Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdfд2и\ д2щ dp2
По аналогии с уравнением гиперболы
(1-43)
это уравнение носит название гиперболического. Примером уравнения гиперболического типа является уравнение, описы вающее колебательные процессы при распространении элек тромагнитного поля в пространстве:
д2и |
д ( ди |
д_( ди\ qu + F(x,y,t). (1.44) |
Р dt2 |
7к{к ' дх |
+ д у ^ 2 ду j |
2. Уравнение параболического типа
д2и |
+ Ф!=0. |
(1.45) |
& |
др2 да
Это уравнение уподоблено уравнению параболы, которое в декартовой системе координат записывается в виде
у 2= 2рх + с . |
0-46) |
Примером такого уравнения является уравнение теплопро водности, описывающее нестационарный процесс пространст венного распространения тепла в среде:
ди |
д f |
ди |
д_( диЛ-qu + F(x,y,t). (1.47) |
dt |
дх ^ |
дх |
+ ду{К г ду; |
В общем случае дифференциальные уравнения параболиче ского типа описывают нестационарные процессы распростране ния субстанции в средах, обладающих определенными характе ристиками (распространение вещества в окружающем простран стве - процесс диффузии, проникновение магнитного поля в электропроводную среду и т.п.).
Решение дифференциальных уравнений в частных произ водных, так же как и обычных дифференциальных уравнений, неоднозначно и представляет собой семейство определенных функций. Для того чтобы иметь однозначное решение, необхо димо использовать граничные условия, т.е. условия на границах исследуемой области. Обычно эти условия являются следствия ми определенных физических законов, соответствующих рас сматриваемой задаче. Совокупность дифференциального урав нения и граничных условий определяет краевую задачу. Разли чают следующие виды граничных условий [15, 20,24]:
1. Граничные условия первого рода (условия Дирихле). На границах исследуемой области Г заданы значения функции, оп ределяемой в ходе решения краевой задачи.
иг = и0(х,у). |
(1.48) |
2. Граничные условия второго рода (условия Неймана). На границе области Г задаются нормальные производные иссле дуемой функции.
(1.49)
Решение уравнения в данном случае находится с точностью до постоянной величины, т.к. через граничную точку можно провести бесчисленное множество кривых с заданным наклоном
ккоординатной оси.
3.Граничные условия третьего рода. На границах области задается комбинация исследуемой функции и ее производной.
(1.50)
В общем виде граничные условия могут быть записаны в виде
(1.51)
on s
Из (1.51) получаются перечисленные выше условия, если поло жить а = 1, Р = 0 ; а = 0, Р = к ; а = 1, р * 0 .
Для уравнений второго порядка краевая задача называется задачей Дирихле, если заданы краевые условия первого рода, задачей Неймана при краевых условиях второго рода.
Для уравнений параболического типа помимо граничных
должны быть заданы начальные граничные условия |
|
и = и^(х,у) при/ = 0. |
(1-52) |
Краевая задача в этом случае носит название смешанной. Помимо основных граничных условий, описанных выше,
ряд краевых задач использует периодические граничные усло вия и граничные условия интегрального типа.
Периодические граничные условия характерны для краевых задач, решаемых в цилиндрической системе координат [27]. Эти условия выражают равенство значений функции и ее производ ных в точках сопряжения. Их записывают в виде
u{x) = u{x +L\, |
!!!L(x) = !ZL(X + L ). |
(1.53) |
|
|
ox |
ox |
|
Граничные условия интегрального типа характерны для краевых задач, решаемых в цилиндрической системе координат, когда производная в точке сопряжения испытывает скачок, ве личина которого пропорциональна интегралу исследуемой ве личины [27].
u(x) = u(x + L); |
^ { x ) - ^ - ( x + L)=\q{x)u{x)6x. (1.54) |
||
|
дх |
дх |
о |
Помимо условий на границах исследуемой области при ре шении краевых задач в кусочно-однородных средах задаются граничные условия на границах разделов сред. В этом случае решение краевой задачи сводится к решению нескольких крае вых задач, в которых каждая среда имеет постоянные парамет ры. Недостающие для определения системы уравнения записы ваются в виде условий на границах разделов сред, выражающих равенство касательных составляющих напряженности электри
ческого поля и магнитного поля в случае отсутствия на поверх ности раздела поверхностных токов, а также непрерывность нормальных составляющих магнитной индукции и плотности токов. Подобный подход широко распространен при решении краевых задач с малым числом участков и пространственных координат. При усложнении структуры материала и возрастании размерности уравнений решение задач становится затрудни тельным, а в случае нелинейности - практически невозможным.
В этих условиях рациональнее рассматривать исследуемую область как среду, параметры которой являются функциями пространственных координат, а электромагнитное поле описы вается единым уравнением с переменными коэффициентами. Такой подход возможен потому, что граничные условия, выра жающие непрерывность нормальных составляющих индукции и плотности токов, и равенство касательных составляющих на пряженности магнитного и электрических полей являются част ными случаями уравнений Максвелла и получаются из них пу тем предельного перехода от рассматриваемого пространства к поверхности разделов сред. Следовательно, эти условия не не сут новой информации и выполняются автоматически, если электромагнитные процессы в среде описаны уравнениями Максвелла.
Рассмотрим, для примера, раздел сред с различными значе ниями магнитной проницаемости (рис. 1.8).
При отсутствии поверхностных токов уравнение Максвелла записывается в виде
z<
\ь,вп,нп ^
и» |
X |
Цг
У-' :_____________ _
*о X
Рис. 1.8. Раздел сред с различ ными величинами магнитной проницаемости
rot Я = 0. |
(1.55) |
Положим для упрощения, что напряженность магнитного поля и магнитная индукция имеют по одной составляющей:
Н =к Нг; В = к В г. (1.56)
В этом случае уравнение (1.56) запишется в виде
= (1.57)
Выражая напряженность магнитного поля через магнитную индукцию и вводя обозначение R = 1/р, будем иметь
(1.58)
дх R дх
Коэффициент R в функции пространственных координат может быть записан в виде
R(X) = RI -(R 2- R I)E(X - XO), |
0-59) |
где хо - кордината раздела, а Е(х) - единичная функция Хеви
сайда.
Тогда
|
Цдх ^ = |
- ^кг ^ в А х -*<>)• |
(1-60) |
|
При переходе через границу раздела магнитная индукция |
||||
испытывает скачок |
|
|
|
|
ABZ= J |
|
, |
л , - л , „ |
(1.61) |
n- R ' В2Ъ{х-хо) <3х =---- 1----- 1В |
||||
|
R |
|
R |
|
Учитывая, что при х = хо величины коэффициента R и маг нитной индукции равны средним значениям отдельных зон, можно записать
ABz =-----0,5(Bzi +Bz2) = |
|
|
+ |
(1-62) |
0,5(l/p2 + l/h ) |
" |
г2' |
+ h |
|
Величина магнитной индукции после перехода через грани цу раздела
Вг2 = ВгХ+АВг = ВгХ+ ^ - ^ ( 5 г2 + BzX). |
(1.63) |
^2 + h |
|
Преобразуя это выражение, получим |
|
h5z2 = ^25zi или НХ=Н2. |
(1.64) |
Можно также показать, что если на границе раздела имеется поверхностный ток с плотностью Упов, то скачок магнитной ин дукции при переходе границы составит
ABz = - f o j - b B i- L j not' |
(1.65) |
т.е. при переходе границы скачок магнитной индукции опреде
ляется как свойствами среды, так и наличием поверхностного тока.
Равенство касательных составляющих напряженности элек трического поля £ т| = £ т2 следует из второго уравнения Мак свелла
rot |
( 1.66) |
при стягивании области к границе раздела. При интегрировании правая часть уравнения обращается в нуль, а выражение rot Ё через значения плотности тока в средах приводит к выражению
J У2 |
т.е. |
Е у\ |
Е у2 |
(1.67) |
|
У,
Условия для нормальных составляющих магнитной индук ции и плотности тока вытекают из уравнений div В = 0 и div J =0. В этом случае при переходе границ раздела сред бу дут наблюдаться скачки напряженности магнитного поля в пер вом случае и напряженности электрического поля во втором.
Решение системы уравнений Максвелла связано с преобра зованием уравнений и выполнением дифференциальных опера ций. Как было показано выше, выполнение дифференциальных операций над единичными функциями Хевисайда, описываю щими магнитные и электрические свойства сред, приводит к возникновению 5-образных составляющих, эквивалентных по становке граничных условий на разделах сред [15]. При выпол нении дифференциальных операций второго порядка над функ
циями Хевисайда возникают члены с производными дельта функций, эквивалентные возникновению на границах разделов двойных слоев [15].
Таким образом, замена отдельных зон исследуемой области кусочно-однородной средой позволяет не только свести к ми нимуму число уравнений, описывающих электромагнитное по ле, но и упростить постановку граничных условий, заменив ее формальной операцией дифференцирования параметра среды по пространственной координате.
Способ учета граничных условий напоминает решение обычных дифференциальных уравнений операторным методом, когда начальные условия входят непосредственно в операторное уравнение и операция «сшивания» решений на отдельных вре менных интервалах исключается. Разница подходов заключает ся в том, что если начальные условия заданы заранее, то для краевых задач 8-образные составляющие должны определяться
входе решения [17].
2.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Электромагнитные явления и процессы электрических ма шин при условии пренебрежения токами смещения описывают ся системой уравнений Максвелла, которые являются математи ческим описанием следующих законов [15]:
- закона полного тока
|
rot Н =J ; |
(2.1) |
- закона электромагнитной индукции |
|
|
|
dt ' |
(2.2) |
|
|
|
_ В этих выражениях |
Н — напряженность |
магнитного поля; |
J - плотность тока; В - |
магнитная индукция. |
|
Эти уравнения должны быть дополнены условиями замкну |
||
тости магнитного поля и тока: |
|
|
divB = 0 и divy = 0. |
(2.3) |
|
Последнее уравнение не является независимым, так как оно есть следствие первого уравнения Максвелла. Уравнение (2.3) обычно используется в том случае, если при расчете магнитного поля закон полного тока не применялся.
Указанная система замыкается уравнениями материальных сред:
Я = р Я ; |
J = у Е , |
(2.4) |
где ц и у - магнитная проницаемость и электропроводность сре ды, являющиеся скалярными постоянными величинами в одно родных изотропных средах, скалярными величинами, завися щими от величины магнитной индукции и напряженности элек трического поля, в нелинейных изотропных средах и тензорны ми величинами в условиях анизотропии сред.
При решении краевых задач часто используются векторный и скалярный магнитные потенциалы, в ряде случаев значитель но упрощающие систему дифференциальных уравнений.
Векторный магнитный потенциал описывается уравнением
rot А= В |
(2.5) |
при произвольном задании его расходимостиdiv А . Выбор этой величины называют калибровкой, которую реализуют таким образом, чтобы максимально упростить получающуюся систе му уравнений. Использование векторного потенциала позволяет значительно упростить вычисление магнитных потоков отдель ных участков исследуемой области:
<D=j5d5 |
(2.6) |
s
Используя теорему Стокса, полученное выражение можно пре образовать и записать его в виде циркуляции
|
Ф = jrot/4dS = jAdL , |
(2.7) |
|
|
s |
L |
|
где L |
- контур, охватывающий поверхность S. |
|
|
Скалярный магнитный потенциал используют в том случае, |
|||
если |
плотность тока исследуемой среды имеет нулевое значе |
||
ние. При этом первое уравнение Максвелла записывается в виде rot Я = 0 и вектор Я может быть представлен в виде градиента скалярной величины:
# = grad<p. |
(2.8) |
Электромагнитное поле в общем случае может содержать оба компонента - магнитное и электрическое поля и описывать ся соответствующими уравнениями. Для решения системы не обходимо при помощи определенных преобразований исклю чить из нее один из векторов, сведя, таким образом, систему уравнений к краевой задаче. При преобразовании уравнений ис пользуются операции векторного анализа, наиболее распростра ненные из которых приведены в приложениях работ [16, 21].
Ниже представлены преобразования уравнений Максвелла для ряда задач.
2.1.Изотропные среды
2.1.1.Однородная непроводящая среда
Заданы р = const; у = 0;. Рассмотрим 2 задачи:
1. Сторонний ток отсутствует, 7СТ= 0 . Уравнения магнитного поля имеют вид
rot Я = 0; |
div5 = 0. |
(2.9) |
При отсутствии токов поле напряженности может быть представлено в виде градиента скалярной функции
Я = grad фм . |
(2.10) |
где фм - скалярный магнитный потенциал. |
|
Для данного случая |
|
div Я = div — = — div 5 = 0 . |
(2.11) |
ц ц |
|
Учитывая соотношения (2.11), (2.8), получим
Преобразуя полученное выражение по правилам векторного анализа, получим уравнение Лапласа:
Э2ФМ, д2(Рм Э2ФМ_.fl
(2.13)
дх2 ду2 dz2
Решая уравнение совместно с заданными граничными усло виями, соответствующими условиям краевой задачи, рассчиты ваем скалярный магнитный потенциал и компоненты напряжен ности магнитного поля.
2. Сторонний ток является функцией пространственных ко ординат: J CT= f(x,y,z).
rot Н = Jcr. |
(2.14) |
Для расчета вихревого поля введем векторный потенциал
В= rot А .
Тогда
ro t^ -ro t^ J = y CT. |
(2.15) |
При постоянной магнитной проницаемости
rot rot А = ц J CT. |
(2.16) |
По правилам векторного анализа
rot rot А = grad div А —А А =ц Уст. |
(2.17) |
Используя калибровку Кулона div А = 0, получим для векторно
го потенциала уравнение Пуассона
А Л = -ц У ст. |
(2.18) |
Представляя векторный потенциал и плотность стороннего тока в виде трех координатных составляющих, проектируя уравнение на координатные оси, получим систему трех скаляр-