алгебраических уравнений. Дополнив ее граничными условиями (6.75), окончательно имеем систему уравнений относительно 360 неизвестных. Эта СЛАУ обладает двумя важными свойствами, которые помогут выбрать для нее метод решения.
Свойства эти следующие:
1.Система разреженная, т.е. подавляющая часть коэффициентов равна нулю.
2.В каждом уравнении один из коэффициентов равен 4, сумма же остальных коэффициентов меньше или равна 4 по модулю.
Таким образом, в этой системе выполнены условия сходимости итерационного метода и наиболее рациональным методом решения полученной системы уравнений является метод Гаусса - Зейделя.
Метод Гаусса - Зейделя в применении к эллиптическим разностным уравнениям называется методом Либмана или
методом последовательных смещений [26].
Итерационный процесс по полученным формулам (6.75), (6.76) продолжают до тех пор, пока для двух соседних итераций п и п+1 не будет выполняться условие:
Т W+1 •jin
I
где е > 0 - заданная погрешность.
В данном примере рассмотрено уравнение Лапласа. Вообще говоря, любое эллиптическое уравнение без членов, содержащих смешанную производную, приводит к системе разностных уравнений, удовлетворяющей условиям сходимости.
Существуют и другие способы решения разностных уравнений (6.75) (6.76). Наиболее часто используются методы
линейной релаксации, блочной релаксации и метод чередующихся направлений [25]. Часто они оказываются более эффективными, нежели метод Либмана.
Сходимость метода конечных разностей
При использовании приближенных методов очень важным является вопрос о сходимости.
Понятие сходимости может быть сформулировано поразному. Ранее отмечалось, что при Л->0 и к—>0 разностное уравнение приближается к дифференциальному уравнению. Однако при решении практических задач нас обычно интересует другой вопрос: приближается ли при 1г—>0 и к->0 решение разностного уравнения к решению дифференциального уравнения?
Для эллиптических уравнений на этот вопрос можно дать положительный ответ, хотя мы и не будем воспроизводить здесь доказательство.
В частности, для примера 6.12. с увеличением числа разбиений норма разности двух решений стремится к нулю, т.е. разностная задача сходится к точному решению (см. рис.6.15). Для относительной погрешности в=0,001 карта изотерм (линий постоянной температуры) приведена на рис.6.16.
Рис.6.15. Сходимость разностной задачи (в зависимости от числа разбиений N)
