2.2.МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ

2.2.1.Общая характеристика моделей, их структура и сущность

Объекты проектирования на макроуровне рассматривают­ ся как сложные системы, состоящие из совокупности взаимо­ действующих элементов. На макроуровне объект имеет слож­ ную неоднородную структуру, состоящую из элементов - объ­ ектов проектирования микроуровня, которые в дальнейшем рас­ сматриваются в виде неделимой единицы.

Модели макроуровня можно получить путем аппроксима­ ции распределенных моделей микроуровня на основе соответст­ вующих допущений относительно представления структуры

ифизических свойств объекта. При этом динамическая система

сраспределенными параметрами путем дискретизации в про­ странственных координатах представляется совокупностью ма­ териальных объектов, выделенных из сплошной среды, - дис­ кретных элементов с постоянными усредненными параметрами. Такую систему называют динамической системой с сосредото­ ченными параметрами.

Задача проектирования таких систем состоит в определе­ нии параметров рабочих процессов и структуры исходя из за­ данного описания внешней среды и предъявляемых технических требований.

Математической моделью объектов на макроуровне явля­ ется система обыкновенных дифференциальных уравнений:

где t - независимая Переменная - время; V - вектор фазовых коор­ динат, который требуется определить в процессе решения задачи.

При построении моделей макроуровня используется два подхода: физический и формальный. Физический подход осно­

ван на непосредственном применении физических законов, а формальный использует общие математические принципы при описании физических свойств объектов. Общим в использова­ нии обоих подходов является необходимость построения дина­ мической модели объекта.

Для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют методы функционально законченных элементов и сосредоточенных масс.

Метод функционально законченных элементов основан на выделении типовых элементов технического объекта, завершен­ ных в конструктивном отношении и предназначенных для вы­ полнения определенных функций (например, в гидромеханиче­ ской системе - участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный клапан, насос, гидромотор и др.). Имея биб­ лиотеку математических моделей функционально законченных элементов и зная структуру технического объекта, можно соста­ вить полную модель.

Наиболее часто при построении динамической модели ис­ пользуют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет явно выраженный дискретный спектр собст­ венных частот, что характерно для объектов, у которых масса распределена в пространстве неравномерно.

Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссии, барабане стояноч­ ного тормоза, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих большими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют ма­ лые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из названия метода следует, что он пред­ назначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых служит масса.

При построении динамической модели методом сосредо­ точенных масс выделяют некоторые абстрактные материальные

субстанции, наделяя их определенными физическими свойства­ ми. Такими субстанциями являются: сосредоточенные массы (материальные точки и абсолютно твердые тела), эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и эле­ менты, лишенные массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свой­ ствами и способностью накапливать кинетическую энергию.

Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих, инерционных, диссипативных, фрикци­ онных и трансформаторных элементов.

Упругие элементы {элементы типа С) отображают упру­ гие свойства динамической системы. Они обладают способно­ стью накапливать потенциальную энергию.

Инерционные элементы {элементы типа L) отображают энергию изменения фазовых координат, обладают способностью накапливать кинетическую энергию.

Диссипативные элементы {элементы типа R) отобража­ ют свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивны­ ми элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скоро­ сти перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс.

Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта.

Трансформаторные элементы отображают безынерцион­ ные преобразования параметров потока энергии, осуществляемые техническими устройствами, называемыми трансформаторами.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источ­ ников фазовых переменных может быть получена модель тех­ нического объекта практически любой сложности.

Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазо­ выми координатами типа потока. Обычно это геометрические координаты сосредоточенных масс либо скорости их движения в фазовом пространстве. В последнем случае фазовые координа­

ты типа потока составляют только часть координатного базиса, в состав которого кроме них также входят переменные типа по­ тенциала, характеризующие состояние упругих элементов.

В механике фазовые координаты типа потока выбирают в качестве обобщенных координат. Количество независимых обоб­ щенных координат системы равно числу ее степеней свободы.

Переменные же типа потенциала всегда принадлежат к за­ висимым координатам и выражаются через переменные типа потока. Переменные типа потенциала характеризуют запас энер­ гии в системе.

Воснове математической модели макроуровня лежат ком­ понентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элемента­ ми. Рассмотрим эти уравнения.

1.Компонентные уравнения

Взависимости от способа построения динамической мо­ дели каждый элемент может наделяться одним или несколькими физическими свойствами.

Вданном разделе рассматриваются только простые дис­ кретные элементы, т.е. элементы, обладающие одним физиче­ ским свойством.

Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа по­ тенциала. Физическое свойство элемента (закон его функциони­ рования) описывается математической моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными. Это выраже­ ние называют компонентным уравнением.

Основные физические свойства технических объектон любой физической природы - инерционные, упругие и диссипа­ тивные. Они отображаются в динамических моделях соответст­ венно инерционными, упругими и диссипативными элементами.

Компонентные уравнения дискретных элементов Moiyi быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или не­ посредственным использованием физических законов.