Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке

3.3. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Изложенный матричный метод рассмотрим на следующем примере. Требуется найти зависимость y от х1 и х2. Искомое уравнение регрессии имеет вид

y = b0 + b1x1 + b2x2.

Был реализован полный факторный эксперимент типа 22, матрица планирования которого приведена в табл. 20.

Запишем Х-матрицу условийэксперимента иY-матрицунаблюдений:

Каждая строка Х-матрицы – условия опыта. Приведенная матрица Х ортогональна, так как сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю. Построим матрицу, транспонированную к Х-матрице:

Умножим слева Х-матрицу на матрицу X T :

71

Элементы матрицы-произведения обозначим через hlv. Элемент h11 равен сумме произведений элементов первой строки транспонированной мат-

рицы X T насоответствующиеэлементыпервогостолбцаматрицыХ, т.е.

h11 = (+1) (+1) + (+1) (+1) + (+1) (+1) + (+1) (+1) = 4.

Искомые коэффициенты b0, b1, b2 можно записать в виде матрицы

b0 B = b1 .

b2

72

Система нормальных уравнений ( X T X )−1 B = X TY в данном случае будет иметь следующий вид:

Умножаем слева обе части уравнения ( X T X )B = X TY на матрицу

( X T X )−1 :

После преобразования получим

73

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, следовательно,

Остаточная сумма квадратов SR в рассматриваемом примере имеет вид

Дисперсия адекватности

Оценки S2{bi} дисперсий σ 2{bi} будут равны:

а Cii – элементы обратной матрицы.

Фундаментальную роль в анализе уравнения регрессии играет матрица

M −1 = ( X T XS(2y ) )−1 ,

которая называется матрицей ковариаций. Прямая матрица М называется информационной матрицей Фишера. В структуре матрицы дисперсийковариаций содержится вся информация о статистических свойствах модели. Провести статистический анализ – значит извлечь эту информацию. Для этого рассмотрим матрицу М –1. Оценка дисперсии воспроизводимости S y2 − скаляр. Умножить матрицу на скаляр слева или справа − значит

умножить на этот скаляр каждый элемент матрицы.

74

Полученные таким образом произведения имеют определенный статистический смысл. Так, на главной диагонали матрицы-произве- дения стоят оценки дисперсий коэффициентов регрессии, вне главной диагонали расположены оценки ковариаций, характеризующие статистическую зависимость между коэффициентами регрессии.

Таким образом, регрессионный анализ линейного уравнения можно представить в виде последовательности выполнения следующих операций:

1.Составляют Х-матрицу условий опытов и Y-матрицу наблюдений.

2.Строят матрицу X T , транспонированную к Х-матрице.

3.Вычисляют матрицу произведения X T X .

4.Находят матрицу ( X T X )−1 .

5.Вычисляют матрицу произведения X TY .

6. По выражениям B = ( X T X )−1 X TY определяем коэффициенты уравнения регрессии.

7.Находят cov{bibj} и оценки S2{bi} дисперсий σ 2{bi}.

8.Вычисляют дисперсию Sад2 и проверяют гипотезу адекватности

уравнения регрессии.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий методику регрессионного анализа в случае, когда уравнение регрессии представлено полиномом 2-го порядка. Исследуемая величина y зависит от двух факторов, а оценка уравнения регрессии имеет вид

Введем обозначения

С учетом принятых обозначений уравнение (4) примет вид

Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 21.

75

Таблица 21

Для вычисления коэффициентов b0, b1, …, b5 составим Х-матрицу условий эксперимента и Y-матрицу наблюдений:

Умножим слева Х-матрицу и Y-матрицу на матрицу X T :

76

Определяем коэффициенты выражения (4) по формуле

B = ( X T X )−1 X TY .

Отсюда

b0 = 50,1; b1 = 4,8333: b2 = –7,0437;

b3 = 1,963; b4 = 3,85; b5 = 2,9167.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y = 50,1 + 4,8333x1 – 7,0437x2 + 1,963x3 + 3,85x4 + 2,9167x5.

Находим остаточную сумму квадратов:

7

SR = ∑( yu − yu )2 = 0, 042.

u=1

Вматричной форме это выражение можно записать в следующем

виде:

SR = Y TY − B T XTY.

77

Дисперсия адекватности

Дисперсия S y2 , характеризующая ошибку эксперимента, опреде-

ленная по результатам пяти предварительных опытов с числом степеней свободы f = 4, равна 0,02. Вычислим дисперсионное отношение:

= Sад2 =

Fp S y2 2,1.

Табличное значение F-критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя fR = 1 и для знаменателя f = 4 FT = 7,71. Уравнение (5) адекватно, так как FT > Fp. По глав-

Ковариации находим по выражению cov{bi b j }= Cij σ 2y :

cov{b0b4} = –1 0,02 = –0,02; cov{b0b5} = –1 0,02 = –0,02;

cov{b4b5} = 0,8333 0,02 = 0,0167.

Найденные ковариации показывают, что между коэффициентами b0, b4 и b5 существует корреляционная связь. Если какой-либо из этих коэффициентов будет исключен из уравнения регрессии, остальные коэффициенты необходимо пересчитать.

Переходя от переменных х3, х4, х5 к х1х2, x12 , x22 , получим следующее уравнение:

y = 50,1 + 4,8333x1 − 7,0437x2 +1,963x1 x2 + 3,85x12 + 2,9167x22 .

Это уравнение можно использовать для поиска оптимальных условий ведения процесса, а также как интерполяционную формулу для предсказаний значений y в области эксперимента.

78

4. ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ 2-ГО ПОРЯДКА

4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Движение по методу крутого восхождения заканчивается, когда достигается область оптимума. Область оптимума не может быть описана линейным уравнением регрессии. В этой части поверхности отклика доминирующими становятся эффекты взаимодействия факторов и квадратичных эффектов. Область оптимума можно описать полиномами более высоких порядков, среди которых самыми распространенными являются уравнения 2-го порядка:

Для получения уравнений регрессии второго порядка необходимо построить такие планы, в которых каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения.

Выбор числа уровней. Поскольку для построения математической модели 2-го порядка двумя уровнями варьирования ограничиться нельзя, естественно предложить планы на трех уровнях – типа 3k . Если число факторов больше четырех, полный факторный эксперимент на трех уровнях становится неэкономичным. Например, для плана 34 число опытов N = 81, число степеней свободы fад = 66; для плана 35 – N = 243, fад = 222 и т.д. Такое большое число степеней свободы для проверки гипотезы адекватности не требуется.

Дополнив двухуровневый план полного факторного эксперимента (ПФЭ) определенными точками факторного пространства, можно получить план с меньшим числом опытов, чем план типа 3k . Общее число опытов при таком планировании определяется формулой

N = 2k + 2k + N0 ,

где каждое слагаемое определяет число опытов в ПФЭ типа 2k , звездных точек и нулевых точек ( N0 − число опытов в центре плана). Число звездных точек равно удвоенному числу факторов. Расстояние от центра плана до звездной точки обозначают буквой α и называют звездным

79

плечом. Из приведенной выше формулы видно, что предлагаемые планы экономичнее планов на трех уровнях. Большим преимуществом таких планов является возможность их получения из планов 2k . Для построения их используется ядро плана 2k , план дополняется некоторым количеством специально подобранных звездных точек. При k > 4 можно использовать дробные реплики. Планы, организованные таким образом, называются центральными и композиционными. Композиционный план для двухфакторного эксперимента приведен в табл. 22.

Выбор плеча звездных точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности. В инженерной практике широко применяются ортогональные и рототабельные планы 2-го порядка.

4.2. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА

По аналогии с ортогональными планами 1-го порядка целесообразно использовать и ортогональные планы второго порядка. Преимущество ортогональных планов состоит в малом объеме вычислений, так как все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Для получения ортогональных планов 2-го порядка необходимо несколько преобразовать столбцы квадратичных переменных и столбец x0 . Это вы-

звано неортогональностью указанных столбцов матрицы планирования, так как

80