студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Для наглядности мы приведем доказательство для системы, состоящей всего из двух материальных точек, связанных центральной силой, т. е. 12 2 1 , и рассмотрим случай, когда помимо сил взаимодействия на материальные точки действуют также внешние силы (рис. 7.3). Запишем уравнения для момен-

тов импульсов обеих мате-

где 12, 21 — силы взаимо- Рис. 7.3 действия тел друг с другом,

1, 2 — некоторые результирующие внешние силы, действующие со стороны каких-то других тел на тела 1 и 2, соответственно. Сложив левые и правые части этих уравнений, получаем с учетом того, что 12 21

где 1 вн 1 1 и 2 вн 2 2 — моменты внешних сил относительно центра . Векторы 1 2 и 12 параллельны,

поэтому их векторное произведение равно нулю. Следовательно, уравнение (7.3) для суммарного момента импульса 1 2 системы двух материальных точек имеет вид

Здесь вн естественно трактовать как полный момент внешних сил, приложенных к системе материальных точек. В случае

замкнутой системы материальных точек внешний момент равен нулю, так что оказывается, что момент импульса замкнутой системы материальных точек относительно произвольного центра остается постоянным.

Таким образом, мы сформулировали закон сохранения момента импульса.

В силу принятого предположения о центральном характере сил взаимодействия между материальными точками этот закон все еще остается следствием второго закона Ньютона (7.1) и подобием закона сохранения импульса. Сделаем следующий шаг: откажемся от каких-либо предположений о характере взаимодействия внутри замкнутой системы. Тем самым теряет дока-

зательную силу и наш вывод, но сам закон сохранения момента импульса остается уже как экспериментальный и дополнительный к законам движения материальной точки, сформу-

лированным в гл. 3. (В аналитической механике, изучающей самые общие законы движения, закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т. е. с инвариантностью физических законов относительно изменения начала отсчета времени, закон сохранения импульса замкнутой системы связывается с однородностью пространства, т. е. инвариантностью относительно пространственных сдвигов, тогда как закон сохранения момента импульса — с изотропностью пространства (инвариантностью относительного вращений пространства).)

Равным образом и уравнение (7.4) в общем случае не есть следствие (7.1), но представляет собой дополнительное уравнение движения. Соответствующий закон гласит, что скорость изменения со временем полного момента импульса замкнутой системы определяется только моментами внешних сил, а именно:

Уравнение (7.5) принято называть уравнением моментов. Операции суммирования в левой и правой части (7.5) не эквивалентны: моменты импульса суммируются по всем частицам (или материальным точкам, или физически бесконечно малым объемам), а в правой части суммирование происходит по всем моментам внешних сил.

7.2. Законы Кеплера

Еще задолго до рождения Ньютона немецкий ученый И. Кеплер (1571–1630) на основании обобщения астрономических наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546–1601) установил три закона движения планет.

1.Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2.Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца как начала координат, описывает в равные промежутки времени равные площади.

3.Квадраты периодов обращения планет по эллипсам относятся как кубы больших полуосей.

Разумеется, эти законы сформулированы с точностью до отношения радиусов Солнца и планет к характерным расстояниям между ними, но точность эта, как и математическая содержательность законов Кеплера, для начала XVII века просто поразительны.

Поскольку законы Кеплера оказались в свое время главным тестом для механики Ньютона, и поскольку они принципиально важны для описания динамики планет, мы посвятим настоящий параграф их последовательному выводу.

Напомним, что для частного случая центральных сил уравнение моментов не является дополнительным ко второму закону Ньютона, но оно прямо из него следует. В соответствии с законом всемирного тяготения (6.26) сила тяготения, связывающая Солнце и любую из планет, есть центральная сила, причем вектор 12 в (6.26) — это просто радиус-вектор планеты в системе отсчета Солнца.

Мы будем пренебрегать взаимодействием планет друг с другом, так как массы их много меньше массы Солнца, хотя главной поправкой к нашим, т. е. кеплеровским, результатам будет как раз влияние планет-гигантов, особенно Юпитера. В силу того же обстоятельства приведенную массу в (6.2) можно просто приравнять массе планеты и пренебречь смещением Солнца относительно общего центра масс на фоне движения планет.

В приближении замкнутой системы «Солнце–планета» момент импульса с точностью до отношения масс равен

где , r, v — соответственно масса, радиус-вектор и скорость планеты. Из того, что вектор L перпендикулярен r, v, в частности, следует, что движение планеты —

импульса (7.6) вытекает постоянство секториальной скорости:

аэто не что иное, как второй закон Кеплера.

Вдальнейшем, помимо сохранения момента импульса, мы будем использовать закон сохранения энергии:

где — масса Солнца.

Рассмотрение удобно проводить в полярных координатах в плоскости траектории планеты (рис. 7.6 а), соответственно разложив скорость v на радиальную и касательную

126 Уравнение моментов. Динамика твердого тела [ Гл. 7

Его корни, сумма которых, как видно из рисунка, равна длине большой оси эллипса, удовлетворяют соотношению:

Постоянную секториальную скорость 9 +2 удобно привязать к точке , где скорость ортогональна малой оси эллипса: 9 2 Принимая во внимание свойство фокуса эллипса, приходим к соотношению

Итак, все три закона Кеплера в рамках ньютоновой механики оказываются прямым следствием закона всемирного тяготения и уравнения моментов.

7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Переходя к рассмотрению движения макроскопических тел, определим сначала наиболее простой тип движения, зависящего от геометрии тела. И первый шаг на этом пути — исключение из рассмотрения движения деформируемых тел, так как заранее очевидно, что движения многих частей тела друг относительно друга (и, соответственно, их математическое описание)

могут быть достаточно сложны. Это означает, что мы начнем с изучения движения абсолютно твердых тел. Но и среди

всевозможных движений абсолютно твердого тела мы выберем, по-возможности, наиболее простое. Дело в том, что для однозначного определения положения абсолютно твердого тела в про-

странстве необходимо задать шесть независимых величин — шесть степеней свободы. Мы же на данный момент ограничим-

ся простейшим, но практически важным случаем, когда существенна лишь одна степень свободы, — вращением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. При этом изменение

положения тела в пространстве однозначно определяется единственной координатой — углом поворота тела вокруг оси.

128 Уравнение моментов. Динамика твердого тела [ Гл. 7

момента импульса L имеет вид

вн, где , а — момент импульса -й материальной точки

системы относительно одного и того же центра .

Выберем центр в точке пересечения оси вращения с плоскостью диска. Все образующие диск материальные точки будут при его вращении двигаться по окружностям с радиусами , где— модуль радиуса-вектора, соединяющего соответствующую -ю материальную точку с центром . Момент импульса отдельной материальной точки определяется векторным произведением:

,

где — импульс, а — скорость -й материальной точки. Отсюда следуют две важные особенности нашей задачи. Во-первых, поскольку векторное произведение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат образующие его векторы, то все моменты импульса направлены вдоль оси , так как плоскость векторов и перпендикулярна этой оси. Это означает, что у суммарного момента импульса диска отлична от нуля только одна компонента + + . Во-вторых, при вращении диска все образующие его материальные точки движутся по окружностям, поэтому и всегда перпендикулярны друг другу, синус угла между ними равен единице, и для + в соответствии с определением векторного произведения получаем

вращения, одинаковая для всех точек диска. Знак + зависит от того, куда направлено векторное произведение [r v] — вдоль выбранного положительного направления оси или против него. Мы выбрали для определенности знак «плюс».

Вернемся теперь к уравнению моментов. Левая часть этого уравнения для отличной от нуля компоненты + с учетом (7.12) принимает вид

Величина, равная сумме произведений элементарных масс на

квадрат их расстояний от некоторой оси , называется моментом инерции тела относительно данной оси и обозначается

суммирование производится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Используя (7.12) и (7.14), вы-

7.3 ] Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси 129

ражение для -компоненты суммарного момента импульса диска можно записать в виде

Таким образом, левая часть уравнения моментов может быть

Сделаем одно замечание, касающееся принятой в механике терминологии. Проекция вектора момента силы M на некоторую

ось , проходящую через центр , относительно которого определен M, называется моментом силы относительно оси

, который мы будем обозначать через оси. С учетом этого замечания уравнение (7.16) можно также представить в виде

Хотя мы вывели уравнение (7.17) для частного случая (тонкого диска), этот вывод посредством интегрирования по слоям обобщается на случай вращения вокруг неподвижной оси тел любой формы. Итак, основное уравнение для вращения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси можно записать в виде

2

: 2 оси

Как и второй закон Ньютона, оно является дифференциальным уравнением. Нахождение из этого уравнения функции — зависимости угла поворота тела от времени, решает одну из основных задач механики: предсказать положение движущегося тела в различные моменты времени при задании двух начальных условий: начального положения и скорости. В нашем случае начальные условия — это значение угла поворота в начальный момент времени, 0 0, и начальной угловой скорости0 0. Значения 0 и 0 определяются условиями конкретной задачи.

Таким образом, задание начальных условий является одним из важнейших элементов строгой математической постановки конкретной задачи о вращении твердого тела.

Характерной отличительной особенностью задачи о вращении тела вокруг оси по сравнению с задачей о движении материальной точки является то, что теперь в основное уравнение входит

5 Основы физики. Т. I

не масса , а момент инерции : , и не сила , а момент силы

относительно оси оси.

Подчеркнем, что момент инерции тела относительно некоторой оси существует безотносительно к тому, вращается тело

вокруг этой оси или покоится. Если же тело вращается вокруг некоторой оси под действием внешних сил, то момент инерции служит мерой инертности тела при вращении. В самом деле,

при одном и том же моменте внешних сил относительно оси вращения угловое ускорение будет меньше у того тела, у которого больше момент инерции. Таким образом, момент инерции тела при вращательном движении играет ту же роль меры инертности, что его масса при поступательном движении.

Как видно из определения (7.14), задание полной массы телаеще ничего не говорит о величине его момента инерции : , который зависит от того, как расположены различные части тела (различные элементы его полной массы) относительно той или иной оси , конкретное положение которой определяется условиями задачи. Поэтому при решении каждой конкретной задачи о вращении вопрос о величине : требует отдельного рассмотрения. Покажем на примере нашей исходной задачи о вращении тонкого диска, как определяется момент инерции. Здесь нам необходимо найти момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (см. рис. 7.8). Каждый из элементарных объемов с массой , на которые мы мысленно разбили весь диск, можно представить как произведение плотности тела 3 на соответствующий элементарный объем 2 :

3 2

Следовательно, выражение (7.14) для момента инерции : можно представить в виде

где мы учли, что для однородного диска плотность постоянна, и поэтому вынесли 3 за знак суммирования. При переходе к бесконечно малым значениям 2 суммирование сводится к интегрированию:

Ради большей общности результата мы вернули 3 под знак интеграла.

Симметрия задачи подсказывает наиболее простой путь вы-