- •Фролов, А.Д.
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
- •РАКЕТ
- •1.1. Предварительные замечания
- •1.2. Сокращения, условные обозначения, индексы
- •1.3. Основные этапы процесса параметрического проектирования
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Определение массовых характеристик ракет с РДТТ
- •2.4. Определение геометрических характеристик РДТТ и ракеты
- •2.5. Определение проектно-баллистических параметров РДТТ и ракеты
- •2.6. Определение предельных секундных расходов топлива
- •2.7. Анализ и учет габаритных ограничений РДТТ и ракеты
- •2.8. Аэродинамические характеристики ракеты
- •2.9. Моменты инерции и центровочные характеристики ракеты
- •В) Расчет центровочных и моментных характеристику-й «сухой» субракеты,
- •Сtp(0 = фнавед ” 0 /
- •3.3. Назначение потребной конечной скорости и угла бросания
- •3.5. Проектирование ракеты без оптимизации параметров (Организация работы программы KAMFAD)
- •4. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАКЕТ
- •4.1. Предварительные замечания
- •4.2. Адаптация метода неопределенных множителей Лагранжа
- •4.3. Метод направленного поиска оптимальных параметров
- •Вывод алгоритма решения задачи
- •Выберем X,(r),X2(r),X3(r),X4(r) из уравнений:
- •5. СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАКЕТ
- •5.1. Предварительные замечания
- •5.2. Формирование случайной реализации ракеты
- •5.3. Определение основных вероятностных характеристик ракет
- •5.5. Метод направленного поиска оптимальных параметров
- •Графики изменения аэродинамических коэффициентов ракеты:
- •Графики изменения параметров движения ракеты на ПУТ:
- •6.5. Параметрическое проектирование ракет с РДТТ из различных материалов
- •6.13. Частная параметрическая оптимизация секундных расходов твердого топлива двигательными установками баллистической ракеты
- •6.16. Влияние закона распределения случайных величин на статистические параметры дальности полета ракеты
- •6.17. Связь высоты точки старта ракеты с ее эффективностью
- •6.18. Параметрическое проектирование баллистических ракет с твердотопливными двигательными установками различных диаметров
- •7. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
- •7.1. Предварительные замечания
- •7.4. Лабораторная работа № 3.
- •7.5. Лабораторная работа № 4.
- •7.6. Лабораторная работа № 5.
- •7.7. Лабораторная работа № 6.
1 > . ( . № ( 0 + w s w + x 3(f,)6x(r,)+^ (/y m tj) - y-l
= £ { } [ Я У(^ Л К А * * ,Л а ,* .....а Д и,*,..., щ * ) -
lo I
-H j (t,Vx,Vy,x,y,ax.....а„,щ......u2p) +1,8 Vx +X28Vy + X38x + X48y]dr}.
Разлагая в ряд Тейлора функции Яу |
по |
степеням |
8ГХ,8Р^&с.бу, 8а,,...,8ап |
|||||||
8м,.....8м2р, ^K (tfl-i)<^Vy((p_l) и учитывая уравнения (4.18), вместо (4.21) будем иметь: |
||||||||||
[^i |
)8К,(?OJ+I) + ^>2ау)8Уу(toj+i)+^3((/)8^(^o,y+i) "*■^-4 (0)8у(^о,у+1) - |
|||||||||
У-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ('о У)8Кх(Гоу) - h (to jW y(tij)-4 to j)H taj) - \ « 0,)Ь у ^ ) - Я(Гу)8гу + 8] = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
|
|
Г. |
ая,1 |
|
(. |
ЭЯЛ |
8х+ |
f. |
ЭЯЛ |
|
|
|
8К + |
н------ |
8К„ + |
X, +— - |
1 |
8у+ |
|||
■ |
т - 1 |
V |
у^ |
У |
1 |
|
|
У J |
||
£ ? 8я, |
£?Эи„ |
ЭКх(ГрЧ) |
+ - |
^ |
.) |
8К. dr. |
||||
ЭГ(г |
^ |
|||||||||
Выберем X,(r),X2(r),X3(r),X4(r) из уравнений: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а я , • |
а я , |
, |
_ |
а я , |
, _ |
ая^, |
|
|
|
^1 |
— Г 7 Г ~ 3 ^ 2 ” |
- т г |
»*3 |
- |
^ |
3Л 4 - |
Л |
3 |
(4.23) |
|
|
эк. |
эк. |
|
|
а* |
|
Эу |
||
t0J£ t£ tJ!j = l, 2,..., р.
Граничные значения функции Х1,Х2Дз,Х4 на каждом отрезке времени назначим в
соответствии с условиями:
м д = - - ^ Ц л ( д = - — |
|
Л |
||||
|
дК Ю |
|
|
W |
|
|
|
У. |
|
|
У , . |
|
|
W = - & (д |
Л ( 0 = “ W |
|
|
|||
\ ( t j ) |
- \(^ o j+ i) |
|
С / ^ |
.Р |
2; / — 1 , 4 ) , |
(4.24) |
M'„-i) = W |
|
0*= 3,4); |
|
|
||
|
= ^/(^0/з)+ ^Ч |
0 = 1з2), |
|
|||
|
ая„ |
|
|
р |
ЭЯ„ |
|
д \,= |
|
dr, ДХ2 = J |
|
|||
J |
|
dr. |
|
|||
|
5К А .,) |
|
|
8к д д .) |
|
|
У
Выражения (4.23) и (4.24) получаются при обращепии в нуль коэффициентов при вариациях ЬУх,ЬУу,Ьх,Ьу, 6Ух(foy+1 ),&Vy(/„y+i),5x(f0;+1),8y(r0 ;+1). С учетом условий (4.23), а
также того, что
5 r A , +,) = 8W ’
5Vyi f^ ) ~ b V y(tr),
5x(t0,P+l) = 8x(fp), Sy(^o.P+i) = 8y(tp),
выражение (4.22) принимает вид:
& — si/p, >,----Qfo :8В Д -
8K(tp) dF,(fp)
■ t
M <?=l , dan
\*0J я
(j ) -----) — 3/o_ |
|
:§^ |
P)-X 7 7 T S^ ) = |
' tp) &c(rp) |
{p) dy{tp) |
\ |
(4.25) |
ф-11 /„ |
bum + 8, |
|
|
или, учитывая, что левая часть (4.25) есть не что иное, как линейная часть приращения максимизируемого функционала:
|
81 = 1 * - ! = - |
— 8УХ(Г )----% — SVr( t ) — ~^—b x(t)— |
|
||||||
|
dvx(tp) |
Лр) |
dvy(tp) |
A p) |
dx(tp) Ур) |
dy(tp) |
|
||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i = - £ |
|
|
a-i - |
da„ |
|
|
5um |
(4.26) |
|
и |
|
|
у |
фв1^'оу ^МФ |
|
|
||
|
|
|
q 1 v °j |
я |
|
|
|||
|
Умножим левую |
часть |
(4.10) |
на неопределенный множитель р и прибавим |
|||||
полученное выражение, равное нулю, к правой части уравнения (4.26): |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8«ф}, |
(4.27) |
|
|
|
Я - ' { |
С а ц /о> б а Я |
) |
ф"Ч'оу ^МФ |
|
||
|
|
|
Ф - /о ^ Ф |
|
|
||||
или, выделив для удобства из числа проектных параметров а] 9 |
ап времена работы ДУ |
||||||||
tv |
tp и присваивая им индекс <ш> (s = 1, ...,р), имеем: |
|
|
||||||
Постоянный неопределенный множитель Лагранжа [А выберем, например, из
условия обращения в нуль коэффициента при 8^ в правой части (4.28):
Поскольку 8Z, есть линейная часть приращения дальности, то условием максимума L будет условие 5L >0.
Отсюда, а также из уравнений (4.29) и (4.30), учитывая независимость и произвольность вариаций bts,baq)bu^, s =2, р\ q = 1, р\ \|/ = 1, ...,2р, получим
искомые необходимые условия оптимальности параметров ДУ и программы движения ракеты на АУТ:
|
|
|
Л Ш , |
л - |
0; |
|
|
|
|
( |
Ь |
||
|
dt, |
|
м 1 |
dts |
|
|
|
даЧ |
> 4 , |
да" |
|
|
(4.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диш |
|
|
|
|
|
> 4 / 1 |
|
|
|
|
|
5 = 2.....р; |
q =1......И - # |
у = 1> - . 2р. |
|||
Частные |
производные функции |
Гамильтона |
(4.20) по Vx,Vy,x,y,aq,u,t, |
|||
(q = 1, п\ |
(р = 1, 2р ) расписываются следующим образом: |
|||||
дН
~~ —Ь]Л: + ^12^2 + ^13^3> dVx
дН
—j- = &21Х, + Ь22Х2+ Ь24ХА,
d V y
дх“ = ^31^1 + ^Э2^2’
d H J |
т л |
. л |
------- |
^41^1 |
^42^2» |
ЭУ
где
bu |
= |
cos 0 + b2 sin 0 , |
|
bn |
= |
b{ с о s 0 - |
b5 sin 0 , |
'3 1 |
“ |
1» |
|
>21 |
= |
bx sin 0 - |
62 с о s 0 . |
>22 |
= |
64 s i n 0 - |
65 c o s 0 , |
>1 = |
y4j cos ф - |
Л2 sin cp, |
|
* 2 |
= |
^ 5 > |
|
^ 3 1 |
= |
^ 3 % » |
|
|
|
632 = b6x , |
|
|
|||
^ 4 1 |
= |
^ 3 |
( **0 |
^ j O |
> |
^42 = ^6 ( r0Г0 + У)> |
|||||
b2A = |
1, |
|
|
||
*24 |
|
|
. |
|
|
b4 |
= ^ |
sin |
ф + |
A 3 со s cp, |
|
* 5 |
= |
6 |
> |
|
|
?3 = Л2 с о s ф - |
Л4 sin ф , |
66 = j42 sincp |
+ A4 cos Ф + Л 7» |
||||||
m |
|
К |
' |
ЭК |
|
|
|
|
|
1 |
S , |
л-4- — : |
|
- + q S |
d C x |
||||
W jT |
dh |
MJ dh |
|||||||
, |
e; |
dh |
2 |
|
|
||||
q s Mja |
2 С “ + |
а с ; |
|
|
|
|
|||
m , |
|
Г |
|
3 F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
— F |
1с ; |
дР» |
■+ Я |
s £ L \ |
|
|
||
\ 2 |
|
|
ал |
dh |
|
|
|||
V, + g .
4 =
= 2g.
|
|
|
4 " - гг |
|
|
|
|
dHj |
\dW |
|
dW. |
/ • |
\ qsMc* |
Эср |
|
|
c ° s < p . |
У} sincp- |
[vy+g) +--- Л----sm(p |
da„ |
|||
4 |
I ч |
|
4 |
|
|
mt |
|
dW |
dW„ |
т> |
Я^глрп |
совф |
Эф |
|
|
+ •{■■■:■—sin9 + |
^ - |
cosy + Vr+ ---- -— |
Эд |
|
|||
|
Эал |
Эа„ |
|
т, |
|
|
|
ЭЯу
дит
----1
IF + g l +
''
Л
ntj
__I sintp
Л\ +
1 |
c<f Cr |
ч |
----1 |
К_+ |
------------ |
|
СОвф |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
щ , |
_ 1 |
|
|
|
|
|
да„ |
т. |
|
|
|
|
|
dW y, |
1 |
• |
f |
drhj |
dmQj^ |
|
— *- = — Wu |
dd |
да |
(4.32) |
|||
da*, |
.it, |
|
\ |
J |
||
Я |
j |
|
Я |
Я |
||
t0J<.t<tj, |
m0J>mJ'tm{tJ). |
|||||
Частные производные |
0Jn |
dmQ |
dm. |
входящие в (4.32), а также производные |
||
— |
|
— L, — |
||||
|
|
да„ |
дач |
дац |
|
|
Я
-^-,(# = 1,...,«), входящие в (4.31), удобно вычислять методом конечных приращений
дая
(формулы (2.19) подраздела 2.10.7).
по
4.4.Соответствие алгоритмов мегодов оптимизации
Впараллельном изложении [73] приведены алгоритмы решения задачи детерминированной оптимизации проектных параметров РДТТ в составе ракеты обоими изложенными методами (слева —метод неопределенных множителей Лагранжа, справа —
метод направленного поиска).
Условия оптимальности параметров имеют вид:
ц | ^ - Я ( 0
|
|
|
j-1<07 ‘ |
|
дач дач |
•\ |
|
О II |
|
’ |
да, |
дС19 |
||
|
(4.33) |
(4.34) |
||
|
J |
А %дН, |
|
|
q=2, 3, .... п; |
- I Ь |
г г^= 0 |
||
|
||||
|
|
s =2, ...,р; |
q =1 , п -р \ у = 1,..., 2р. |
Множители Лагранжа X и р, входящие соответственно в (4.33) и (4.34)
Х = - дТ/дах |
(4.35) |
(4.36) |
dFjdax |
|
|
Гамильтониан Hj (4.20) определяется численным интегрированием системы
дифференциальных уравнений (4.23), сопряженной системе (2.8).
Очевидно, что решение поставленной задачи сводится к решению системы трансцендентных уравнений (4.33) или (4.34) с учетом соответственно (4.35) или (4.36) итерационными методами.
Необходимо заметить, что для закрытой области существования искомых параметров, определяемой системой (4.9), точное выполнение равенств (4.33) или (4.34) может быть и не достигнуто; в этом случае искомые значения параметров лежат на границах (4.9).
К решению задачи приводит следующая последовательность действий:
а) Формируется вектор искомых параметров из области их допустимых значений (4.9); б) Рассчитываются все характеристики из уравнений связи из подразделов 2.2-2.7; 2.2-2.8
и 2.10.1-2.10.2, причем при невыполнении условия (4.3) или (4.10) значение, например t\t
определяется из уравнения соответственно (4.3) или (4.10). Найденный таким образом параметр t\ должен лежать в области (4.1) или (4.9) соответственно. Множитель Лагранжа
определяется соответственно из (4.35) или (4.36).
На каждой итерации, начиная с £ = 1, значение функционала F ^ сравнивается со
значением F^ l>. Далее в случае, если F ^ = |
запоминаются |
все параметры а /= а ^ , |
||
<*2 = |
ап* |
(или t] = t^ ,a q = £1^ , 11* =ы ^ $ |
= 2,...,/?; д = 1,...,л-р; |
|
|
|
|
|
I ll |
|
|
|
|
|
в) |
Рассчитываются численные значения коэффициентов влияния всех параметров |
||||||||
|
|
|
Ф5= м Д - Я ( Г ,) - ^ \ ^ и . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
at. |
|
|
|
|
|
^ |
дТ |
dF |
. |
8f{ |
А |
‘‘гдН |
|
|
|
® |
' ' iч r 5+Tя x |
|
4 |
> 4 , 4 |
|
|
|
||
|
|
>(4.37) |
|
|
|
|
|
|
[(4-38) |
q =2,3, |
.... и; |
Ф = - ± ' Ж |
* |
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
h i |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
s = 2,...,p; |
q =l.....п -р \ |
у = \,...,2р |
|
|||
с определением соответственно из (4.35) или (4.36) множителя Xили р. |
|
|
|||||||
|
Частные производные, входящие в (4.37) или в (4.38), могут определяться как |
||||||||
аналитически, так, например, и методом конечных приращений (2Л9). |
|
|
|||||||
г) |
Формируется вектор параметров следующего приближения: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f r ,>= ^ [ l + ^ s i g n ( 0 ,7 )]! |
|
|
|||
|
|
►(4.39) |
|
|
|
|
|
|
(4.40) |
q - i > 2 , п |
|
«с+,>= « r [ i + 4 5>sign(o:p], |
|
|
|||||
|
|
|
(s = 2,...,p; |
q = l,...,n -p ; |
цг = 1,. |
•» 2p), |
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
коэффициенты вида Kq<(,> - |
относительные положительные |
приращения |
||||||
соответствующих оптимизируемых параметров на (£-1)-й итерации; |
|
|
|||||||
д) Полученный комплекс параметров проверяется на каждой итерации на принадлежность его области существования (4.1) или (4.9); в случае выхода любого параметра из области допустимых значений в качестве нового значения этого параметра принимается его соответствующее граничное значение; е) Если все значения параметров вышли на свои границы, процесс решения задачи
прекращается; полученные таким образом значения и будут оптимальными в условиях действия ограничений (4.1) или (4.9); однако в случае невыхода всех параметров на границы (4Л) или (4.9) процесс повторяется, начиная с пункта б.
Коэффициенты вида Kq<(,>в процессе расчетов корректируются в зависимости от
знака приращения Д/^* = F ^ - |
F^~l>; так, уменьшаются, например, втрое те из |
поправочных коэффициентов |
дри параметрах ая. численные значения |
коэффициентов влияния которых (4.37) или (4.38) сменили знак на £-1 итерации.
Процесс решения задачи в случае невыхода всех параметров или части из них на границы (4Л) или (4.9) прекращается:
-либо до достижении численными значениями коэффициентов влияния (4.37) или (4.38) параметров, не вышедших на границы, достаточно малых, наперед заданных величин;
-либо ДО получении приращения функционала F ^ , меньшего наперед заданной величины /^ад, подряд на заранее заданном числе итераций.
В качестве искомого оптимального варианта принимается вариант, доставивший экстремальное значение функцоналу F*, с соответствующими, теперь уже оптимальными значениями параметров.