Основы теории цепей. Часть 2

Тогда обобщенная импульсная характеристика определяется как

k%(t ) = (h%(t ))′ = h′(t )1(t ) + h (t )δ(t ) = k (t )1(t ) + h (0)δ(t ) . (4.56)

Во втором слагаемом запишем h(0), т.к. δ(t) обладает фильтрующим действием (она не равна нулю только в момент t = 0).

Определение переходных и импульсных характеристик осно-

вано на расчете переходных процессов, возникающих в цепи при подключении источников с единичными входными воздействиями. Следует отметить, что переходная и импульсная характеристики для одной и той же системы могут быть различны, а следовательно, иметь различную размерность, в зависимости от выбора входного и выходного сигнала. Поэтому удобно сопровождать запись этих характеристик двойным индексом (первый указывает на выбранное входное воздействие, второй – на реакцию).

Если в качестве входного сигнала выбран ток, схемно подача на вход такой системы единичного ступенчатого возмущения реализуется в виде подключения источника тока с J = 1 А. Если входной сигнал – напряжение, расчет переходных и импульсных характеристик ведется при подключении источника ЭДС с E = 1 В (рис. 4.106).

251

hui(kui), hiu(kiu), hii(kii). Чтобы определить все эти функции, нужно решить четыре задачи расчета переходных процессов в электрических цепях (рис. 4.108).

Возможенрасчеткакклассическим, такиоператорнымметодом. Покажем на примере схемы (см. рис. 4.108, а) определение пе-

реходной и импульсной характеристик huu, kuu, hui, kui. 1. Классический метод

1) Запишем правило коммутации

uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 .

2) Составим характеристическое уравнение цепи методом входного сопротивления

Z ( p) = 1 + R = 0 . pC

Корень данного уравнения

p = − 1 .

RC

252

3) Искомое полное решение

4) Принужденная составляющая

uCпр = E .

5) Постоянная интегрирования определяется с помощью правила коммутации

uC (0+ ) = E + A = 0, A = −E .

Таким образом, в общем случае

Переходные характеристики записываются при Е = 1 В и соответственно имеют вид

2. Операторный метод

Для расчета переходных характеристик операторным методом необходимо определить передаточную функцию системы.

253

Передаточной функцией системы называют отношение опера-

торного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях,

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее конфигурации и не зависит от вида входных воздействий.

Получим связь передаточной функции и переходной характеристики. По определению передаточной функции и переходной характеристики

где L{1(t)} = 1 – операторное изображение по Лапласу. p

Таким образом,

Для нахождения оригинала h(t) возможно использование теоремы разложения. Для рассматриваемого примера передаточная функция

W ( p) = UC ( p) .

E( p)

254

Переходную характеристику определим с помощью теоремы разложения:

Результаты решения различными методами совпали. Описанные алгоритмы применимы для расчета переходных и импульсных характеристик в любых цепях рассматриваемого класса.

4.7.2. Формы записи интеграла Дюамеля

Рассмотрим на примерах способы представления входных сигналов (рис. 4.110, а, б) в виде суперпозиции ступенчатых (рис. 4.110, в) или импульсных функций (рис. 4.110, г).

На рис. 4.110, в, г наглядно показана возможность перехода от суммы к интегралу при устремлении ∆t → dt .

Для получения необходимых формул представим входное воздействие, в общем виде описываемое любой кусочно-гладкой функцией f(t), совокупностью элементарных дельтаобразных составляющих (рис. 4.111), возникающих во все моменты времени от нуля до момента наблюдения t. Составляющая f(t) является импульсной функцией, отличной от нуля в точке t = τ, с площадью импульса f (τ) ∆τ :

255

При устремлении ∆t → dt осуществим переход от суммы к интегралу. В результате получим полную реакцию системы к моменту

256

наблюдения, учитывающую все импульсные компоненты воздействия, возложенные на интервал [0 ÷ t). Применим к полученному выражению теорему о свертке:

Раскрывая значение k%(τ) с помощью (4.56), получаем:

Нижний предел во втором интеграле должен быть смещен к точке t = 0– для того, чтобы учесть значение импульсной составляющей в точке t = 0. В первом интеграле (4.64) множитель 1(τ) можно опустить, т.к. в пределах интервала интегрирования (τ > 0) 1(τ) = 1; а также в силу фильтрующего действия δ-функции второй интеграл упрощается. Окончательно получим:

Формулы (4.65), (4.66) соответствуют так называемым третьей и четвертой формам записи интеграла Дюамеля. Они позволяют рассчитать реакцию линейной цепи на произвольное воздействие f(t), когда задана импульсная характеристика. Необходимо иметь в виду, что входящая в первое слагаемое функция f(t) выражает значение воздействия в момент наблюдения t.

Выполним в третьей форме (4.65) интегрирование по частям

(u′ = k (τ) u′ = h(τ), v(t − τ) = f (t − τ), v′ = − f ′(t − τ)) :

257

В результате необходимых преобразований получим первую (4.68) и с применением теоремы о свертке вторую (4.69) формы записи интеграла Дюамеля:

Эти формулы позволяют рассчитывать реакцию системы на произвольное входное воздействие f(t), когда задана переходная характеристика.

Если рассматривается кусочно-гладкое воздействие f%(τ) , которое на интервале наблюдения 0 ÷ t претерпевает разрывы, то производная f%′(t ) во всех точках разрыва ti будет содержать импульсную составляющую ∆f (ti )δ(t −ti ) . Из последнего интеграла извлекутся слагаемые вида ∆f (ti )h (t −ti ) , к которым относится и первое слагае-

258

4.7.3. Последовательность расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля

Порядок расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля может быть следующим:

1)с помощью классического или операторного метода определить переходную характеристику цепи;

2)определить производную входного воздействия и заменить

вней текущее время t на переменную интегрирования τ ;

3)используя одну из форм интеграла Дюамеля, выполнить расчет реакции цепи.

Если воздействие представлено в виде кусочно-разрывной функции текущего времени t, то расчет реакции производят на каждом отдельном участке непрерывности воздействия. При этом учитывают разрывы непрерывности воздействия на границах отдельных участков.

В случае, когда воздействие произвольной формы прикладывается к активной цепи или цепь с ненулевыми начальными условиями, расчет переходных процессов можно вести методом наложения, принимая, что искомая величина содержит в переходном процессе две составляющие, одну из которых можно найти с помощью интеграла Дюамеля при нулевых начальных условиях, а другую составляющую, обусловленную начальным запасом энергии в цепи, − любым из рассмотренных ранее методов, например классическим илиоператорным.

4.7.4.Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: RC-цепь (рис. 4.112), на вход

259

Найти: закон изменения выходного напряжения в переходном режиме.

Решение:

а) Данный импульс можно представить в виде суперпозиции двух ступенчатых функций 1(t) – 1( t – t1) и, рассчитав переходные процессы на каждую из составляющих, получить результат в виде суммы двух реакций (рис. 4.113, б, в):

Здесь мы дважды рассчитали переходный процесс, возникающий в рассматриваемой цепи. Причем момент наблюдения находится на интервале (t1; + ), т.е. оба ступенчатые возмущения уже «сработали».

б) Получим искомую функцию реакции с помощью интеграла Дюамеля:

на промежутке 0 < t < t1 : f (t ) = 10 («сработало» только одно ступенчатое возмущение)

260