Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

В этом случае минимизируемый функционал может быть представлен суммой отдельных составляющих, записанных для каждого интервала разбиения пространственной координаты:

Запишем уравнение для одной составляющей функционала 6 точке х, на интервале х,_, < х < хм . Искомое решение на этом

интервале содержит три члена: <рм , <р,, ср(+1 - и записывается в

виде

xi+\ xi

Интеграл, входящий в выражение (6.19), может быть пред­ ставлен в виде суммы двух интегралов для отдельных участков интервала:

Условием минимума функционала является равенство нулю его производных по искомым величинам, в данном случае

Дифференцируя подынтегральное выражение по С/, и груп­

Рассчитав коэффициенты уравнений а,,, для i = 1,

ац- 1для / = 2, 3,...,N -1, а( (+1 для / = 1 , 2 , . . 2 , правую часть

f . и используя известные граничные условия, получим систему

трехчленных алгебраических уравнений

вектор с рассчитанными компонентамиf .

Решив указанную систему методом прогонки, определим

6.2. Проекционный метод Бубнова - Галёркина (метод Галёркнна)

Рассмотрим решение краевой задачи (6.15) методом Галёр­ кина, используя вышепринятые положения. Будем считать, что решение краевой задачи представлено в виде разложения (6.17) с коэффициентами (6.18). В этом случае для отдельного интер­ вала х;_, < х <х1+1 решение записывается как (6.20), а коэффици­

енты разложения для указанного интервала - как (6.21) - (6.23). Согласно рассматриваемому методу, умножим уравнение

краевой задачи скалярно на ооДдс) и получим

Выполним интегрирование первого члена этого выражения

}/(*)(* - Xi)dx * /,_ 0 5 j(x- xi) dx;

jP(x)(x, - x) (x - XM ) dx * Pi-0,5 i(xi ~ x)(x ~ xi-1) d*;

* i-l * /-l

}p(x)(x-x,.)2dx * Pi-0'5 ((x - x ^ d x .

6.3. Метод конечных элементов

Вариационно-разностные методы (Ритца) и проекционно­ разностные (Бубнова - Галёркина), реализуемые методами ва­ риационного исчисления, объединены под общим названием:

метод конечных элементов.

Метод конечных элементов получил широкое распростране­ ние вначале для решения полевых задач строительной механи­ ки, а в последние годы - и для решения задач электродинамики [35, 36].

Достоинством метода при решении многомерных краевых задач является возможность более точного учета граничных условий, особенно в том случае, если граница имеет вид слож­ ной пространственной кривой, а также возможность уменьше­ ния порядка системы алгебраических уравнений, получаемой при аппроксимации уравнений краевой задачи. Недостатком метода является большой объем и сложность реализации подго­ товительных операций.

В основе метода, применительно к решению двумерных краевых задач, лежит следующее положение.

Известно, что равновесная система в любой момент времени находится в таком состоянии, которое соответствует минимуму энергии. Если энергетическое состояние системы описать энер-

гетическим функционалом, то решение краевой задачи может быть сведено к поиску минимума этого функционала.

Положим, что магнитное поле в исследуемой области описы­ вается уравнением Максвелла rot Н =7СТ.

Тогда энергия магнитного поля в указанной области будет состоять из двух компонентов:

а) энергии самого магнитного поля, определяемой величиной

б) энергии взаимодействия магнитного поля со сторонними

где А - векторный потенциал магнитного поля.

В этом случае энергетический функционал, характеризую­

Решение краевой задачи методами конечных элементов про­ изводится в следующей последовательности:

1.Исследуемая область разбивается на конечное число по­ добластей, называемых конечными элементами. Форма конеч­ ного элемента может быть выбрана произвольной, однако на практике наиболее часто используются элементы треугольной формы. Операция разбиения исследуемой области на конечные элементы называется триангуляцией.

2.Искомая функция на каждом элементе и, следовательно, во всей области аппроксимируется пробной функцией специально­ го вида с неопределенными коэффициентами, значения которых необходимо определить в ходе решения задачи.

3.Принятая аппроксимация подставляется в выражение энер­ гетического функционала.