1329

мой области задаются граничные условия, соответствующие типу решаемой задачи. Решение уравнения может производиться в линейном инелинейном вариантах при определённой аппроксимации зависимости коэффициентов уравнения отискомой величины.

Рис. 8.31. Редактор модели Femlab

Рассмотрим, для примера, последовательность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области с использованием программы Femlab.

1.Используя редактор файла, задаём геометрию исследуемой области и производим её триангуляцию с необходимой степенью густоты сетки (рис. 8.32, а).

2.Задаём значения коэффициентов уравнения, граничные условия и источники поля.

3.Производим решение краевой задачи и вывод на печать результатов решения (рис. 8.32, б).

Результаты решения могут выдаваться в различных формах: в виде трёхмерных и двумерных рисунков, контурных графиков, полей градиентов выходной величины.

281

Распределение магнитного роля в ярме статора и ротора на рис. 8.33 получено при решении линейной задачи при постоянной величине магнитной проницаемости материала ярма. В реальных условиях происходит насыщение ферромагнитного материала. Поэтому на участках магнитопровода с повышенным значением магнитной индукции величина магнитной проницаемости уменьшается, что влечёт за собой выравнивание величины магнитной индукции. Поэтому реальный характер распределения магнитной индукции на участках магнитопровода оказывается ближе к равномерному, что и принимается в одномерной модели.

Высота пазов ротора для рассматриваемого двигателя составляет 24,7 см. Поэтому на частоте 50 Гц эффект вытеснения практически не ощущается и плотность тока в проводниках ротора рассматриваемого двигателя практически одинакова по всему сечению проводника. Использование одномерной модели, не учитывающей вытеснение токов в проводниках ротора, в этом случае оказывается оправданным и не приводит к значительным погрешностям.

Расчёт рабочих характеристик показал, что расхождение между результатами моделирования и паспортными данными не превышает 4–15 %. Значительную величину нижнего предела погрешности можно объяснить весьма малой точностью способа аппроксимации кривой намагничивания электротехнической стали, принятого в модели.

Эта зависимость в пакете Partial Differentia Equations Toolbox реали-

зована в следующем виде:

где µmax и µmin − максимальное и начальное значения магнитной про-

ницаемости данного сорта электротехнической стали.

Следует ожидать, что с течением времени двумерные математические модели магнитного поля электрических машин будут совершенствоваться, и точность расчёта их рабочих характеристик будет повышаться.

284

9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ МАШИН С ФАЗНЫМ РОТОРОМ

9.1. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С ФАЗНЫМ РОТОРОМ

Двигатели с фазным ротором имеют на роторе трёхфазную обмотку, соединённую по схеме «звезда». Катушки катушечных групп обмоток каждой фазы ротора соединены последовательно. Поэтому ЭДС обмоток определяются суммой ЭДС всех проводников, принадлежащих параллельной ветви, входящих в рассматриваемую фазу. Поскольку проводники обмотки распределены в пространстве, величина плотности тока в любой точке исследуемой области является функцией векторных потенциалов в ряде других точек исследуемой области. В асинхронной машине с короткозамкнутым ротором плотность тока ротора в любой точке исследуемой области определяется величиной векторного потенциала лишь в этой точке. В этом заключается принципиальное отличие машин с фазным ротором от короткозамкнутых.

В основу расчёта электромагнитных процессов АДФ положена полевая модель асинхронной машины с учётом следующих упрощающих допущений:

1.Задача решается в плоскопараллельном приближении. Плотности тока, напряжённость электрического поля и векторный потенциал имеют по одной аксиальной составляющей. Магнитная индукция имеет радиальную и тангенциальную составляющие.

2.Машина лишена пазов, а их влияние учтено коэффициентом Картера.

3.Токи обмоток статора и ротора вынесены в зазор и равномерно распределены по его высоте.

4.Ротор двигателя симметричен, обмотки фаз ротора имеют одинаковые параметры.

285

5. Не учитывается насыщение элементов магнитной цепи. Следствием этого допущения является линейность решаемой задачи, для которой справедлив принцип суперпозиции.

При указанных условиях уравнение магнитного поля АДФ записывается в виде

Плотность тока ротора, так же как и статора, для каждого интервала разбиения пространственной координаты выражается через суммарнуювеличину тока, принадлежащую данному интервалу:

Величины фазных токов статора и ротора зависят от ЭДС, наводимых в обмотках магнитным полем, и связаны с ними уравнениями Кирхгофа:

286

При соединении фазных обмоток статора и ротора по схеме «звезда» выполняются соотношения

ЭДС фазных обмоток при известной схеме обмоток ротора рассчитывается как сумма ЭДС катушечных групп, принадлежащих рассматриваемой фазе:

ЭДС катушечной группы определяется суммой ЭДС катушек, принадлежащих катушечной группе:

В свою очередь, ЭДС витка определяется по значениям напряжённости электрического поля точек, координаты которых совпадают с координатами расположения проводников витка:

где Ε – напряжённость электрического поля; L – контур интегрирования, определяемый геометрией витка.

При условии решения плоскопараллельной задачи ЭДС лобовых частей витка не учитываются. Поэтому ЭДС витка определяется разницей ЭДС его активных сторон:

где E н и E к – напряжённость электрического поля точек, координаты которых совпадают с координатами сторон витка; lпр – длина

проводника в пределах активной части магнитопровода.

287

При вращении ротора его обмотка перемещается относительно обмоток статора и магнитного поля двигателя. ЭДС обмотки ротора

вэтом случае зависит от её пространственного положения. Такая ситуация приводит к усложнению расчётов токов и ЭДС двигателя. Поэтому при решении системы дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы асинхронных машин, вращающийся ротор заменяют неподвижным относительно статора [8]. Для сохранения адекватности получаемой при этом машины возможны два варианта такого преобразования. По первому варианту

вцепь ротора включают дополнительное сопротивление такой величины, чтобы ток неподвижного ротора был бы равен току вращающегося. Этот способ преобразования широко используется при анализе явлений асинхронной машины с использованием электрических цепей – схем замещения. Второй вариант заключается в введении в цепь ротора

дополнительной ЭДС – ЭДС вращения. Её величина рассчитывается из условия сохранения прежней величины тока ротора. Переход от реальной асинхронной машины к машине с неподвижным ротором осуществляется путём использования новой системы координат при введении новых переменных.

Если для построения математической модели асинхронной машины применяются полевые методы, то преобразования системы уравнений не требуется. Введение в цепь ротора ЭДС вращения следует из уравнения напряжённости электрического поля движущегося

Первый член этого выражения пропорционален трансформаторной ЭДС, а второй, зависящий от частоты вращения, – ЭДС вращения. Система координат ротора при этом оказывается неподвижной относительно статора, а оси обмоток ротора и статора занимают одинаковое пространственное положение. Уравнения математической модели асинхронной машины записываются в неподвижной системе координат. Они включают в себя уравнение магнитного поля

288

и систему уравнений Кирхгофа (9.3)–(9.8).

Для упрощения решения задачи двумерное уравнение (9.16) приводится к одномерному так же, как для двигателя с короткозамкнутым ротором [см. выражения (8.6), (8.7)]:

Это уравнение с учётом граничных условий периодического типа решается методом циклической прогонки.

Как указывалось выше, плотность тока ротора на каждом пространственном интервале определяется величиной векторного потенциала в нескольких точках исследуемой области. Поэтому матрица системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей дифференциальное, имеет значительное заполнение, и её решение требует больших затрат машинного времени.

Машинное время может быть значительно уменьшено, а решение упрощено, если для этого использовать метод суперпозиции.

Согласно этому принципу, ЭДС обмоток статора и ротора можно рассматривать как сумму отдельных составляющих, каждая из которых обусловлена протеканием тока в одной обмотке двигателя:

где E A1 – ЭДС фазы А при протекании тока по обмотке этой фазы и при нулевых значениях токов всех других фаз статора и ротора.

Аналогично E A2 – ЭДС фазы А при протекании тока по обмотке фазы В статора и т.д.

Точно так же могут быть записаны ЭДС других фаз статора и ротора:

289

Для линейной задачи величины векторного потенциала и фазной ЭДС пропорциональны плотности тока. Поэтому составляющие фазных ЭДС могутбытьвыраженычерез величины соответствующих токов:

Подставляя полученные выражения в уравнения Кирхгофа статорных и роторных цепей и преобразуя их, будем иметь:

290