m1012

рефракции, а в некоторых случаях и вовсе им пренебречь. Показано, что величина фиктивных деформаций слабо зависит от пространственной частоты регистрируемой световой волны.

Глава 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ФАЗОВЫХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДАМИ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ И ИНВЕРСИИ

Как было показано в предыдущей главе, при применении методов голографической интерферометрии для исследования деформированного состояния внутренних сечений прозрачных объектов можно определить лишь суммарные деформации этого сечения. Эти суммарные деформации отличаются от действительных на величину фиктивных деформаций, зависящих от рефракции света в неоднородно деформируемом объеме. Причем величина фиктивных деформаций может быть определена, если известно распределение первого инварианта тензора напряжений I1(x, y, z) внутри объекта.

Таким образом, определение I1(x, y, z) – ключевой момент в определении напряженно деформированного состояния. Нахождение распределения I1(x, y, z) может быть выполнено на основе экспериментальных данных, полученных методами голографической интерферометрии при многоракурсном просвечивании объекта, и последующей их обработки с использованием интеграль-

ного преобразования Радона [17, 58, 68, 73, 89, 120, 138, 148, 160, 195, 225].

Таким образом, общая процедура определения напряженнодеформированного состояния состоит из последовательного выполнения следующих этапов:

1. Получение интерферограммы исследуемого сечения по схеме рис. 3.1 с фильтрацией пространственных частот в плоскости zoy и xoy; определение по ним суммарных деформаций

многоракурсном просвечивании и получение на их основе с использованием преобразования Радона распределения первого инварианта тензора напряжений I1(x, y, z) (деформаций I(x, y, z)).

72

4. Использование обобщенного закона Гука для определения нормальных напряжений исследуемого сечения ( 0, – константы Ламе):

Для определения касательных напряжений xz используется закон Гука при сдвиге.

Так как определение первого инварианта тензора напряжений (деформаций) является ключевым в данном методе, то рассмотрим процедуру его определения подробнее.

4.1. Определение первого инварианта тензора напряжений внутри фазовых объектов методами инверсии

При нагружении объекта первоначально изотропная среда становится анизотропной. Изменения главных значений ее показателя преломления nk для упругого материала связаны с главными напряжениями соотношениями Максвелла–Неймана [9, 199]:

где C1, C2 – пьезооптические постоянные (коэффициенты Макс- велла–Неймана).

Если материал изотропен (С1 С2), то показатель преломления – скалярная величина. Его изменения характеризуются единственной величиной n, линейно связанной с напряжениями:

где С = С1 С2, а I1(x, y, z) = (1 + 2 + 3) – первый инвариант тензора напряжений.

Будем в дальнейшем использовать так называемую трансаксиальную схему с параллельным пучком [89] для получения интегральной информации об изменении показателя преломления

73

n(x, y, z) или, в соответствии с (4.5), первого инварианта тензора напряжений I1(x, y, z). При этом исследуемый объект просвечивается коллимированным лазерным излучением с длиной волны (рис. 4.1, а) перпендикулярно оси z по направлению, параллельному оси y' ( ) ( – параметр, определяющий направление просвечивания; при = 0: x' x, y' y). При фиксированом z задача становится двумерной. Тогда интегральная абсолютная разность хода F(x', ) = N(x', ) , регистрируемая методами голографической интерферометрии (рис. 4.1, б), является функцией двух переменных:

где N – порядок интерференционной полосы; интегрирование ведется по направлению просвечивания. Если рассматривать I1(x, y) как функцию полярных координат I1(r, ), считая параметром ( [0; ]), то вся совокупность интегралов (4.6) для каждого может быть представлена в виде двумерного интеграла Радона:

где p – расстояние от начала координат до луча (прицельный параметр); – дельта-функция.

Рис. 4.1. Получение преобразования Радона

втрансаксиальной схеме регистрации проекций:

– угол, определяющий направление просвечивания, p – прицельный параметр, определяющий положение зондирующего луча

74

Таким образом, линейный интеграл относительно функции I1(r, ) вдоль луча, проходящего через объект, представляет собой двумерное преобразование Радона функции I1(r, ). В дальнейшем эту операцию будем обозначать как R . . Оператор Ра-

дона R ставит в соответствие функции I1 в пространстве (r, ) функцию F(p, ) = R I1(r, ) в пространстве (p, ). Одна точка в

пространстве (p, ) соответствует некоторой прямой L в пространстве (r, ), находящейся на расстоянии p от начала координат и образующей угол с положительным направлением оси х.

На рис. 4.2 в качестве примера представлено двумерное распределение некоторой функции, определенной в пространстве (r, ), и соответствующее этой функции преобразование Радона в пространстве (p, ). Число проекций К = 18 ( = 10 ), число отсчетов в проекции Np = 129.

Интерференционные полосы на интерферограмме абсолютной разности хода, полученной методами голографической интерферометрии, могут рассматриваться как контуры постоянных значений преобразования Радона функции I1(r, ) для любого фиксированного значения .

Поскольку в каждой точке функция I1(r, ) инвариантна относительно углов поворота , то сами значения этой функции могут быть получены в соответствии с [17, 89] инверсией (4.7):

Интеграл, стоящий в правой части (4.8), – так называемый оператор обратного преобразования Радона. В дальнейшем будем обо-

значать этот оператор как R-1: R-1{R{I1(r, )}} = I1(r, ). Его можно представить в виде последовательности четырех операторов [89]:

где Dp – взятие частной производной по p; Hp – преобразование Гильберта для функции двух переменных p и ; B – обратное проецирование, нормировка – деление полученного результата на 2 :

75

а)

б)

p

Рис. 4.2. Функция (а) и ее радоновский образ (б) в пространстве (p, ) (K = 18, Np = 129)

76

Следует отметить, что приведенные соотношения носят весьма общий характер и не учитывают априорной информации о функции. Последнее обстоятельство при решении задач механики деформируемого твердого тела является существенным. В отличие от медицинской и промышленной томографии, где число проекций велико (K ~ 100–1 000), томография тензорных полей относится, как правило, к малоракурсной – обычно число проекций К ~ 6–15. Причин здесь несколько. Это отсутствие томографов, предназначенных для автоматизированной регистрации информации в задачах механики твердого тела, необходимость записи интерферограмм с последующей их фотообработкой, а также невозможность реализации схем просвечивания с достаточно большим числом ракурсов К из-за наличия связей и элементов нагрузочных устройств. Поэтому условия (4.10) зачастую не выполняются, причем чаще всего – первое из них.

В качестве иллюстрации на рис. 4.3 приведены результаты реконструкции функции при нарушении условий (4.10). Модельное распределение соответствует первому инварианту тензора напряжений I1(x, y, z) в задаче о действии плоского, круглого в плане штампа на четырехгранную призму в сечении z = 0,25a (a = 10 мм – радиус основания штампа). Размеры сечения призмы – 80 80 мм2. Реконструкция выполнена с использованием алгоритма Ерохина–Шнейдерова [31].

Хорошо видно, что недостаточное число отсчетов Np в проекциях ведет к потере высокочастотных составляющих в спектре функции, ее выглаживанию (рис. 4.3, б); малое число ракурсов K – к появлению артефактов (рис. 4.3, в), т.е. отличий реконструкции от функции, связанных с самим методом исследования. В данном случае они связаны с особенностями внешнего интеграла в (4.8) – оператора обратного проецирования. Благодаря специфическим свойствам этого оператора в восстановленном распределении появляются биения. Их период совпадает с угловым периодом регистрации проекций. Этот эффект проиллюстрирован на рис. 4.4. Реконструкция выполнена для того же образца и сечения, но при несимметричном нагружении; использован алгоритм Шеп-

78

К = 3

К = 6

К = 9

К = 12

Рис. 4.4. Артефакты реконструкции при различном числе проекций К = 3, 6, 9, 12; число отсчетов во всех проекциях Np = 65

80