1252

ленные достижения. Типичным примером является совместное

использование аппроксимаций граничного типа, дающих прекрас­ ные результаты при моделировании сингулярностей и бесконечных

областей, и стандартных классических аппроксимаций конечными элементами в областях, где геометрию задачи удается детальнее промоделировать с помощью нерегулярного измельчения сетки [1].

Еще одну возможность открывает одновременное использова­

ние глобальных и локальных базисных функций. На простых при­

мерах было показано, что глобальные базисные функции типа

применявшихся в гл. 2 часто дают хорошие результаты даже при

несколько меньшем числе параметров, чем соответствующие ло­ кальные аппроксимации, основанные на стандартных конечно-эле­

ментных или конечно-разностных выражениях. Если задача лишь

незначительно отличается от такой, в которой глобальное реше­ ние дает хорошую аппроксимацию, то в качестве иерархического уточнения может служить локальное конечно-элементное выра­

жение [2].

Итоговым примером возрастающих преимуществ, связанных с унификацией понятий, является, пожалуй, современное исполь­

зование конечно-разностных аппроксимаций на нерегулярной сетке.

Здесь нельзя воспользоваться простым разностным оператором из

гл. 1, но можно построить локальные многочленные базисные

функции, основывающиеся на соседних узловых точках, и полу­

чить нужную аппроксимацию с помощью коллокации или какой-

либо другой разновидности метода взвешенных невязок. Этот

единообразный подход к приближенному численному решению реальных физических задач позволяет систематическим образом рассматривать наиболее важные в практическом плане вопросы анализа: 1) насколько точным является полученное решение? 2) как

получить решение с нужной точностью? Ответам на эти вопросы

посвящены остальные параграфы этой главы.

8.2. Погрешность дискретизации в численном решении

Погрешность приближенного численного решения задачи обу­

словливается тремя основными причинами. Прежде всего это исполь­

зование аппроксимации базисными функциями, приводящее к тому, что дифференциальные уравнения и соответствующие им краевые

условия удовлетворяются неточно, возникающая при этом погреш­

ность носит название погрешности дискретизации (или аппрокси­

мации). Кроме того, на любом этапе вычислений может быть

с тем, что выбранная для численного решения математическая модель лишь приближенно описывает физическое явление. Воз­

растание точности современных ЭВМ позволяет уменьшить вторую

из этих погрешностей, вопрос же о погрешности математической

модели выходит за рамки данной книги (здесь считается, что ре­

шение математической модели является «точным»). Поэтому все

внимание будет сосредоточено на погрешности дискретизации, воз­

никающей при реализации описанных выше процессов аппрокси­

мации.

До сих пор при обсуждении погрешностей мы ограничивались формулировками (см. равенства (1.17) и (4.2)), в которых порядок погрешности дискретизации выражался через характерный шаг сетки. Такой подход сам по себе не позволяет определить вели­

чину ошибки дискретизации. Однако если имеется последователь­ ность решений на сетках с равномерно убывающим шагом, то

можно получить приближенную оценку точности найденного реше­

ния. Как правило, на практике желательно иметь как можно больше информации о возможных погрешностях, чтобы лучше распорядиться полученной аппроксимацией. Идеальной, очевидно,

была бы ситуация, когда для каждого дискретного решения с твер­

дой уверенностью можно было бы утверждать, что погрешность

не превосходит некоторого заданного значения, являющегося ра­

зумной оценкой реальной погрешности. Это позволило бы с по­

мощью последовательного уточнения продолжить решение до достижения нужной точности и в то же время повысило бы дове­

рие к процессам численной аппроксимации.

Хотя такая цель может первоначально показаться утопической (и действительно кое-кто считает ее недостижимой, так как точное знание погрешности предполагает знание точного решения), в этом направлении уже имеются существенные успехи, и в настоящее время оценки погрешностей могут использоваться для реальных дискретных вычислений. Имея такую оценку, пользователь может заключить, являются ли полученные им результаты удовлетвори­

тельными или необходимо дальнейшее уточнение решения. Как

правило, можно ожидать, что сведения о распределении погреш­ ности определяют методику проведения такого уточнения, и тогда это уточнение может быть осуществлено автоматически. Процеду­ ры такого рода, называемые адаптивными, позволяют с помощью ЭВМ эффективно проводить уточненйе сетки до достижения тре­

буемой точности. Очевидно, что могут быть использованы различ­

ные стратегии уточнения; некоторые из них более экономичны

в вычислительном отношении, но все они ведут к достижению

одной и той же цели. Мы не будем обсуждать далее эти вопросы: заинтересовавшийся ими читатель может обратиться к литературе

[3], здесь же вкратце рассматривается лишь основной вопрос об оценках погрешностей.

8.3. Мера погрешности дискретизации

На протяжении большей части этой книги рассматривалось

решение общей краевой задачи о нахождении неизвестной функ­

ции ф, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

где 3? и еМ— линейные дифференциальные операторы общего вида, а р и г — заданные функции.

Приближенное решение строилось в виде разложения по базис­

ным функциям

Очевидно, что локальная погрешность Е определяется просто по

правилу

где ф—Точное решение.

Так как поточечное вычисление погрешности затруднительно, можно воспользоваться некоторыми иными мерами для Е. Одной

Применение формулы Грина или интегрирования по частям показывает, что величина этой нормы позволяет судить о точно­ сти представления производных (например, напряжений в задачах

теории упругости).

Величина (8.4) тесно связана с невязкой RQ, задаваемой ра­ венством

причем простоты ради предполагается, что разложение (8.2) точно удовлетворяет краевым условиям. Чтобы установить эту связь

подставим в (8.4) выражение (8.3) для Е\

Учитывая этот результат и уравнение (8.1а), равенство (8.6) можно

В следующем параграфе будет показано, как используется выра­

жение такого вида для практического вычисления оценки погреш­

ности дискретизации.

8.4. Оценка погрешности дискретизации

Дя заданной конечно-элементной аппроксимации ф легко найти

Первое слагаемое, Rit определяется стандартным образом внутри

каждого элемента; второе слагаемое, R2, имеет вид дельта-функ­

ции Дирака на границах между элементами, где иногда, как было показано выше, некоторые из производных, входящих в J?^p, не

п/*с£г/*

Аналогичным образом в задачах теории упругости © представ­ ляет разрыв касательного напряжения на границах элементов.

Если невязки известны, то для оценки погрешности можно

использовать выражение (8.8). При измельчении сетки таким обра­

зом, что характерный размер h элемента стремится к нулю, по­

рядок погрешности аппроксимации достаточно гладкой функции

многочленом в пределе будет на единицу выше степени самого аппроксимирующего многочлена; чтобы убедиться в этом, доста­

точно разложить функцию в ряд Тейлора.

Рассмотрим разложение вида (8.2) с параметрами аи аг, ., ам и сделаем иерархическую добавку в виде еще одной базисной функции NM+1 и параметра ам+1, где NM+i представляет интер-

полицию следующего порядка; например, если решение основы­

вается на линейных элементах, то NM+l будет квадратичной иерар­

хической модой. На носителе этого дополнительного слагаемого

можно приближенно представить погрешность в виде

(Здесь интеграл следует понимать в обобщенном смысле, так как

В ряде случаев первый сомножитель в правой части после ин­

тегрирования по частям можно представить просто как

т. е. он будет обратным для соответствующей компоненты матрицы.

Используя равенство (8.86), получаем выражение для оценки погрешности

Так как иерархические функции могут добавляться на каждом

элементе, в общем случае можно вычислить такие члены на каж­ дом элементе, а затем просуммировать вклад отдельных элементов.

Как было указано выше, эта оценка справедлива только в асимптотическом смысле при ft, стремящемся к нулю, и, к сожа­

лению, в общем случае не верна на фиксированных сетках. На­

пример, функция NM+l может оказаться ортогональной к невязке и тогда оценка погрешности будет равна нулю. Мы предположили также, что при добавлении члена aM+1NM+1 к аппроксимации ис­

ходные параметры alt а2, . . . , ам остаются без изменения, и тем

самым пренебрегли взаимным влиянием новой моды и исходного

решения. Тем не менее равенство (8.16) чрезвычайно полезно, так как оно показывает, где следует с наибольшим эффектом провести

следующее уточнение иерархического типа, и с этой целью широко

используется в процессах адаптивного уточнения.

Чтобы получить более достоверную оценку погрешности, рас­ смотрим конкретный случай, а именно уравнение

и будем искать решение, используя линейные конечные элементы. При обсуждавшихся выше предположениях погрешность здесь

будет постоянна на каждом элементе, а иерархическая мода Мд|+1

является квадратичной функцией, обращающейся в нуль в узлах;

таким образом, сингулярная часть погрешности исключается. Равенство (8.16) теперь можно переписать в виде

щий случай переменных погрешностей, приводящий к формуле

и таким образом обеспечить получение ненулевой оценки погреш­ ности для линейных элементов. В гл. 4 было также отмечено, что для задачи, описываемой уравнением (8.17), иерархические моды

при соответствующем их выборе могут давать диагональные вклады в результирующую матрицу, т. е. исключается взаимное влияние

мод. Следовательно, оценка (8.19) будет «асимптотически точна»

при Л, стремящемся к нулю.

В качестве упражнения предоставляем читателю показать, что

Остается непростая задача показать, что эти оценки будут также

справедливы для дифференциальных уравнений более общего вида, когда имеют место эффекты взаимодействия мод. (Интересующе­

муся этой задачей читателю рекомендуется обратиться к соответ­

ствующему источнику [4].) Для решения практических задач в случае двух переменных с известным успехом применялась сле­

дующая формула оценки погрешности на элементе общего вида е

при использовании не вырождающихся сеток из четырехугольных элементов с четырьмя узлами:

погрешности (8.20), имеем

h

||£|| = (/z2/ 1 2 ) S i M ,

о

т.е. || Е |р =1/12 .

Чтобы выяснить, насколько точна эта оценка, необходимо

знать точную величину погрешности. Точное решение, найденное

интегрированием дифференциального уравнения с учетом краевых

условий, имеет вид

Ф = х (1— х)/2.

Так как для конечного элемента оба узловых параметра будут

равны нулю, из (8.3) сразу следует

Е = х(1 — х)/2.

Прямая подстановка в равенство (8.8) дает точное значение энер­

гетической нормы погрешности

I£ Вечная = — ^ERadQ,

а

откуда

ожидать для случая линейных элементов и постоянной невязки RQ)

дала точное значение.

Предположим теперь, что Q= — х, и рассмотрим опять погреш­ ность для одного линейного элемента. Тогда, согласно равенству

[Е ||2=1/36 .

Точным решением в данном случае является £ = х (1 — х2)/6,

и, следовательно, для точной энергетической нормы погрешности

имеемI

6

Рис. 8.2. Сходимость решений задачи о плотине, изображенной на рис. 8.1. а — исходный шаг, использующий линейные элементы. Погрешности в процентах к полной энергетической норме: ||£||<14.6 (точная), ||£||=7.3 (полученная с помомощью оценок) и ||£*||<21.6 (полученная с помощью корректирующих оценок верхней грани погрешности). Число неизвестных =118. б — третий шаг. Ошибки в процентах к полной энергетической норме: ||£||<6.0 (точная), ||£||=3.6 (полу­ ченная с помощью оценок) и ||£ *||=7 .8 (полученная с помощью корректирующих оценок верхней грани погрешности). Число неизвестных =206.

хические моды, так что получалась последовательность решений.

Применялся специальный адаптивный алгоритм, в котором к сетке

добавлялись только те степени свободы, которые позволяли быстрее

всего уменьшать оцененную погрешность решения. Таким образом, на получающейся в итоге сетке степени аппроксимирующих мно­ гочленов менялись от элемента к элементу, но при этом сохрани-