Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1252

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>


Рекомендуемая		литература
Collatz L.	The	numerical		treatment		of	differential	equations. — Berlin:
Springer, 1960.	[Имеется перевод нем. изд.					1951 г: Коллатц			Л., Численные ме
тоды решения дифференциальных					уравнений. — М.: ИЛ,			1953.]		prin
Finlayson В. A. The method of weighted							residuals and		variational
ciples. — New	York: Academic			Press, 1972.						Aca
Fried I. Numerical solution				of	differential equations. — New York:
demic Press, 1979.		Смолицкий		X. Л. Приближенные методы решения диффе
Михлин С. Г.,
ренциальных и интегральных уравнений. —М.: Наука, 1965.
Richards Т. Н. Energy methods in stress							analysis.— Chichester: Ellis Hor-
wood, 1977.	Fix	G. J. An	analysis of the				finite element		method. — Engle
Strang G.,
wood Cliffs: Prentice-Hall,			1973. [Имеется перевод: Стренг						Г., Фикс Дж. Тео
рия метода конечных элементов. — М.: Мир,							1977.]

ЧАСТИЧНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ

ИНЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ

7.1.Введение

При	решении краевых задач		в предыдущих главах рассмат
ривался	стационарный	случай,	т. е. искомое решение не зависело
от времени. Однако в		подавляющем большинстве практических

задач условия нестационарны (т. е. зависят от времени) и требу

ется	учитывать изменение решения		со временем. Как		правило,
нам	задано	состояние системы в некоторый		момент времени / = 0
и требуется		определить состояние	системы в	некоторые	последу

ющие моменты времени. Задачи этого типа часто называют зада чами с начальными данными. С ними часто приходится сталки

ваться при исследовании процессов распространения тепла и рас

пространения волн, а также динамического поведения конструкций.

Например, в § 1.2 было показано, как при формулировке задачи

теплопроводности естественным образом получается зависимость

решения от времени, приводящая к описывающему процесс не

стационарному уравнению (1.7).

В этой главе будут развиты методы решения задач с началь ными данными. Хотя при решении таких задач можно провести дискретизацию всей пространственно-временной области, удобнее

воспользоваться процедурой так называемой частичной дискрети

зации1), при которой исходное дифференциальное уравнение с

частными производными заменяется системой обыкновенных Диф

ференциальных уравнений. Полученная система может быть за

тем решена применением повторной дискретизации только по вре

мени или с помощью других, чаще всего аналитических, процедур-

Процесс частичной дискретизации сначала будет описан примени

тельно к краевым задачам, а затем будет рассмотрено его исполь зование для нестационарных задач.

7.2.Частичная дискретизация для краевых задач

Впредыдущих главах в основном рассматривалось решение

общей линейной краевой задачи, описываемой уравнением

^ ф -j-prrrO в Q

(7-0

х) В ряде книг этот подход называется методом Канторовича [употребляет ся также термин «метод прямых». — Перев.].

с краевыми условиями
			+ г = 0	на Г.			(7.2)
Принятый для решения этой задачи подход состоял в							использо
вании разложения		по базисным функциям
			м
		Ф « Ф = ф + 2		amNm,			(7.3)
			т —1
где базисные функции Nт в совокупности зависели от							всех не
зависимых	переменных		задачи, а	величины	ат предполагались
постоянными. При		этом	получалась	система	линейных		алгебраи
ческих уравнений,		а именно система
			Ka = f,				(7.4)
из которой можно было единственным образом найти							множество
значений	постоянных \ат , т = 1,2,			. . . , М),
Однако для ряда задач может оказаться удобным другой под
ход. Например, если независимыми				переменными		являются х, у
и г, то можно считать			величины ат зависящими,			скажем от уу а

базисные функции с областью определения Q зависящими только

от х и 2 .

Таким образом, равенство		(7.3) принимает вид
		м	am{y)Nm(х, г),
	Ф « Ф = ф +	2	am{y)Nm(х, г),	(7.5)
		m= 1
где	функции ф и Nт теперь таковы, что ф удовлетворяет			глав»
ным	краевым условиям на Q. Тогда при применении метода взве
шенных невязок производные от			ат по у сохраняются и	полу

ченные уравнения образуют систему обыкновенных дифференци

альных	уравнений с независимой	переменной у. Следовательно,
система	(7.4) заменится системой
	Ка + Cd&/dy+	. . . = f,	(7.6)
порядок	которой зависит от порядка высшей производной		по (/>
входящей в исходное уравнение (7.1).
Этот	подход полезен, в частности, в том случае, когда область

£2 является прямым цилиндром с образующей, параллельной оси у (такую область будем называть призматической). Если коэффици

енты в системе (7.6) не зависят от у, то эту систему (хотя бы в

принципе) можно непосредственно решить аналитически. Детали

применения этого метода будут проиллюстрированы повторным решением задачи кручения из примера 1.5.

Пример 7.1.	Напомним, что требуется		решить	уравнение
д\/дхг+ д\/ду2 = —2 в		прямоугольнике —3 <	х < 3,	—2 ^ у < ,
< 2 с краевым	условием	ф = 0.

Будем искать решение в виде

м
Ф Ф - + + 2	йт(У) Nm(*)•
т= 1

Тогда областью Й изменения х будет отрезок—З ^ л г ^ З . Можно

удовлетворить краевым условиям в двух граничных точках этого отрезка, взяв гр = 0 и потребовав, чтобы для* базисных функций

выполнялись равенства Nm= 0 при х = ± 3 . Ранее было отмечено,

что эта задача симметрична относительно х = 0 и, таким образом, подходящие базисные функции могут быть определены по правилух)

	Nm(x) = xi{m~1) (9 — х2),						т = 1,2,
Такой	выбор гарантирует				удовлетворение краевым				условиям при
л = ± 3 ,	а также учитывает симметрию задачц.							Тогда		аппрокси
мация принимает вид			м
			м		ая (у)хгш~1)(9—х2)
		Ф =	2	1	ая (у)хгш~1)(9—х2)
			т=	1
и краевые условия при у = ± 2						будут	удовлетворены,			если для
функций ат(у)		выполняются равенства
	ат(у) = 0		при		у = ± 2 , т = 1 , 2 , . . . .				М.
Ограничиваясь		рассмотрением				одноэлементной		аппроксимации,
имеем невязку
	Ra =	б2ф	<32Ф		■2 =	—2at+ (9— хг) ^ 5			+ 2.
	Ra =	дх2	ду*		■2 =	—2at+ (9— хг) ^ 5			+ 2.

Заметим, что теперь интегрирование производится только по об

ласти Q, т. е. на отрезке		—З ^ х ^ З . Таким образом, уравнение
метода	взвешенных невязок здесь записывается в виде
	з
	2 J {—2а! + (9— х2) tfajdy* + 2) W l (х) dx = О,
	О
причем	весовые функции можно выбирать различным образом. По
лагая	Wl (x) = 8(x— 1.5),	получаем поточечную коллокацию с уз
лами х = ± 1 .5 , т. е.
	—2а, +	(27/4) tfajdy* + 2 = 0.

Это уравнение можно проинтегрировать точно, что дает

а1 = ЛсЬ К8/27 t/ + Bsh 1/8/27 y + l ,

J) При больших значениях		М для ослабления влияния вычислительной
погрешности лучше	взять Nт =	Т2т (х/3) (9—х2), где Тп —многочлены Чебы
шева. —Прим, ред.

где А и В— постоянные. Так	как	согласно краевым условиям
на аг имеем
А = ~ shJ/32/27,		fi = 0,
одноэлементная аппроксимация	принимает вид

ф = (1— sh УЩ ПсЪ V&JTFу) (9—х2).

Это дает значения 77.32 для крутящего момента и 3.901 для

максимума касательного напряжения при точных значениях 76.4

и 2.96 соответственно.

Упражнения

7.1. Повторно решить задачу из примера 7.1, используя одноэлементную аппроксимацию и метод Галеркина. Сравнить ответы с найденными методом поточечной коллокации.

	(р =Х
<р =0	<Р=У

< р = 0

К упражнению 7.2.

7.2. Решить задачу стационарной теплопроводности в квадрате 0 ^ х ,у < ^ < ; 1, когда температура <р удовлетворяет показанным на рисунке краевым ус

ловиям. Разбивая отрезок					на три	равных конечных элемента,		полу-
		4	ат (у) Nт (х),			где Nm(х) —кусочно-линейная ба
чить решение вида	<р=	2
зисная функция.		лл = 1
	0	х	1 строится равномерная конечно-разностная сетка
7.3. На отрезке
с узлами хъ х2.........хм , где * i = 0,					х м = 1 *	Эта сетка используется для ре
шения задачи из упражнения			7.2,		причем <р/(у) означает		изменение темпера
туры на прямой x =	xj.	Показать,			что дифференциальное		уравнение	метода
прямых, соответствующее x — Xj,				можно записать в виде
	d 2q>jldy2 + (ф /			+ 1 — 2фу +		ф / - 1 )/Д г = о ,

где Д — шаг сетки. Найти решение для случая М = 4.

7.3. Частичная дискретизация для нестационарных задач

Для многих линейных нестационарных физических задач диф

ференциальное уравнение, описывающее процесс, можно пред

ставить в виде

	+ р — ad(p/dt— fid2(p/dt* = 0				в й,		(7.7)
где 3 — линейный		оператор,	включающий		дифференцирование
только по пространственным переменным, а р, а						и р— заданные
функции координат		и времени.		Приведем	два	примера	задач,
подпадающих под эту общую формулировку.
1. Поперечные колебания натянутой струны						плотностью р с
натяжением Т описываются уравнением
	д\/дхг— (р/Т)д\1дР = 0,						(7.8)
совпадающим с	(7.7)	при а =	р =	0, Р = р/Т.и	Зц> = д\/дх2.
2. Линейный	нестационарный			процесс переноса тепла			в дву

мерной области при теплоемкости рс и постоянном коэффициенте

теплопроводности	k описывается		уравнением					(1.7),		принимаю
щим вид
k (д2<р/дх2-f- д\/ду2) +				Q— рс дер/д/ =					0.	(7.9)
Это уравнение	совпадает с	(7.7)		при		Р = 0,			а =	рс, p = Q и
Зц> = k (д2ф/дх2 +	д2<р/ду2).									(если р Ф 0)
Кроме того задаются значения функции <р									и
дер/d/ во всех точках пространственной						области			Q при t = 0 (на
чальные условия)	и краевые	условия			на		границе Г			пространст
венной области,	выполняющиеся		для		всех		t ^	0.	В	предыдущем

параграфе было показано, что метод частичной дискретизации

особенно полезен для задач в призматических областях. Поэтому

можно ожидать, что этот метод					непосредственно применим					к не
стационарным задачам, если				пространственная				область	Q не ме
няется	со временем.
Применение метода частичной дискретизации к решению урав
нения	(7.7) описывается		почти		так же, как		в	предыдущем		пара
графе. Используем базисные функции Nm, зависящие									только от
пространственных переменных,					и запишем аппроксимацию в виде
	Ф =	Ф +	Sм	am(t)Nm(x,		у,	г),			(7.10)
			m = 1
где	и Nm выбираются		таким		образом,	чтобы выполнялись глав
ные краевые условия		на	Г 1).		Тогда использование метода					взве-

х) Для повышения точности часто требуют чтобы Nm удовлетворяли всем краевым условиям,— Прим. ред.

шенных невязок позволяет получить систему дифференциальных уравнений, которая в векторной записи выглядит так:

Md2a/d/2 + С da/dt + Ка = f .

(7.11)

Здесь компоненты отдельных матриц и правой части определя

ются равенствами

M ln =	^ J W lN n dQ, C lm^ ^ a W lN mdQ,
	Q	ST
K lm=	- \ w i <?Nmd&,	(7' 12)
	U	Q

Остается решить эту систему обыкновенных дифференциальных

уравнений с заданными при t = О значениями а и (если Р=И=0) da/dt. Это классическая задача теории обыкновенных дифферен

циальных уравнений, и в принципе ее можно решить точно.

Пример 7.2. Рассмотрим

задачу

нестационарной теплопровод

ности

на

отрезке

0 ^ л :^ 1 .

Предполагается, что

тепловые

свой

ства заданы

равенствами

k = p c= l

и что для

начального

рас

пределения температуры

имеем ф = х(1 — х). На протяжении всего

времени

температура при

х = 0 и х= \

поддерживается

равной

нулю,

нужно

определить

результирующее распределение тем

пературы

более

поздние

моменты времени.

Таким

образом,

требуется

решить одномерное нестационарное уравнение тепло

проводности

д2ц>/дх2— dcp/dt = О

с начальными данными

Ф = х (1 —л;)

при

t = 0

и краевыми

условиями

Ф =

при х = О, 1

для

t^ O .

Используем метод конечных элементов и разобьем пространствен ную область (т. е. отрезок O ^ x ^ l ) на М элементов с нуме рацией узлов и элементов, показанной на рис. 7.1, а. Затем применим метод частичной дискретизации, записывая аппроксима цию в конечно-элементной форме как

			м + 1
		ф =	т=S1	ч>
где	фи— зависящая от		времени аппроксимация		температуры в
узле	т , а	Nm— стандартная		линейная базисная	функция,	ассо
циируемая		с этим узлом	(см.	рис. 7.1, б). Главные	краевые	усло-

Узлы 1 2 3 А	M-ZM-1 М М+1
	о—о——о— о

Элементы CDCDCD

сс=0

Рис. 7.1. а — нумерация элементов и узлов, использованная при решении задачи из примера 7.2; б — глобальная кусочно-линейная базисная функция, ассоции руемая с узлом т .

вия при	х = 0 и	х = 1	можно	непосредственно				записать в		виде
		Ф1 =	ФЛ1+1 =	0	для	всех /.
Однако ранее было показано, что					на	данном	этапе		удобнее	рас
сматривать срг и срм+1 в качестве неизвестных и							учесть		эти главные
краевые	условия	после	завершения			процесса		ансамблирования
матриц и	правых	частей.
Уравнение метода взвешенных					невязок с		аппроксимацией по
Галеркину имеет		вид

j(w > —			w ) Ntdx= 0' * = 1.2,			M+ l.
О
Эквивалентная		слабая		форма, получаемая	интегрированием по
частям, записывается				так:
дф dNt
кгdx	+	dt 'v*		/ =	1,	2.......... M + l .
Подставляя	сюда		аппроксимацию ф, приходим			к системе урав-
нений
*N t dNm							1
dx	dx	dx		NtNmdx		N1 dx \ o *
					/ =	1, 2,	I M + l ,

которую можно	представить в векторной форме				(7.11), а именно
в форме		С dy/dt +
		С dy/dt +	K<jp =	f.
Здесь типичные	компоненты матриц			и правой	части имеют вид
1		1
Clm= J NtNmdx,	Ktm=	J (dNjdx) (dNjdx) dx,			fl = [(d$/fte) iV;]S
0		0
и
	фг =	(фх, ф2,	Фл. Фя+l)-

При использовании линейных элементов большинство компонент

вектора-столбца f равно нулю. Единственными отличными от нуля

компонентами будут

fi = — ду/дх |ж=0 и fM+x = ду/дх |*=1.

Нетрудно вычислить приведенные матрицы элементов, типичный

вид которых

“1/3	1/6“	_1_	1	— Г
ce= he 1/6	1/3J* ке	he	— 1	1 1

а затем с помощью стандартного процесса ансамблирования най


ти матрицы С и	К.	Наконец,	следует учесть	в системе		главные
краевые условия	(с	помощью	вычеркивания	уравнений,		соответ
ствующих узлам 1 и М + 1 , и замены их условиями					= cpM+1 = 0).
Тогда изменение	температуры		в узлах по времени		можно найти

с помощью решения результирующей системы дифференциальных уравнений.

Продемонстрируем этот процесс, ограничившись рассмотрением

двух линейных элементов равной длины,

т. е.

положим

М = 2,

ft1 = /i2= l/2 .

Тогда ансамблированная

система

уравнений

будет

иметь вид

“ 1

( Г

# 1

дф

Ф1

л'=0

d<p2

дх

+ 2

ф2 =

dqp3

_Фз_

дф

дх

х-=1-

3_ L d t J

Учитывая

главные краевые условия при

х =

и л* =

получаем

г !

0 л г

1 — 1

дф

дх

л:= 0

J_ 1

£ф2

+ 2 — 1 2

ф2

2 6 3 6

0 — 1

дф

дТ дг= 1-

3_j L

в данном случае поведение неизвестной функции ср2 описывается вторым уравнением, а именно уравнением

(1/3) d(fjdt -f- 4ср2 = 0,

решением

которого

является

tp2 =

Ае~121, где

А — постоянная.

Так

как ср2 принимает

заданное значение

при

t = 0, то

А = 1/4.

Как

было

показано

выше,

в случае

необходимости

можно затем

использовать первое

и третье

уравнения

для

того,

чтобы найти

аппроксимации изменения

потока

тепла

на границах

х = 0 и

х = 1

по времени.

Упражнения

7.4. Перемещение гибкой струны плотностью р с

натяжением

Т описы

вается уравнением д2ф/дх2 = (р/Т) с?2ф/д/2. Концы струны

закреплены

в точках

х = 0 и х = \ \

первоначально

струна

находится в покое (dy/dt |/= о = 0)

и имеет

форму (p = sinnjt. Используя

качестве базисных

функций многочлены

от х и

применяя метод частичной дискретизации, найти одноэлементное приближенное решение, описывающее последующие перемещения струны.


	7.5. Повторить		упражнение 7.4, используя три		равных конечных элемента
и кусочно-линейные базисные функции от х.					на	изгиб EI и плотностью
	7.6. Поперечные колебания балки			жесткостью
р описываются		уравнением д4ф/дх4-\|- [р/(ЕТ)] д2ф/д/2 =				0,	где ф — перемещение.
Пусть балка		имеет	единичную длину	и оба ее конца			горизонтально защем
лены. Найти одноэлементное приближенное решение,						если первоначально бал
ка	имеет форму ф ==х2 (1 — х)2 и dy/dt \|*=0 = 0.
в	7.7. Пусть ф = (1—х2) (1—у2)— первоначальное распределение температуры
	квадрате — 1		1, причем на	границе квадрата			все время поддержи

вается нулевая температура. Найти одноэлементное приближенное решение, описывающее изменение температуры со временем.

7.8. Пусть в упражнении 7.7 на квадрате 0 < ;*,(/< ;1 используется били нейный элемент с четырьмя узлами. Найти аппроксимацию для изменения температуры со временем.

7.4. Процедуры аналитического решения

Выше было показано, что с помощью метода частичной диск

ретизации многие нестационарные задачи могут быть сведены

к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

М d2a./di2+ С da/dt + Ка = f,

(7.13)

где при использовании метода Галеркина в общем случае мат

рицы М, С и К являются симметричными. Рассмотрим теперь

возможные методы решения таких систем обыкновенных диффе

ренциальных уравнений. В общем случае эта система уравнений

может быть нелинейной (такой будет, например, система, полу

чающаяся при решении задачи нестационарной теплопроводности в материале с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры). Однако в данном параграфе мы ограничимся рас смотрением только линейных систем, поскольку такие системы в

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.8 Mб11240.pdf
#
15.11.202213.03 Mб141245.pdf
#
15.11.20224.76 Mб21246.pdf
#
15.11.202213.05 Mб231247.pdf
#
15.11.202213.24 Mб41251.pdf
#
15.11.202213.25 Mб51252.pdf
#
15.11.202213.37 Mб131258.pdf
#
15.11.202213.42 Mб141259.pdf
#
15.11.202213.44 Mб111261.pdf
#
15.11.202213.47 Mб321262.pdf
#
15.11.202213.49 Mб21264.pdf