1134

мируются поверхностные токи с линейной плотностью i', а внутри шара токи намагничивания в сумме компенсируют друг друга. Для определения i' применим теорему о цирку­ ляции вектора J к небольшому контуру, располагающемуся под углом 0 к направлению вектора J (отображен штрихо­ вой линией):

<$М = / '—> Л sin 0 = {'/—>/' = J sin 0.

Видно, что ток I изменяется с углом 0 по закону сину­ са. Этот результат не является неожиданным, так как намаг­ ниченный шар с поверхностными токами подобен вращаю­ щемуся шару, заряженному с некоторой поверхностной плотностью заряда. И, как было показано в задаче 3.1.10, в этом случае возникает именно такое распределение токов I = ^ sin 0, где %= J Поэтому сразу воспользуемся получен­ ным в задаче 3.1.10 результатом

Обратимся к полю вне шара. В задаче 3.1.10 было дока­ зано, что магнитное поле вне шара является полем точечного магнитного диполя, находящимся в центре шара. Из опреде­ ления вектора намагниченности следует, что магнитный мо­ мент шара

Pm= V J = ± n R 3-J

Подставив это значение в известную нам формулу ин­ дукции магнитного поля точечного магнитного диполя (зада­ ча 3.1.1)

ного поля В внутри магнетика с проницаемостью ц при на­ ложении на него внешнего однородного поля В0 (величина намагниченности существенно влияет на взаимодействие магнетика с внешним полем). Рассмотрим несколько случаев.

Длинный цилиндр. Пусть внешнее поле В0 направлено вдоль оси цилиндра. Полное поле внутри складывается из внешнего поля В0 и поля токов намагничивания В'

В = В0 + В' = В0+ р07 , или с учетом связи J =%Н = yfil\i0\i:

В =В0+ Kfi

Откуда сразу находим

В =цВ0,

т.е. поле внутри длинного цилиндра усиливается в ц раз.

J = — = Е Л в

ММо Но

Плоская пластина. Если внешнее поле параллельно плоскости пластины, то, опираясь на полученные выше ре­ зультаты, имеем

В =цВ0

(поле усиливается в |Л раз), а

/ = Ц-1 В0.

Но

Если же внешнее поле перпендикулярно плоскости пла­ стины, то

В=В0

(нет усиления поля), а

Нетрудно показать, что если вектор В0 составляет про­

извольный угол а с плоскостью пластины, то

В = В0л]sin2a + 1х2 cos2 a .

Шар. Собственное поле внутри такого шара о (поле токов намагничивания) можно определить по формуле (1):

Полное поле внутри шара складывается из внешнего по­ ля и поля токов намагничивания:

В - В 0 +В '-В 0+-^Ц07 ’

или с учетом связи 7 = %Н = %В/р0р :

В =В0+ ^ В .

Зц

Откуда находим индукцию магнитного поля внутри шара

в - П

и его намагниченность

(Ц+ 2ХЦ, "

Зависимость намагничивания от формы тела можно продемонстрировать с помощью следующего эффектного опыта. Берется пучок тонких железных стержней, перевязан­ ных нитками, и помещается на столе в вертикальном поло­ жении. Верхний конец пучка немного входит внутрь верти­ кальной катушки, расположенной над пучком. По обмотке катушки пропускается постоянный ток такой величины, что­ бы сила, втягивающая пучок в катушку, была несколько меньше веса пучка. Пучок подобен пластине в перпендику­ лярном к ней магнитном поле и намагничивается относи­ тельно слабо. Если пережечь нитки, то стержни с силой втя­ гиваются в катушку и удерживаются в ней. Это происходит потому, что каждый стержень ведет себя почти независимо от других стержней и, являясь длинным цилиндром, намаг­ ничивается значительно сильнее.

3.3.2. Поле прямого тока. Вдоль оси длинного цилинд­ ра, заполненного магнетиком с проницаемостью ц, течет

ток / . Радиус цилиндра - R . Найти магнитную индукцию В и напряженность Н во всем пространстве.

В этом случае молекулярные микротоки / 'ол расположены в плоскости, проходящей через проводник с током (рис. 3.39). Их суммарное действие приводит к тому, что у провода на оси системы макроскопический ток намагничи­

теорему о циркуляции вектора намагничивания ($Jdl = /' к круговому контуру, охватывающему цилиндр. По этой тео­

реме, поскольку во всех точках контура J = 0, алгебраиче­ ская сумма всех токов намагничивания равна нулю, т.е. /' + / ' = 0. Отсюда следует, что токи Г и Г равны по вели­ чине и противоположны по направлению. Применим теперь эту же теорему к любому контуру, охватывающему ток / внутри магнетика. Тогда с учетом связи J = j f i получаем

l' =X<$Hdl

Так как оставшийся интеграл равен току проводимо­ сти / , то

Именно с этим связано усиление индукции магнитного поля внутри парамагнетика. На ток / накладывается ток /' = X/, а поверхностный ток I " , направленный в противопо­

ложную сторону, не оказывает влияния на поле В в магнети­

ке. Вне магнетика магнитные поля обоих токов намагничи­ вания I' и Г компенсируют друг друга.

Рассчитаем теперь значения В и Я . Начнем с поля Я

По теореме о циркуляции вектора Я для окружности радиу­ сом г с центром на оси проводника

2ягЯ = /-» Я (г) = — . 2пг

Это соотношение справедливо как внутри цилиндра, так и вне его. А для индукции магнитного поля получаем

При переходе границы раздела магнетик - вакуум ин­ дукция магнитного поля В испытывает скачок в отличие от Я (рис. 3.40).

Рис. 3.41

Пусть теперь проводник с током I расположен перпен­ дикулярно плоской границе раздела магнетик - вакуум (рис. 3.41). Найдем распределение токов намагничивания и полей В и Я во всем пространстве. Из соображений сим­

метрии следует, что линии векторов В и Я должны иметь вид окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных проводнику с током I . Это вызывает линейный ток намагни-

чивания /' вблизи проводника и растекающийся радиально поверхностный ток намагничивания с линейной плотно­ стью i Как и в предыдущей задаче, I' = = (р -1 )/ Зна­ чение Я нетрудно найти из теоремы о циркуляции вектора Я для окружности радиусом г с центром на оси проводника:

2ягЯ = / - > Я = — = Я0.

Здесь Я и Я0 - значения напряженности магнитного поля в магнетике и вакууме. Соответственно

Для расчета распределения поверхностного тока i вос­ пользуемся теоремой о циркуляции вектора намагничивания, взяв в качестве контура небольшой прямоугольник, располо­ женный вблизи границы раздела магнетик - вакуум и плос­ кость которого перпендикулярна току Г Часть контура дли­ ной / находится в магнетике, другая часть - в вакууме. Тогда получаем

Л = Г/ -* i =J

и из связи J = %Н = (ц -1 )Я имеем

г (и -1 )'

2яг

Расположим теперь проводник с током I в плоскости раздела вакуум - магнетик с проницаемостью ц (рис. 3.42).

Ясно, что линии вектора В являются окружностями с цен­ тром на оси проводника и на границе раздела не испытывают разрыва:

перь не равны. Это сразу следует из (1). Тогда по теореме о циркуляции вектора Н для окружности радиусом г с цен­ тром на оси проводника имеем

После решения системы уравнений (2), (3) получаем:

Полученные выражения для Н свидетельствуют о том, что напряженность магнитного поля в общем случае зависит не только от токов проводимости, но и от токов намагничи­ вания (они входят через магнитную проницаемость среды).

33 3 . Магнитная проницаемость железа. На торои­ дальном железном сердечнике со средним диаметром d =50 см имеется обмотка с числом витков N =1000. В сер­ дечнике сделана поперечная прорезь шириной 6 = 1 мм

(рис. 3.43). По обмотке протекает ток /=0,85 А. Пренебрегая рассеянием магнитного поля на краях зазора, най­ ти магнитную проницаемость железа,

в железе и прорези, связанные с индукцией магнитного поля выражением (1):

\i0N I-b B n0N l-b B