; % 300