Методы вычислительной математики
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
М. Г. БОЯРШИНОВ
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
1
УДК 519.6(075.8) ББК 22.19я73
Б86
Рецензенты:
кандидат технических наук М.М. Давыдова (Институт механики сплошных сред УрО РАН);
кандидат физико-математических наук, доцент О.Ю. Сметанников (Пермский государственный технический университет)
Бояршинов, М.Г.
Б86 Методы вычислительной математики: учеб. пособие / М.Г. Бояршинов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 421 с.
ISBN 978-5-398-00056-6
Рассматриваются основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (прямые и итерационные), нелинейных уравнений, построения полиномов Лагранжа и Ньютона, определения собственных чисел и векторов, численного интегрирования и дифференцирования. Строятся решения задачи Коши методами Эйлера, Рунге– Кутты, Адамса. Изучаются методы Ритца, моментов, наименьших квадратов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Метод Галекина используется для построения конечно-элементных аппроксимаций решений дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются вопросы построения разрешающих соотношений с помощью метода граничных элементов. Излагаются алгоритмы решения прикладных инженерных задач с использованием вычислительной техники, описываются способы оценки погрешностей получаемых решений, возможные способы отображения результатов расчетов. По каждой рассматриваемой теме приведены задания для самостоятельной работы студентов.
Предназначено для студентов и аспирантов Пермского государственного технического университета, специалистов, занимающихся построением моделей механических систем и процессов. Может быть использовано при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.
УДК 519.6(075.8) ББК 22.19я73
Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»
ISBN 978-5-398-00056-6 |
© ГОУ ВПО «Пермский |
|
государственный технический |
|
университет», 2008 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................... |
10 |
1. ИСТОЧНИКИ И ПРИЧИНЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ |
|
МОДЕЛИ .................................................................................................................. |
13 |
1.1. Погрешность математической модели.................................................... |
15 |
1.2. Погрешность исходных данных.............................................................. |
15 |
1.3. Погрешность численного метода ............................................................ |
16 |
1.4. Погрешность проведения расчетов на ЭВМ.......................................... |
17 |
1.4.1. Погрешности округления чисел в ЭВМ............................................... |
17 |
1.4.2. Погрешности результатов арифметических операций....................... |
18 |
1.4.3. «Потеря порядка» и «переполнение» при проведении |
|
вычислений на ЭВМ........................................................................................ |
19 |
1.4.4. Машинная реализация вычислений ..................................................... |
20 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................... |
20 |
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .................... |
22 |
2.1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений............. |
22 |
2.2. Полиномы Чебышёва................................................................................ |
27 |
2.3. Прямые методы решения систем линейных алгебраических |
|
уравнений.......................................................................................................... |
32 |
2.3.1. Метод Гаусса.......................................................................................... |
32 |
2.3.2. Метод квадратного корня...................................................................... |
44 |
2.4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических |
|
уравнений.......................................................................................................... |
49 |
2.4.1. Метод Якоби........................................................................................... |
49 |
2.4.2. Метод Зейделя........................................................................................ |
51 |
2.4.3. Сходимость итерационных методов.................................................... |
53 |
2.4.4. Итерационный метод с чебышёвским набором параметров.............. |
58 |
2.4.5. Неявный метод с чебышёвским набором параметров....................... |
62 |
2.4.6. Метод минимальных невязок .............................................................. |
63 |
2.4.7. Метод минимальных поправок............................................................ |
64 |
|
3 |
2.4.8. Метод скорейшего спуска.................................................................... |
65 |
2.4.9. Неявный метод скорейшего спуска.................................................... |
67 |
2.4.10. Скорость сходимости......................................................................... |
67 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
68 |
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ......................................................................... |
71 |
3.1. Метод половинного деления.................................................................. |
71 |
3.2. Метод простых итераций........................................................................ |
74 |
3.3. Метод Ньютона........................................................................................ |
78 |
3.4. Система нелинейных уравнений............................................................ |
83 |
3.4.1. Метод простых итераций..................................................................... |
83 |
3.4.2. Метод релаксации................................................................................. |
84 |
3.4.3. Метод Ньютона..................................................................................... |
85 |
3.4.4. Нелинейный вариант метода Якоби................................................... |
86 |
3.4.5. Нелинейный вариант метода Зейделя................................................. |
86 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
88 |
4. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ .................................................................... |
90 |
4.1. Интерполяция степенными функциями ................................................ |
91 |
4.1.1. Интерполяционный полином Ньютона.............................................. |
91 |
4.1.2. Интерполяционный полином Лагранжа............................................. |
94 |
4.1.3. Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа) ................................... |
95 |
4.1.4. Интерполяционный полином Эрмита................................................. |
96 |
4.1.5. Сходимость процесса интерполяции полиномами............................ |
97 |
4.2. Интерполяция сплайнами....................................................................... |
100 |
4.2.1. Построение кубического сплайна....................................................... |
101 |
4.2.2. Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами....... |
103 |
4.3. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве..................... |
109 |
4.4. Метод наименьших квадратов ............................................................... |
114 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
117 |
5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.............. |
119 |
5.1. Устойчивость собственных значений и векторов................................ |
120 |
5.2. Определение собственных значений методом интерполяции ............ |
124 |
5.3. Поиск собственных векторов ................................................................. |
125 |
5.4. Частичная проблема собственных значений......................................... |
127 |
4
5.4.1. Метод линеаризации............................................................................. |
127 |
5.4.2. Степенной метод................................................................................... |
129 |
5.4.3. Метод обратных итераций................................................................... |
130 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
132 |
6. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ....................................................... |
134 |
6.1. Разностная аппроксимация ..................................................................... |
134 |
6.2. Использование аппроксимации общего вида........................................ |
136 |
6.3. Применение интерполяционных формул.............................................. |
137 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
138 |
7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ................................................................ |
139 |
7.1. Формула прямоугольников..................................................................... |
140 |
7.2. Формула трапеций ................................................................................... |
142 |
7.3. Формула Симпсона.................................................................................. |
145 |
7.4. Формула Эйлера....................................................................................... |
148 |
7.5. Оценка погрешности методом Рунге..................................................... |
149 |
7.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа............................... |
150 |
7.7. Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса....... |
152 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
158 |
8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (ЗАДАЧА КОШИ) ...................................... |
160 |
8.1. Устойчивость решения задачи Коши..................................................... |
162 |
8.2. Метод Пикара........................................................................................... |
164 |
8.3. Метод Эйлера........................................................................................... |
166 |
8.4. Метод Рунге–Кутты второго порядка аппроксимации......................... |
172 |
8.5. Методы Рунге–Кутты третьего и четвертого порядков |
|
аппроксимации................................................................................................ |
177 |
8.6. Метод Адамса........................................................................................... |
178 |
8.7. Неявные схемы интегрирования............................................................. |
180 |
8.8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы |
|
дифференциальных уравнений...................................................................... |
183 |
8.8.1. Метод Эйлера для системы дифференциальных уравнений............ |
183 |
8.8.2. Метод Рунге–Куттыдлясистемыдифференциальныхуравнений......... |
185 |
8.9. Разностные схемы интегрирования дифференциальных |
|
уравнений второго порядка............................................................................ |
186 |
5
8.9.1. Схема Эйлера........................................................................................ |
187 |
8.9.2. Схема Эйлера–Кромера ....................................................................... |
187 |
8.9.3. Схема средней точки............................................................................ |
187 |
8.9.4 Схема полушага..................................................................................... |
187 |
8.9.5. Схема Верле.......................................................................................... |
188 |
8.9.6. Схема Бимана........................................................................................ |
189 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
189 |
9. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ........................................................... |
191 |
9.1. Метод пристрелки.................................................................................... |
192 |
9.2. Метод дифференциальной прогонки..................................................... |
194 |
9.3. Метод моментов....................................................................................... |
196 |
9.4. Метод Галеркина..................................................................................... |
201 |
9.4.1. Разрешимость системы алгебраических уравнений метода |
|
Галеркина........................................................................................................ |
205 |
9.5. Метод наименьших квадратов................................................................ |
207 |
9.5.1. Разрешимость системы уравнений метода наименьших |
|
квадратов......................................................................................................... |
209 |
9.5.2. Сходимость метода наименьших квадратов...................................... |
211 |
9.6. Метод Ритца............................................................................................. |
212 |
9.6.1. Сходимость метода Ритца.................................................................... |
215 |
9.7. Сеточный метод решения линейной граничной задачи....................... |
217 |
9.7.1. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений |
|
сеточного метода............................................................................................ |
218 |
9.7.2. Оценка порядка погрешности аппроксимации.................................. |
219 |
9.7.3. Метод прогонки для решения сеточной задачи................................. |
220 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
222 |
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ |
|
ПРОИЗВОДНЫХ.................................................................................................... |
224 |
10.1. Некоторые дифференциальные уравнения второго порядка ............ |
224 |
10.1.1. Уравнение теплопроводности ........................................................... |
225 |
10.1.2. Уравнение свободных поперечных колебаний струны .................. |
226 |
10.1.3. Уравнение стационарной диффузии................................................. |
226 |
6
10.2. Дифференциальные уравнения для функций нескольких |
|
переменных...................................................................................................... |
227 |
10.3. Метод Фурье разделения переменных................................................. |
227 |
10.4. Основные понятия и определения теории разностных схем............. |
229 |
10.4.1. Аппроксимация уравнения разностной схемой............................... |
231 |
10.4.2. Устойчивость разностной схемы....................................................... |
234 |
10.4.3. Сходимость разностного решения..................................................... |
246 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
247 |
11. СЕТОЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ |
|
ПРОИЗВОДНЫХ.................................................................................................... |
249 |
11.1. Уравнения первого порядка.................................................................. |
249 |
11.1.1. Схемы бегущего счета........................................................................ |
249 |
11.1.2. Явно-неявная схема............................................................................ |
253 |
11.1.3. Схема для двумерного уравнения переноса..................................... |
253 |
11.2. Уравнения параболического типа........................................................ |
255 |
11.2.1. Схема с «весами» ................................................................................ |
255 |
11.2.2. Трехслойная схема Ричардсона......................................................... |
258 |
11.2.3. Схема Дюфорта и Франкела............................................................... |
259 |
11.2.4. Схема бегущего счета......................................................................... |
259 |
11.2.5. Схема для многомерного уравнения................................................. |
261 |
11.2.6. Схема переменных направлений....................................................... |
262 |
11.2.7. Метод расщепления............................................................................ |
263 |
11.3. Уравнения гиперболического типа ...................................................... |
264 |
11.3.1. Схема «крест»...................................................................................... |
265 |
11.3.2. Разностная схема с «весами» ............................................................. |
267 |
11.3.3. Схема для многомерного уравнения................................................. |
268 |
11.3.4. Факторизация разностной схемы с «весами»................................... |
269 |
11.4. Уравнения эллиптического типа........................................................... |
271 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
276 |
12. МЕТОД МОМЕНТОВ (ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК) ................................... |
279 |
12.1. Частные случаи метода моментов........................................................ |
284 |
12.1.1. Метод Галеркина................................................................................. |
285 |
12.1.2. Метод коллокаций............................................................................... |
286 |
12.1.3. Метод подобластей............................................................................. |
287 |
7
12.1.4. Метод наименьших квадратов........................................................... |
288 |
12.1.5. Метод конечных разностей................................................................ |
290 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
291 |
13. АППРОКСИМАЦИЯ КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ФУНКЦИЯМИ................ |
292 |
13.1. Функции одной переменной................................................................. |
292 |
13.1.1. Кусочно-постоянные функции.......................................................... |
292 |
13.1.2. Кусочно-линейные функции.............................................................. |
294 |
13.1.3. Функции высших степеней................................................................ |
297 |
13.1.4. Иерархические многочлены .............................................................. |
300 |
13.2. Функции двух переменных................................................................... |
304 |
13.2.1. Треугольные конечные элементы: линейная аппроксимация........ |
304 |
13.2.2. Треугольные конечные элементы: квадратичная |
|
аппроксимация................................................................................................ |
305 |
13.2.3. Четырехугольные конечные элементы............................................. |
310 |
13.3. Функции трех переменных................................................................... |
310 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
312 |
14. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ....................... |
315 |
14.1. Уравнение стационарной теплопроводности...................................... |
315 |
14.1.1. Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями........... |
315 |
14.1.2. Процедура ансамблирования конечных элементов......................... |
318 |
14.1.3. Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями.... |
323 |
14.1.4. Использование иерархических многочленов................................... |
326 |
14.2. Уравнение нестационарной теплопроводности.................................. |
329 |
Контрольные вопросы и задания.................................................................. |
332 |
15. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО |
|
ТВЕРДОГО ТЕЛА.................................................................................................. |
333 |
15.1. Построение разрешающих соотношений............................................ |
334 |
15.1.1. Уравнение равновесия........................................................................ |
334 |
15.1.2. Физические уравнения....................................................................... |
337 |
15.1.3. Геометрические уравнения................................................................ |
338 |
15.1.4. Ансамблирование конечных элементов........................................... |
340 |
15.2. Плоско-деформированное состояние .................................................. |
341 |
15.3. Плоско-напряженное состояние........................................................... |
354 |
8
15.4. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние........... |
355 |
15.5. Решение задач упругопластичности..................................................... |
359 |
15.5.1. Метод переменных параметров упругости....................................... |
360 |
15.5.2. Метод дополнительных нагрузок...................................................... |
362 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
364 |
16. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ.................... |
366 |
16.1. Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь |
|
скорости» ......................................................................................................... |
366 |
16.2. Граничные условия................................................................................ |
368 |
16.2.1. Граничные условия для функции тока.............................................. |
368 |
16.2.2. Граничные условия для функции завихренности............................ |
369 |
16.3. Соотношения метода Галеркина........................................................... |
370 |
16.3.1. Разрешающие соотношения для функции тока................................ |
370 |
16.3.2. Разрешающие соотношения для функции завихренности.............. |
371 |
16.3.3. Разрешающие соотношения для поля давления............................... |
373 |
16.3.4. Алгоритм решения задачи.................................................................. |
374 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
377 |
17. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ........................................................... |
379 |
17.1. Фундаментальное решение................................................................... |
381 |
17.2. Построение фундаментального решения............................................. |
391 |
Контрольные вопросы и задания................................................................... |
395 |
Приложение 1. δ-ФУНКЦИЯ ДИРАКА................................................................ |
396 |
Приложение 2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА.................................. |
401 |
Приложение 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................................ |
410 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ............................................................................... |
412 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... |
419 |
9
ВВЕДЕНИЕ
Впроцессе человеческой деятельности возникает огромное количество вопросов, и получить на них ответы с помощью натурных наблюдений и экспериментальных исследований, которые могут требовать огромных материальных и финансовых затрат, чрезвычайно трудно, а порой просто невозможно. Множество объектов, недоступных для исследования, расположены в недрах Земли или в далеком космосе. Какие процессы имеют место, например, в глубинах Солнца или планет солнечной системы? Как ведет себя материал заготовки при его термической и механической обработке?
Вэтой ситуации специалисту приходит на помощь особая форма изучения окружающей действительности – вычислительное моделирование. Для квалифицированного проведения исследовательской работы требуется знать многие разделы современной математики: линейную алгебру и математический анализ, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения математической физики, тензорный анализ и дифференциальную геометрию, основы функционального анализа и теорию вероятностей, специальные разделы математики. В то же время современный исследователь должен глубоко понимать основы своей предметной области: физики, механики, химии, геологии, электротехники, строительства, фармакологии, медицины, экологии, экономики и многих смежных дисциплин.
Основной целью вычислительного моделирования является не столько описание известных фактов в поведении объекта, сколько предсказание его поведения в нестандартных ситуациях. Широчайшие возможности в этом направлении дает моделирование процессов в их развитии с течением времени, то есть эволюции. Это позволяет исследовать влияние множества факторов самой различной природы на поведение описываемых объектов, изучить их реакцию на изменение начальных и граничных условий, оценить устойчивость по отношению к возмущению параметров, определяющих эволюционные изменения.
Основным инструментом инженера-исследователя является компьютер, владеть которым он обязан в совершенстве, то есть в полной мере постичь ос-
10