ГЛАВА 4. ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

4.1. М о д е л ь З а к с а

Одной из первых попыток построения одномерной модели поли­ кристалла на основе рассмотрения совокупности монокристаллов была модель Закса [133, 158]. В данной модели зерна полагались ориентиро­ ванными хаотически (по равномерному закону), взаимодействием меж­ ду зернами пренебрегалось (в силу чего эту модель можно назвать «полностью несовместной» как по деформациям, так и по напряжени­ ям). Модель Закса в исходной формулировке предназначена только для определения предела текучести при одноосном растяжении поликри­ сталлического образца по известному значению критического напряже­ ния сдвига в системах скольжения (СС) кристаллитов (зерен) и задан­ ному закону распределения ориентаций кристаллографических систем координат (КСК) зерен по отношению к лабораторной системе коорди­ нат (ЛСК).

Рассмотрим одноосное нагружение цилиндрического образца из поликристаллического материала; ось х\ с единичным вектором базиса ei направим вдоль оси образца. В рассматриваемом случае все компо­ ненты тензора напряжений Коши а за исключением ац полагаются ну­ левыми. Мысленно пересечем образец плоскостью, перпендикулярной его оси, и выделим все зерна, пересекаемые данным сечением (рис. 4.1). В модели Закса полагается, что каждое из зерен также находится в со­ стоянии однородного одноосного растяжения (сжатия), как и образец в целом, однако величины напряжений Gi i в каждом зерне могут отли­ чаться от напряжений в других зернах.

Принимается, что достижению предела текучести образца в целом соответствует активизации хотя бы одной СС в каждом зерне сечения. Величина напряжений в каждом зерне определяется из условия дости­ жения касательным напряжением в наиболее благоприятно ориентиро­ ванной СС («слабейшем звене») величины критического напряжения сдвига тс, считающейся известной для анализируемого типа кристалли­ тов и одинаковой для всех зерен. Таким образом, для каждого из зерен,

попавших на введенное сечение, зная ориентацию КСК относительно ЛСК, вначале определяется фактор Шмида

( X >

<*)\ для каждой из СС данного зерна (для рассматриваемого случая одноос­ ного нагружения

< ;= e iei:b<X!. ( X w \

где п —номер зерна, после чего устанавливается его максимальное зна­ чение. Далее для каждого л-го зерна напряжение oj"’ определяется как

= t c / m a x w (‘ >).

Обозначив через S(„) площадь поперечного сечения я-го зерна, пе­ ресекаемого введенным сечением, а через S —площадь поперечного се­ чения образца в целом, предел текучести при одноосном нагружении определяется тогда соотношением:

п=1

S

Расчеты по модели Закса дают значение макроскопического на­ пряжения текучести os, равное 2,2тс. Хотя полученный результат суще­

ственно (примерно на 30 %) отличается от экспериментально опреде­ ленного предела текучести, его все же следует признать удовлетвори­ тельным для своего времени.

К основным недостаткам модели Закса относятся невыполнение условий равновесия и совместности деформаций соседних зерен, неучет упругих деформаций; указанные недостатки отмечаются во многих ра­ ботах (например, [119], где приведен и краткий обзор ранних работ по физическим теориям пластичности). Модель Закса может быть исполь­ зована для определения предела текучести при одноосном нагружении, для построения кривой о—е требуются дополнительные предположения.

4.2. М о д е л ь Т е й л о р а

Вероятно, первой достаточно реалистичной попыткой установле­ ния связи а-е при одноосном нагружении поликристалла на основе со­ отношений для монокристалла можно признать модель Тейлора [164]. При её построении Тейлором использованы следующие гипотезы:

1.Поликристалл представляет собой агрегат из большого числа хаотично ориентированных (по равномерному закону) зерен.

2.Поведение каждого из зерен описывается жесткопластической моделью; деформации зерен осуществляются только кристаллографиче­ ским сдвигом по известным для данного материала кристаллографиче­ ским системам скольжения (СС).

3.Упрочнение одинаково во всех системах скольжения и опреде­ ляется свойствами монокристалла.

4.Границы зерен имеют нулевую толщину, не осуществляют вклада в механизмы неупругого деформирования.

5.Деформации (или деформации скорости) полагаются однород­ ными в пределах макроскопического представительного объема (гипо­

теза Фойгта), т.е. е = = <ер> = е (или d = = <dp> = 1У= D), п - номер кристаллита (зерна). Кроме того, поскольку деформации осуще­ ствляются сдвигом, в этом случае отсутствует изменение объема, т.е. gP(«)_ ер(«)= <gP> (или d 'p(n)= d^"\ d - девиатор тензора d).

В кристаллах с ГЦК- и ОЦК-решеткой число СС существенно пре­ вышает число независимых компонент девиатора деформаций (см. п. 3.1), что обусловливает неоднозначность определения сдвигов по СС по задан­ ному девиатору деформаций. Указанное обстоятельство является одной из существенных трудностей построения физических теорий пластичности.

Для ее преодоления Тейлором был предложен эвристический принцип, суть которого состоит в следующем. Полагается, что любая деформация (или приращение деформации) осуществляется сдвигом не более чем по пяти независимым СС, определенным из условия мини­ мальности суммарного сдвига. Представляющий, по существу, гипотезу данный принцип минимума сдвига основывался на наблюдениях за по­ ведением одиночных кристаллов.

Обозначим через dyj*j приращение сдвига в п-м зерне по к-й СС

при этом в силу принятой гипотезы Фойгта должно выполняться огра­ ничение

где d' = D' - предписанный (заданный в каждый момент деформирова­ ния) девиатор деформации скорости; здесь в обозначении ориентацион­ ного тензора появился индекс и, относящийся к номеру зерна; в даль­ нейшем он будет сохраняться только в случае, если из контекста не яс­ но, что ориентационный тензор относится к системам скольжения определенного зерна. Заметим, что в случае отказа от предположения об изотропном упрочнении в каждом из зерен принцип минимума сдвига трансформируется в принцип минимума мощности, согласно которому действительные скорости сдвига доставляют минимум мощности (по сравнению с кинематически возможными скоростями сдвигов):

Более подробно принцип минимума мощности рассмотрен ниже. Как отмечено выше, критические напряжения сдвига в исходной

модели Тейлора приняты одинаковыми во всех системах данного зерна и обозначаются как т*п) Тогда элементарная работа йЛ(п\ произведен­ ная в /7-м зерне объемом V~n\ определяется соотношением:

*=1

где K„ - число активных систем скольжения в данном п-м зерне в рас­ сматриваемый момент нагружения.

Элементарная работа <14, производимая на сдвигах по активным СС в агрегате из N монокристаллов, определяется следующим соотношением:

Заметим, что в правой части (4.5) суммирование по числу актив­ ных СС осуществляется от 1 до К„, т.е. в различных зернах это число может быть различным (1< К„ < 5).

В модели Тейлора полагается, что вся подводимая к образцу меха­ ническая энергия расходуется на совершение пластической деформации. В случае одноосного нагружения (при действии напряжения Еп) элемен­ тарная работа внешних сил в предположении одноосного макроскопиче­ ского напряженно-деформированного состояния определяется как

s ndS„ Е Vм ) s Sudef, ( 2 v<"’) •

Тогда, приравнивая работу внешних напряжений и работу внут­ ренних сдвиговых напряжений, получаем:

Предполагая, что все зерна имеют одинаковый объем, окончатель­ но получаем:

Последнее соотношение позволяет построить кривую одноосного нагружения поликристалла с использованием модели монокристалла. Процедура пошагового построения кривой состоит в следующем:

—Пусть кривая построена для определенной предшествующей (макро)

деформации £ 1Ь т.е. известны напряжения Еп во все предшествующие момен­

ты нагружения, накопленные сдвиги, критические напряжения сдвига во всех зернах; ориентация зерен полагается неизменной и известной.

- Задается достаточно малое приращение деформации А£ц, являющееся

одновременно приращением главной деформации Д81 = Д8 ц; из условия не­ сжимаемости определяются два других главных значения приращений дефор­

маций Д8г = Д8з = - 1/2Д81 (при этом А£2=А£22, Д £з = Д8зз, все остальные

компоненты тензора Д8 равны нулю). Следует подчеркнуть, что в данном слу­

чае главные оси тензоров 8 и Д8 совпадают и неизменны. По заданному тен­

зору Д£ данного шага нагружения в каждом зерне определяются приращения сдвигов по активным СС, обеспечивающие минимальность приращения суммарного сдвига.

- По накопленным сдвигам (с учетом приращений на рассматри­ ваемом шаге) определяются критические напряжения сдвига в каждом зерне т(си), п = 1, N , после чего легко определяется значение правой части (4.7) и величина 2ц.

Тейлор применил описанную процедуру для построения кривой одноосного деформирования алюминия (ГЦК-решетка). Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными, что под­ тверждает приемлемость модели для рассмотрения, по крайней мере, одноосного нагружения.

Таким образом, модель Тейлора [164] сводится к минимизации мощности работы на сдвигах (в пространстве скоростей сдвигов) (4.3) при ограничении (4.2), после чего для определения девиатора напряже­ ний используется закон Шмида с ориентационными тензорами, соответ­ ствующими активным системам скольжения.

Постановку задачи минимизации мощности для каждого зерна можно переформулировать следующим образом. Введем обозначения (определив компоненты тензоров в базисе ЛСК и опуская знак симмет­ ризации (S)):

Тогда задачу (4.3)-(4.2) можно записать в канонической форме за­ дачи линейного программирования [29]:

min сгх,

Ах = Ь, (А) х —0.

Процедура решения следующая: из решения возможных для дан­ ного типа кристаллов систем линейных алгебраических уравнений (Аг) (каждая из систем содержит в общем случае 5 уравнений) определяются соответствующие наборы скоростей сдвигов; из них сразу «отбраковы­ ваются» решения, содержащие отрицательные компоненты вектора х. Из оставшихся «наборов» определяется удовлетворяющий (Ai). Доста­ точно подробно процедура решения, основанная на технике линейного программирования, рассмотрена в [176].

Отметим, что сформулированной выше классической задаче ли­ нейного программирования (А) можно, используя формализм линейно­ го программирования [29], поставить в соответствие эквивалентную ей двойственную задачу:

(Ад)

Этот двойственный принцип максимума работы, в котором варьи­ руемыми параметрами являются напряжения, был доказан в работах Бишопа-Хилла [73-74], исходя из физики пластичности монокристалла. Задача максимизации мощности (Ад) также представляет собой задачу линейного программирования, решение которой соответствует одной их вершин многогранника текучести; из теории линейного программиро­ вания известна эквивалентность этих формулировок.

Заметим, что в собственно модели Тейлора девиатор напряжений вообще отсутствует, напряжения априори полагаются такими, что акти­ визируют все необходимые для реализации предписанной скорости де­ формации системы скольжения, причем число СС равно числу незави­ симых компонент девиатора напряжений. Компоненты девиатора на­ пряжений определяются на втором этапе, после определения активных СС и скоростей сдвига по ним. Для этого используется закон Шмида, представляющий в этом случае систему линейных алгебраических уравнений относительно компонент девиатора напряжений (число уравнений равно числу активных систем скольжения).

Резюмируя, можно отметить следующие проблемы, возникающие при применении модели Тейлора:

-неединственность определения совокупности 5 скоростей сдви­ га, реализующих предписанный девиатор скоростей деформаций;

-возможное несоответствие напряженного состояния виду нагру­ жения (например, при одноосном нагружении напряженное состояние может отличаться от одноосного);

-невозможность определения тензора напряжений по скоростям девиатора деформаций, поскольку имеем материал со связью (несжи­ маемость);

-не исключена ситуация, когда минимум мощности достигается на совокупности систем скольжения с числом нетривиальных скоростей

сдвига, меньшем 5 (например, при совпадении систем скольжения с плоскостями и направлениями главных скоростей сдвига). Эта ситуа­ ция соответствует нахождению изображающей точки в пространстве напряжений (ИТН) на грани или ребре многогранника текучести. Ряд авторов трактует данную ситуацию как так называемое вырождение системы уравнений. Это представляется не совсем верным. Действи­ тельно, в модели Тейлора поиск осуществляется именно в вершинах многогранника, и число уравнений должно соответствовать числу неиз­ вестных компонент девиатора напряжений (случай большего числа упомянут выше). Однако в данном случае (4.3) не дает критерия отбора единственного набора активных систем скольжения и решению с точки зрения минимума мощности сдвига удовлетворяют все ИТН в вершинах многогранника текучести, примыкающие к данной грани или ребру, хо­ тя напряжения при этом существенно отличаются. Последнее возможно, например, в случае чистого сдвига при ориентации одной из систем скольжения, в точности соответствующей сдвигу по данной системе;

-невыполнение условий равновесия на границах зерен;

-сложность реализации модели, связанная с необходимостью оп­ ределения активных систем скольжения и сдвигов в них, доставляющих минимум суммарному сдвигу. Процедура решения данной задачи ми­ нимизации оказывается весьма трудоемкой;

-неучет в модели Тейлора упругих деформаций.

Достаточно грубым является также предположение об однородно­ сти деформаций и напряжений в поликристаллическом агрегате, что не соответствует теоретическим (см., например, [156]) и эксперименталь­ ным результатам, особенно в случае сложного нагружения. В реальных

процессах деформирования микродеформации и микронапряжения не­ однородны даже в пределах каждого зерна и субзерна.

Заметим, что часть (п. 2, 3, 4) из указанных выше недостатков в известных авторам работах не отмечалась. Однако и отмеченных ра­ нее оказалось вполне достаточно, чтобы стимулировать исследователей к совершенствованию модели Тейлора. В первую очередь появились работы, направленные на «подведение» под модель Тейлора более глу­ бокой математической «базы», замена интуитивно высказанных поло­ жений математически строго доказанными. Значительное внимание

вработах последнего десятилетия уделяется законам упрочнения по системам скольжения. Например, в работе [174] за основу принимается закон упрочнения типа Воуса, который модифицируется для учета взаи­ модействия дислокаций разных систем скольжения, в том числе анни­ гиляции дислокаций при изменении направления нагружения. При этом основные положения и гипотезы модели Тейлора остались неизменны­ ми. К числу наиболее ярких работ этого направления относятся статьи Бишопа и Хилла [73, 74], подробно анализируемые ниже.

4.3.М о д е л ь Би ш о п а - Х и л л а

Сточки зрения физических гипотез модель Бишопа—Хилла прак­ тически не отличается от модели Тейлора, основное отличие состоит

вее математической строгости, наличии доказательств основных поло­ жений, принимаемых в модели Тейлора как постулаты. По существу, данная модель (равно, как и модель Тейлора) является двухуровневой (мезо- и макроуровни). В модели макроуровня используется понятие

поверхности текучести,/(S) = Gs, при этом построение поверхности те­ кучести осуществляется с применением модели мезоуровня; принима-

Э/'

ются соотношения ассоциированного закона течения, И'р —А,— • ПолаaS

гается, что упругими деформациями можно пренебречь; пластическое деформирование осуществляется без изменения объема, D'p = Tf. В тео­ рии используется также известный в теории пластичности принцип мак­ симума работы: из всех возможных (т.е. не нарушающих условие теку­ чести) напряжений действительное напряжение производит максималь­ ную работу на приращении (пластических) деформаций.

В цитируемых работах Бишопа и Хилла доказывается также об­

ратное (в определенном смысле) утверждение: если для заданного d£ напряжения £ доставляют стационарное (или максимальное) значение работе по сравнению со всеми близкими напряжениями £ , не выходя­ щими за пределы поверхности текучести, то существует пластический потенциал, и он совпадает с поверхностью текучести; в случае макси­ мальности работы соответствующая поверхность (изопотенциальная или поверхность текучести) является строго выпуклой.

На мезоуровне (уровне зерна) модель использует все основные предположения, принятые в модели Тейлора. Полагается, что упрочне­ ние одинаково в активных и неактивных системах скольжения; однако при этом в активных системах возможно различие критических напря­ жений по противоположным направлениям скольжения, т.е. условие те­ кучести имеет вид

В оригинальном варианте модели [73, 74] законы упрочнения практически не обсуждаются, поскольку не приводят к изменению структуры теории и ее основных соотношений.

Для монокристалла формулируется и доказывается принцип мак­ симальности (максимума) работы. Пусть de - приращение деформации, реализующееся в монокристалле, а - тензор напряжений, вызывающий эту деформацию. Пусть имеется другой тензор напряжений с*, не на­ рушающий условие текучести. Через dy (А) обозначим элементарные

сдвиги по активным системам скольжения, так что d£ = 2]m|s))dy(t),

к

причем суммирование ведется только по номерам активных систем скольжения. На активных системах скольжения должно выполняться

сдвиговое напряжение в к-й системе скольжения, соответствующее на­ пряжению а*. В силу предположения о допустимости а* (т.е. ненарушение условия текучести) имеем:

Отметим также, что знаки и х(А) в данном случае всегда одина­ ковы и положительны (каждое из направлений в плоскости скольжения образует собственную систему скольжения). Тогда нетрудно установить следующее соотношение:

Соотношение (4.9) представляет собой математическую запись принципа максимальной работы для монокристалла. Следует отметить, что здесь принцип доказывается, а не постулируется, как это принято в классической теории пластичности.

Отметим, что в физических теориях часто используются понятия геометрически и физически возможных систем сдвигов или при вектор­

ном представлении у в К." - соответствующих векторов сдвига. Вектор сдвига у называется геометрически возможным, если он реализует пред­ писанную пластическую деформацию г15(аналогично - для приращений dy и dsp или скоростей у, dp). Вектор dy называется физически возмож­ ным, если он реализуем для данного напряженного состояния, т.е. в соот­ ветствующих системах скольжения выполняется условие текучести.

Для определения физически и геометрически возможных векторов (приращений) сдвига dy в теории Бишопа-Хилла используется упомя­ нутый выше принцип минимума сдвига. Пусть de - задаваемое прира­ щение деформаций, а - тензор напряжений, инициирующий эту дефор­

мацию активизацией приращения сдвига dy и удовлетворяющий уело-

•ff

вию текучести. Предположим, что dy - вектор приращения сдвига, также эквивалентный de (т.е. геометрически возможный), однако не обязательно вызываемый некоторым напряжением, удовлетворяющим условию текучести (т.е. не являющийся физически возможным). Заме­ тим, что в силу выполнения условия текучести для тензора о компонен­ ты т ^ вектора сдвиговых напряжений т в любой к-й системе скольже­ ния не превосходят критического напряжения сдвига Для геомет­ рически и физически возможного вектора dy в К активных системах

скольжения т(А) = т**}, в остальных dy^ = 0. При этом в активных систе­ мах скольжения знаки dy^ и т® совпадают и положительны. Для гео­ метрически (но не физически) возможного вектора dy в каждой системе скольжения 1т®! < при этом знаки dy*® и могут быть произ­

вольными (т.е. и dy*(A), и х(к) могут быть как положительными, так и от­ рицательными).

С учетом изложенного выше получаем:

о : d£ = т • dy = X T(t)dy(i) = £ т(*Му*(*>,

Следовательно,

(4.10)

Последнее соотношение представляет принцип минимума сдвига Тейлора, расширенный на случай неоднородного упрочнения; иногда его называют принципом минимума работы. Полагая, что упрочнение одинаково во всех системах скольжения, из (4.10) получаем:

(4.11)

представляющее собой математическую запись принципа минимума сдвига Тейлора: сумма абсолютных значений приращений физически и геометрически возможных сдвигов не превосходит суммы абсолютных значений приращений геометрически возможных сдвигов. Из доказатель­ ства следует также, что если существует более одной системы физически и геометрически возможных сдвигов, то сумма абсолютных значений приращений сдвигов во всех таких системах будет одинаковой.

Остановимся на соответствии двух сформулированных выше принципов, один из них - принцип максимума работы, второй - прин­ цип минимума работы. При формулировке экстремальных принципов (более широко - вариационных принципов) важно различать парамет­ ры, которые можно изменять (перебирать, варьировать). В зависимости от этого величина, экстремальность которой устанавливается, может принимать максимальное или минимальное значение (а может не обла­

дать экстремальными свойствами, в каждом конкретном случае послед­ ние надо устанавливать). Аналогичным образом дело обстоит и с рас­ сматриваемыми принципами. В первом из них - принципе максимума работы - варьируемой величиной является тензор напряжений, а беско­ нечно малое приращение деформаций является величиной заданной, неизменной в данный момент процесса. Во втором принципе ситуация «зеркально отражается»: тензор напряжений считается заданным, а варьируемыми параметрами являются бесконечно малые приращения сдвигов. Такие принципы в математической физике и вариационном ис­ числении называются двойственными (друг другу), из одного с помо­ щью так называемого преобразования Лежандра следует другой, и на­ оборот (см., например, [20]).

Заметим, что в отличие от предположения Тейлора о том, что де­ формация реализуется сдвигом не более чем по пяти системам скольже­ ния, здесь такого предположения не вводится, число активных систем скольжения ограничивается только числом возможных кристаллогра­ фических систем, что еще более усугубляет проблему неоднозначности определения сдвигов. Нетрудно видеть, что принцип минимума сдвига не позволяет определить единственный набор систем скольжения, он обеспечивает только «отбраковку» векторов сдвига, не являющихся фи­ зически возможными.

Хотя в физических теориях пластичности большое внимание уде­ ляется построению моделей монокристаллов, главной задачей является формулировка конститутивной модели представительного объема мак­ роуровня для поликристаллических материалов, без чего невозможны постановка и решение практически важных краевых задач МДТТ. В связи с этим неминуемо встают вопросы о переходе от переменных и соотношений мезоуровня к переменным и соотношениям макроуров­ ня, о процедурах идентификации и верификации разрабатываемых мо­ делей. При этом одним из важных компонентов модели становится при­ нимаемая процедура осреднения.

Физические теории пластичности в их различных модификациях в значительной мере опираются на макроэксперименты. В частности, из макроэкспериментов определяются физические параметры (или часть из них), фигурирующие в описании микродеформирования; правильность основных положений ФТП проверяется в конечном счете также в опы­ тах на макрообразцах. В связи с вышеизложенным в замкнутой ФТП

должны присутствовать подходы и соотношения, позволяющие связы­

большому числу мезоэлементов (кристаллитов). Понятно, что интерпре­ тация результатов макроэкспериментов с позиций ФТП существенным образом связана с принимаемой процедурой осреднения. Ниже рассмат­ риваются некоторые аспекты принятого в теории Бишопа-Хилла под­ хода к осреднению, опирающегося на две основные гипотезы о связи микро- и макропараметров:

а) Измерения макропеременных осуществляются на таких объе­ мах, что распределение ориентаций и упрочнения зерен в различных объемах отличаются несущественно. Иначе говоря, образец полагается однородным в макросмысле. Следует отметить, что это не исключает из рассмотрения анизотропные материалы, поскольку распределение ори­ ентаций не обязательно равномерное, могут реализовываться случаи преимущественной ориентации в определенных направлениях.

В дальнейшем наименьший объем, обладающий подобными свой­ ствами, будем называть «единичным» кубом (имеющим в действитель­ ности форму куба и единичные ребра).

б) Отсутствует корреляция между мезоскопическими напряже­ ниями и положением на плоскости произвольного сечения единичной площади. Данное предположение позволяет представить результирую­ щую мезонапряжений на такой единичной площадке как одиночную си­ лу, приложенную в центре площадки. Выбирая далее декартову ортого­ нальную систему координат, по компонентам определенной таким обра­ зом силы нетрудно получить компоненты тензора мезонапряжений, причем последний будет симметричным.

Вслучае, если корреляция между мезонапряжениями и положением

вединичном сечении существует, тензор мезонапряжений не обязательно симметричный. В этом случае уравнение баланса момента количества движения отличается от классического, в рассмотрение необходимо вво­ дить тензор моментных напряжений; иначе говоря, от классического кон­ тинуума следует переходить к обобщенному (например, континууму Коссера). Заметим, что подобное определение напряжений возможно на раз­ личных масштабных уровнях, включая используемый в некоторых вариантах ФТП так называемый «атомный» (представительный объем

Полагая критические напряжения сдвига одинаковыми по агрега­ ту, получаем принцип минимума сдвига для поликристалла:

V к

Комбинируя (4.17) и (4.21), приходим к следующему соотношению:

где d£* соответствует некоторому перемещению dU* Напомним, что принципы максимума работы и минимума сдвига являются двойствен­ ными [20], и в этом смысле эквивалентны друг другу, один следует из другого.

Как следует из последних результатов, принцип максимума рабо­ ты справедлив для агрегата из монокристаллических зерен в предполо­ жении, что деформирование в каждом из них осуществляется сдвигом по определенным системам скольжения. Тогда из ранее сформулиро­ ванного (без доказательства) утверждения следует, что может быть по­ строен пластический потенциал, совпадающий с функцией текучести. Но тем самым решается в принципе вопрос об установлении опреде­ ляющих соотношений (с помощью принципа градиентальности).

Сопоставляя модель Бишопа-Хилла с ранее изложенной моделью Тейлора, нетрудно убедиться, что концептуальные положения обеих моделей практически совпадают (а следовательно, модели БишопаХилла присущи те же недостатки, что и модели Тейлора); модель Бишопа-Хилла отличается более глубокой «математической оснащен­ ностью». Вероятно, это является причиной того, что в последнее деся­ тилетие модели, имеющие в основе те же гипотезы и положения, что и модель Тейлора, стали называть моделями «типа Тейлора-Бишопа- Хилла».

Несмотря на отмеченные выше недостатки моделей Тейлора- Бишопа-Хилла, они являются одними из наиболее широко используе­ мых. В последние 10-15 лет модели этого класса часто применяются для анализа различных технологических процессов обработки металлов давлением и других распространенных технологических процессов. Пример применения модели для исследования процесса механической обработки (ортогонального резания) монокристаллической заготовки содержится в работе [85].

Дальнейшее развитие моделей этого класса связано, в частности, с совершенствованием математической основы моделей, модификацией соотношений теории для учета поворотов кристаллической решетки. Например, в работе [98] наряду с трансляционной (сдвиговой) модой деформирования идеально-пластического монокристалла предлагается ввести дополнительные параметры, характеризующие ориентацию кри­ сталлической решетки (три угла Эйлера). В качестве ключевой гипотезы вводится предположение об аддитивном разложении градиента скоро­ сти перемещений на пластическую составляющую, определяемую ско­ ростями сдвигов по активным СС, и спин решетки. Одну из известных трудностей - задание граничных условий для скорости поворота решет­ к и - автор предлагает избежать за счет задания так называемых «гло­ бальных кинематических условий», согласно которым в исследуемом теле вводятся материальные направления с запрещенными поворотами (например, вдоль оси растягиваемого образца). Как представляется, ука­ занные гипотезы не имеют достаточного физического обоснования даже для монокристаллов. Детальное изложение моделей Тейлора, БишопаХилла и обзор работ по их применению содержатся в статье [101].

Во п р о с ы к г л а в е 4

1.Приведите описание и соотношения модели Закса.

2.Перечислите основные гипотезы модели Тейлора.

3.Опишите основанный на модели Тейлора алгоритм построения кривой «напряжение - деформация» при одноосном нагружении поликристаллического образца.

4.Сформулируйте задачу линейного программирования, к которой приводится модель Тейлора, и двойственную к ней задачу.

5.Перечислите основные недостатки модели Тейлора.

6.Приведите основные положения и понятия, используемые при формулировке модели Бишопа-Хилла.

7.Сформулируйте и докажите принцип максимума работы для монокристалла.

8.Дайте определения геометрически и физически возможных век­ торов сдвига (скоростей сдвигов).

9.Сформулируйте и докажите принцип минимума сдвига (работы) для монокристалла, сопоставьте принципы минимума и максимума работы.

10.Какой подход к осреднению применяется в модели БишопаХилла и на каких гипотезах он основан?

11.Сформулируйте и докажите принципы максимума работы и ми­

нимума сдвига для поликристалла.

12. Проведите сопоставление моделей Тейлора и Бишопа-Хилла.