1134
.pdfф |
(3) |
L =j - |
Знак минус в (2) показывает, что Жs всегда направлена
так, чтобы препятствовать изменению силы тока. Форму ла (3) содержит некоторый элемент неопределенности, так как точно не фиксировано, как внутри проводника задавать геометрический контур, относительно которого находится магнитный поток Ф . Но для тонкого провода эта неопреде ленность не существенна. Кроме того, от нее можно полно стью избавиться, если использовать энергетический подход (см. об этом далее).
Особого внимания заслуживает поведение сверхпровод ников в магнитном поле. Если сверхпроводящий контур движется в постоянном или переменном магнитном поле, то в нем индуцируется ток
1 ЛФ
R ~ R d t
Так как сопротивление контура R = 0, то требование ко нечности тока может быть выполнено только при условии йФ/dt = 0 . Иначе говоря, отсутствие сопротивления приво дит к тому, что при движении идеально проводящего замкну того провода в магнитном поле сохраняется магнитный по ток, пронизывающий контур провода. Такое сохранение обу словлено индукционными токами, которые, согласно правилу Ленца, препятствуют всякому изменению магнитного потока. Пусть, например, в однородном магнитном поле с индукцией
Внаходится сверхпроводящее кольцо радиусом а и индук тивностью L. Плоскость кольца перпендикулярна вектору
В. При выключении поля по кольцу потечет ток / , который можно найти из следующих соображений. Так как магнит ный поток через кольцо не может измениться, то возникший
ток / должен создать свой магнитный поток L • I , равный
исходному потоку на2В . Поэтому LI = ла2В , откуда нахо дим / =ла2В / L. Тенденция к сохранению магнитного пото ка сквозь контур имеется в любом случае, но наиболее полно она проявляется в контурах из сверхпроводников.
При наличии магнитной связи между двумя контурами 1 и 2 изменение тока в одном контуре порождает ЭДС взаим ной индукции в другом контуре
i2~ ^ d t' iX~ 1x2 dt '
где 1,2 и Lll называют взаимной индуктивностью контуров. Они определяются как коэффициенты пропорциональности в соотношениях
^ 1 =^Л2^2-
При отсутствии ферромагнетиков выполняется теорема взаимности
Ц2 —^21 •
Создание тока I в контуре с индуктивностью L требует совершения работы против ЭДС самоиндукции, в связи с чем существует магнитная энергия тока
W - - L 1 2 |
(4) |
2 |
|
Соотношение (4), как и для электрического поля, можно выразить непосредственно через индукцию магнитного по ля В и напряженность Я
W = j- ^ — dV = j——dV |
(5) |
|
}2 т |
3 2 |
|
Эти выражения применимы только к расчету энергии магнитного поля в пара- и диамагнетиках и не применимы к ферромагнетикам.
Сопоставление формул (4) и (5) дает возможность нахо дить индуктивность проводящего контура из выражения для энергии
(6)
Нахождение L таким способом свободно от неопреде ленности, связанной с вычислением магнитного потока в формуле (3). Входящие же в формулу (6) значения тока и магнитной энергии - величины, определяемые совершенно однозначно, в отличие от магнитного потока. Более того, эта формула может служить определением индуктивности и в случае толстого провода.
Для иллюстрации того, что расчет индуктивности по формулам (3) и (6) приводит к разным результатам, найдем индуктивность единицы длины коаксиального кабеля. Он со стоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь. Будем полагать распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным и магнитную проницаемость всю ду равной единице.
Выберем в качестве элемента объема dV |
тонкий ци |
||||
линдрический слой радиусом г и толщиной dr. Тогда |
|||||
|
1 0 Ко |
|
О) |
||
|
|
|
|||
Используя теорему о циркуляции вектора |
Д, нетрудно |
||||
получить |
|
|
|
|
|
д = JbL r |
Ва<г<Ь |
_ И0/ |
Вг>ь= О- |
||
2кг' |
|||||
т<а 2па2 ' |
|
|
|
||
С учетом этих выражений интеграл (7) разбивается на две части и после интегрирования имеем
I |
- i k |
(8) |
ед |
2n |
|
Если же использовать выражение (3), то для индуктив ности нетрудно получить
У нас нет оснований не доверять энергетическому под ходу, поэтому правильным является выражение (8). И чем тоньше центральный проводник, тем меньше относительное различие полученных результатов.
4.1.1.Вращающиеся диски. Два диска радиусами й,
иR2 вращаются с угловой скоростью со в однородном маг
нитном поле с индукцией В , перпендикулярной их плоско сти (рис. 4.1). Центры дисков присоединены к обкладкам конденсатора С,, ободы - через
скользящие контакты к обкладкам конденсатора С2. Найти напряже ния на конденсаторах, если диски вращаются в одном направлении
С, |
и если в разных. |
|
Рис. 4.1 |
Заряд конденсаторов проис |
|
ходит из-за возникновения ЭДС |
||
|
индукции при движении проводника (вращающийся диск) в магнитном поле. Для расчета ЭДС индукции выделим на диске тонкий радиальный элемент длиной, равной радиусу диска. За время dt этот элемент поворачивается на угол
поток через данную площадь d<f> = bdS = —BR'axlt. Его от
ношение ко времени dt и равно модулю ЭДС индукции:
&’= -B R 2(O .
2
Если диски вращаются в одном направлении, то полная ЭДС индукции, действующая в контуре, будет равна
\£х~%’2\• если в разных направлениях, то \%х+ ^ 2\, где
^ = ^ B R 2ш, %г =^BR22(0.
Осталось только найти напряжения на конденсаторах. Подобная задача нами решалась ранее, поэтому сразу запи шем ответ:
Bd)\R2± R2\c2 |
Bo)|/?,2 ±/?2|с, |
и,= |
и 2 = 2(С,+С2) |
2(С,+С2) |
Здесь знак плюс относится к случаю вращения дисков
вразные стороны, минус - к вращению дисков в одну сторону.
4.1.2.Движущийся в магнитном поле проводник. По двум вертикальным медным шинам, соединенным вверху ба тареей с ЭДС % и внутренним сопротивлением г , без тре ния скользит проводник длиной / и массой т (рис. 4.2).
Система находится в однородном маг нитном поле с индукцией В , перпенди кулярной к плоскости рисунка и на правленной из чертежа. Найти устано вившуюся скорость проводника в поле силы тяжести, пренебрегая сопротивле нием шин и проводника, а также индук тивностью контура.
Движение проводника определяет
Рис. 4.2
ся двумя силами - силой тяжести mg
и силой Ампера FA. Значение этой силы определяется током
проводника, который можно найти |
из закона Ома |
|
/г = £’.+ £ |
’ |
(1) |
Здесь g ’. =-</Ф/<* - ЭДС индукции, возникающая
в движущемся в магнитном поле проводнике (за положи тельное направление обхода контура выбран обход против часовой стрелки). В результате расчета, аналогичного проде ланному в предыдущей задаче, получаем
%!=В1у . (2)
Из (1) и (2) находим
. % +Blv
Обратимся теперь ко второму закону Ньютона |
|
||
d v |
г, |
& + B/v/D |
(3) |
т— |
=m g -F A =mg------------IB. |
||
dt |
|
r |
|
Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий даст нам зависимость скорости проводника от вре мени. Но так как нас интересует только установившаяся ско рость, то в уравнении (3) следует положить dvldt =0. Таким
образом, находим
mgr - %1В v = ----- — .
В2/2
Откуда видно, что если mg >ШВ1 г, то проводник дви
жется вниз, в противном случае —вверх.
Изменим несколько постановку задачи. Пусть теперь шины расположены горизонтально и замкнуты с одного кон ца соленоидом с индуктивностью L (рис. 4.3). В момент времени t= О проводнику толчком сообщили ско-
Xрость v0. Пренебрегая сопротивлени ем контура, найти закон движения проводника x (t).
Рис. 4.3
Очевидно, движение проводника не может быть равно мерным. При движении в нем рождается ЭДС индукции %i , пропорциональная скорости проводника, и появляется ин дукционный ток. Взаимодействие этого тока с магнитным полем приводит к торможению проводника. И если бы ин дуктивность равнялась нулю, то, в конце концов, проводник просто остановился бы, не возобновляя движения. Наличие же индуктивности кардинально меняет ситуацию. Появляет ся ЭДС самоиндукции %s, зависящая уже от скорости изме
нения тока, и предугадать дальнейшее развитие событий дос таточно трудно. Поэтому обратимся ко второму закону Нью тона. Так как на проводник действует единственная сила Ампера, равная ИВ, то
mv=IlB. (4)
Отсюда следует, что для определения характера движе ния проводника нам нужна явная зависимость тока контура от времени. Это можно сделать, воспользовавшись законом Ома: %’i +8?s =0, где %s - - L d lld t, а = Blv. Тогда полу
чаем связь скорости изменения тока и скорости проводника:
- U - B lv = 0. |
(5) |
Таким образом, наша задача сводится к решению замк нутой системы дифференциальных уравнений (4), (5), из ко торой можно найти как закон движения проводника x(t) , так и зависимость тока контура от времени I(t). Для решения этой системы уравнений продифференцируем по времени ра венство (4):
mv=ilB.
После подстановки в данное соотношение значения / из (5) приходим к дифференциальному уравнению для ско рости v:
m v |
l2В2 |
v, |
|
|
L |
или после деления на т
v + 0)2v = 0 ,
где
(7)
Уравнение (6) является типичным уравнением гармони ческих колебаний, поэтому, исходя из начальных условий, сразу запишем его решение
v(t)= v0 cos cor. Интегрируя это выражение, получаем
у
x(t)= — sin со?, со
где значение ю дается выражением (7).
Итак, проводник совершает гармонические колебания (весьма неожиданно!). Кроме того, как следует из уравнения (4), гармонически изменяется и сила тока в контуре
sin (Ot
(минус связан с выбранным направлением обхода контура). Заметим, что значение максимального тока
можно легко получить и из закона сохранения энергии
mv02 _ LI 2
2 2
В данном случае мы имеем дело со своеобразным коле бательным контуром, в котором роль конденсатора взял на себя движущийся проводник.
4.13. Проводящее кольцо в соленоиде. В длинном со леноиде с числом витков на единицу длины п изменяют ток со скоростью 10 А /с . В середине соленоида находится коак сиальное кольцо прямоугольного сечения из проводящего материала с удельным сопротивлением р. Толщина коль ца h , его внутренний и внешний радиусы а и b . Найти ин дукционный ток в кольце.
Казалось бы, что ход решения задачи прост. Нужно най ти магнитный поток через поперечное сечение кольца пло
щадью S =n[b2- о2)» взять от потока производную по вре
мени и результат поделить на сопротивление кольца. Однако при этом мы совершим ошибку. Следует помнить, что основ ной закон электромагнитной индукции написан для тонкого проводящего контура, а не для толстого кольца. Поэтому следует разбить кольцо на бесконечно тонкие кольцевые слои, найти протекающие в них токи и просуммировать их по сечению кольца.
Плотность тока j в любом тонком кольцевом слое ра диусом г связана с напряженностью вихревого электриче ского поля Е* законом Ома:
Р
Циркуляция Е* определяется скоростью изменения магнитного потока через сечение кольца:
<$E'dl = ~ \ B d S . (1)
Из соображений симметрии, очевидно, линии вектора
Е' представляют собой окружности. Поэтому соотношение
(1) примет вид
(2)
dt
(мы опустили знак минус, так как он сейчас не имеет никако го значения). Из (2) находим '
F ' - dB г
Е ' э Г Г
Вспомним теперь, что индукция магнитного поля внут ри длинного соленоида рассчитывается как В = р0л/0 ( /0 -
ток соленоида). С учетом этого для Е* получаем
Е* _ НоШ0 t
Таким образом, плотность тока в любой точке кольца на расстоянии г от оси
Ро^о
2р
Интегрируя плотность тока по сечению всего кольца, находим искомый ток
4.1.4. Непроводящее кольцо в магнитном поле. Не проводящее тонкое кольцо массой т , имеющее заряд q , может свободно вращаться вокруг своей оси. В момент t = О включили однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Индукция поля начала расти по некоторо му закону B{t) . Найти угловую скорость кольца о как функ
цию В.
Раскрутка кольца обусловлена действием кулоновских сил. При изменении магнитного поля появляется вихревое