133992

вестных реакций связей; - вектор грузовых перемещений взятых с обратным знаком

где δ −1 - обратная матрица для матрицы податливости δ .

11

3.СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

«РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ»3

o Требуется:

1.Раскрыть статическую неопределимость заданной рамы, учитывая деформа- цию участков только от изгибающего момента.

2.Построить эпюру изгибающих моментов.

3.Определить перемещения указанной в задании точки рамы.

Примечание

Вычисления выполнить в системах SCAD и MathCAD. Результаты реше- ния, полученные в системе SCAD, использовать как контрольные для проверки правильности решения задачи в системе MathCAD.

Необходимые для расчета данные приведены в табл.1. Во всех заданных рамах модуль продольной упругости материала стержней E , осевой момент инерции пло- щади поперечного сечения стержней J , а также величины, указанные в табл.1, счи- тать известными: a = 2 м, q = 10 кН/м, q1 = 5 кН/м. Искомые перемещения точек системы отмечены на схемах (табл.2) вопросительным знаком.

3 Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов /Ф.З. Алмаметов, С.И. Арсеньев, С.А. Енгалычев и др. – М.: Высш. шк., 1992.- 320 с.

12

Таблица 2

13

4.1.4. Решение системы канонических уравнений метода сил. Для любых правильно выбранных основных систем уравнения всегда имеют единственное реше-

ние X 1 , X n . Если в результате решения системы канонических уравнений метода сил какое-то из неизвестных X i имеет знак минус, это означает, что истинное

направление этой реакции противоположно первоначально выбранному.

4.1.5. Построение эпюр внутренних силовых факторов. После того как вы-

числены значения лишних неизвестных X 1 , X n могут быть определены внут- ренние силовые факторы в любых сечениях стержней системы и построены их эпюры. Например, эпюру изгибающих моментов M y в статически неопределимой системе

можно построить следующим образом. Построим эпюры изгибающих моментов от ка- ждого из найденных усилий X 1 , X 2 ,…, X n . Для этого можно использовать постро-

енные ранее единичные эпюры M i . Просуммировав по характерным точкам ординаты эпюр от действия всех сил X i с ординатами грузовой эпюры M P , т.е.

n

M y = M P + ∑X i M i ,

i =1

получим окончательную эпюру M y для заданной статически неопределимой системы. Другой способ построения эпюры M y заключается просто в применении обыч- ного метода сечений к основной системе, загруженной внешними силами и силами

X1 , X 2 ,…, X n .

4.1.6.Деформационная проверка. После раскрытия статической неопредели-

мости перемещения k какого-либо сечения вычисляются с помощью интеграла Мак- свелла-Мора (6). При этом единичное воздействие прикладывается к основной систе- ме. Строится соответствующая эпюра M y и, вычислив интегралы в формуле (6), оп-

ределяют k . Это возможно в силу того, что, как уже отмечалось при формулировке содержания метода сил, основная система под действием внешней нагрузки и сил X 1 , X 2 ,…, X n деформируется так же, как исходная статически неопределимая система.

Таким способом можно определить любые перемещения в основной системе, в том числе и перемещения в направлении лишних неизвестных. Поскольку эти перемеще- ния должны равняться нулю в силу наложенных связей, то деформационная проверка и

заключается в проверке равенства нулю перемещений j в основной системе, т.е.

Деформационная проверка контролирует правильность расчета статически не- определимой системы от этапа определения единичных и грузовых перемещений до

построения окончательной эпюры изгибающего момента M y . Она проверяет также

правильность решения системы канонических уравнений метода сил, но не дает указа- ний о корректности выбора основной системы и правильности построения для этой системы единичных и грузовых эпюр.

17

4.2. Пример расчета

Дано (рис. 12, а):

oгеометрические размеры рамы: R = 2 м; h = 3 м ;

oжесткость поперечного сечения стержней рамы: EJ = const = 1 ;

oнагрузка: P = 50 кН; q = 10 кН/м.

Рис.12

Требуется:

1.Раскрыть статическую неопределимость упругой системы методом сил, учиты- вая деформацию участков только от изгибающего момента, и проверить пра- вильность определения дополнительных неизвестных.

2.Построить эпюры нормальных и поперечных сил, изгибающих моментов.

3. Определить линейное перемещение Dx точки D .

4.2.1 Расчет статически неопределимой рамы в системе SCAD

Система SCAD позволяет сразу рассчитать любую раму (статически определи- мую или статически неопределимую), загруженную заданной нагрузкой, но мы на эту систему возложили функцию преподавателю – проверку результатов поэтапного стан- дартного расчета статически неопределимых систем методом сил. Поэтому приводи- мая ниже методика расчета не соответствует традиционной методике прочностных расчетов в системе SCAD, а соответствует процедуре создания «шпаргалки» для про- верки результатов расчета в системе MathCAD.

Прежде чем мы начнем осваивать процедуру расчета упругих статически неоп- ределимых систем в программном продукте SCAD, давайте договоримся о методике создания конечноэлементной модели рамы.

Заданная для расчета рама имеет криволинейный участок, положение которого удобно описать в полярной системе координат. Так как в SCAD применяются только правые системы координат, то положительные дуговые координаты отсчитываются в направлении против хода часовой стрелки. А так как в МКЭ необходимо соблюдать определенный порядок обхода узлов, так чтобы местные системы координат по отно- шению к элементам имели одинаковую ориентацию, ибо усилия и напряжения выво- дятся в местной системе координат, то целесообразно ввод узлов и элементов начинать

18

от точки B по направлению к точке A (рис.12). Кроме того, задание распределенной нагрузки на криволинейных участках рамы легче реализуется в местной системе коор- динат.

Стержневой конечный элемент универсального вида изображен на рис.13. При- нято следующее обозначение концевых сечений: номером 1 обозначается сечение у начала стержня, номером 2 - у его конца.

Рис.13

В общем случае предполагается, что стержень может быть произвольным обра- зом расположен по отношению к принятой общей (глобальной) системе координат XYZ . В местной (локальной) системе координат X 1Y1 Z1 , относительно которой вы-

числяются усилия, оси Y1 и Z1 , являются главными осями инерции поперечного сече-

ния.

Еще до ввода информации о форме поперечного сечения система SCAD строит оси локальной системы координат X 10Y10 Z10 («предварительный проект») с использова- ние следующих соображений:

•ось X 10 направлена вдоль геометрической оси упругой части сечения от начала стержня к его концу;

•ось Z10 ориентирована в верхнее полупространство (в сторону возрастания коорди-

наты Z общей системы координат XYZ , в которой представлена расчетная схема;

• ось Y10 дополняет локальные координаты таким образом, что система образует пра- вую тройку X 10Y10 Z10 .

Переходим к описанию алгоритма создания конечноэлементной модели рамы. Приведенная на рис.12, а рама три раза статически неопределима внутренним

образом. За «лишние» неизвестные выбираем внутренние силовые факторы: N − X 1 , Q − X 2 , M − X 3 . Эквивалентная система приведена на рис.12, б.

Сначала создадим конечно-элементную модель основной системы.

1.Загружаем комплекс Structure CAD.

2.Создаём новый проект.

3.Задаём единицы измерения: линейные размеры – м; размеры сечения – мм; силы

- кН.

4.Активизируем раздел Расчетная схема и щелкаем по кнопкам Узлы и Ввод узлов .

5.Задаём координаты узлов, соответствующих характерным точкам основной системы, начиная с узла B (рис.12): (4 ,0 ,0 ) - узел 1 , (4 ,0 ,3) - узел 2 ,

19

(2.05 ,0 ,3) - узел 3 , (2 ,0 ,3) - узел 4 , (1.95,0 ,3)- узел 5 , (0 ,0 ,3) - узел 6 ,

(0 ,0 ,0 ) - узел 7 . Включаем фильтры Узлы и Номера узлов . Окно отображения графической информации будет выглядеть так, как показано на

рис.14.

6.Отжимаем кнопку Узлы и нажимаем кнопку Элементы . Щелкая по первому, а затем по второму узлу вводим первый стержневой элемент.

7.Активизируем кнопку Добавление стержней .

Рис.14

8.Нажимаем на кнопку Разбивка стержня . Открывается одноимённая па- нель, в поле ввода которой заносим цифру 15 и щелкаем по клавише ОК.

9.В графическом окне выделяем стержень 1 (он изменит черный цвет на крас- ный) и в главном меню, нажимая кнопку , подтверждаем наш выбор. В ре- зультате стержень будет разбит на пятнадцать стержневых элементов.

10.Активизируем кнопку Ввод элементов по дуге . Появится панель Ввод эле- ментов по дуге окружности. Вид панели с заполненными полями ввода приве- ден на рис.15. После ввода информации щёлкаем по кнопке ОК.

11.В поле отображения графической информации выделяем 4 узел и, нажимая кнопку , подтверждаем наш выбор. На дисплее появится изображение ко- нечноэлементной модели, двух участков рамы (рис.16, а). Если включить фильтр Местные оси элементов , отключить Номера элементов и

включить фильтр Номера узлов , то можно видеть, что местные оси элемен- тов, как на стойке, так и на криволинейной части рамы направлены одинаково – ось Z1 направлена наружу рамы (рис.16, б и в).

20